1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 36
Текст из файла (страница 36)
1 ~4. Линейной функцией мы назвали функцию ((х), х Е й удовлетворяющую условиям: 1' 1(х+ р) = йх)+1(р), 2' ~(Лх) = Л('(х). Пусть ем ез,..., е„— базис в п-мерном пространство й. Если х = ~ е~ + ( ез + ... + ~во„ . вектор из Л, то линейная функция в В может быть записана в виде (см. ~ 4) ((х) = 1(с е~ + ~ ее+... +~"е„) = = о~ С + оз4 +... + ав~", где коэффициенты аы аз,..., а„, определяющие линей- ную функцию, вычисляются по формулам а~ = ((е~), пз = ~(ез)....., и„= 1(е„). (2) 123) сопеяжвннов (двойственное) пеостелнство 261 Как это ясно из формулы (1), при заданном баэи- СЕ ЕЫ Е2,..., Ев ВСЯКиМ П ЧиСЛаМ ам аз,..., а„, ОтВЕЧавт линейная функция, притом только одна.
Пусть 1 и д — .линейные функции. Их суммой называется функция 6, ставящая в соответствие каждому вектору х число 1(х) + д(х). Произведением линейной функции 1 на число о называется функция, ставящая в соответствие каждому вектору х число о) (х). Очевидно, что сумма линейных функций и произведение линейной функции на число есть снова линейная функция. При этом, если линейная функция ) задает- СЯ ЧИСЛаМИ ам а2,..., ап, а д ЧИСЛаМИ 62, бг,..., б„, тО ('+ д заДаетсЯ числами а1 + бы а2 + 62, ..., а„+ бп, а ся (' — числами ааы ааэ,..., оа„. Таким образом, множество заданных в Л линейных функций образует линейное пространство.
Определение 1. Пусть Л есть и-мерное пространство. Пространством Л, сопряженным к Л, мы назовем линейное пространство, векторами которого являюпкя линейные функции, звдвнныв в Л. Сумма в Л' определяется как сумма линейных функций, а произведение вектора из Л' на число как произведение линейной функции на число. Так как пРи заДанном базисе емеэ,...,еп в пРостранстве Л каждая линейная функция однозначно задается системой и чисел ам а2,..., а„, причем суъсме функций отвечает сумма чисел, произведению функции на о произведение чисел а,, на а, то ясно., что Л изоморфно пространству, в котором вектор определен как совокупность п чисел. Значит, прошпранство 11, сопряженное к и-мерному пространству Л, тпокже химерно. Если пространства Л и Л' рассматривают одновременно, то векторы из Л называются контравариантными, а векторы из Л' ковариантными.
В дальнейшем (гл. Ри 262 понятие о теизоРАх символы х!у,... будут означать элементы из Л, т.е. контравариантные векторы, а ~„д,... -- элементы из Л', т. е. ковариантные векторы. 2. Биортогональные (взаимные) базисы. В дальнейшем мы будем значение линейной функции )' в точке х обозначить через (~,х). Таким образом, каждой паре 1 Е Л' и х Е Л отнесено число (~, х), причем 1' У!хч + хз) = (Лх!) + (.)!хз)! 2' (у, Лх) = Л(~, х), 3' (Л(',х) = Л(~,х), 4' Ж + 12.,х) = Ж,х) + (Уг,х). Первое и второе из этих соотношений —.—.
это записанные в новых обозначениях равенства ~(х!+ х2) = ~(х!)+ ((х2) и ~(Лх) = Л,)'(х), являющиеся определением линейной функции, а третье и четвертое определения произведения линейной функции на число и суммы линейных функций. Соотношения 1' — 4' напоминают по внешнему виду аксиомы 2' и 3' скалярного произведения (2 2). Надо лишь подчеркнуть,что в то время,как скалярное произведение есть число, отнесенное паре векторов одного и того же (евклидова) пространства, (у, х) есть число, отнесенное паре векторов, один из которых принадлежит аффинному пространству Л, а другой аффинному пространству Л. Векторы х Е Л и ( Е Л' мы вззовем орпгогональны- А!и, ЕСЛИ (~,х) = О.
Таким образом, хотя в аффинном пространстве Л (в отличие от евклидова) нет понятия ортогональности двух векторов х, у Е Л, можно говорить об ортогональности векторов из Л к векторам из Л'. 123) сопгяжввиое (лвойстввввов) пгостглвство 263 Определение 2. Пусть еыез,...,е„базис в П, а ~',~2,...,~" -"-базис в Л'. ЛХы назовем зти базисы биортогональными (взаимными), если (1 при 1= к, (~',еь) = ~( (1,1=1,2,...,п). (3) О при 1ф к.
Введем символ б', положив б'=( при 1 =й, при гней (1,Й = 1,2,...,п). Тогда У': -ь) =6. если еы е2,..., е„--. базис в л, то (~, еь) являк>тся числами аь, определяющими линейную функцию 1 Е Л' (см. формулу (2)), так как (~, еь) есть другая форма записи выражения ((еь). Из этого замечания следует утверждение: если еме2,...,е„--произвольный базис в Л, то в Л' существует, и притом только один, базис ~~,...,1"и такой, что базисы еме2,...,е„и ~~,12,... ..., ~в биортогональны (взаимны).
Действительно, из равенства (3) имеем (~,е1) = 1, (З,ез) = О, ..., (~,е„) = О. (~,е1) =О, (~,е2)=1, ..., (З',е„) =О и т.д. Построенные векторы 1', (~,...,1п из Л' (линейные функции) линейно независимы, так как отвечающие каждому из них системы чисел ам а2,...,а„линейно независимы между собой. Мы построили, таким Таким образом, здесь заданы числа а1 = 1, а2 = О, ..., а„= О.
Так как по всяким числам а, можно построить единственную линейную функцию, то 1 определено, и при этом однозначно. Аналогично определяется (2 ра- венствами (ГЛ. ГР г!Онятие о тензоРАх образом, базис, биортогональный базису е!г ез,..., е„и доказали его единственность. В дальнейшем мы будем пользоваться принятыми в тензорном исчислении обозначениями, а именно, если в некотором выражении один и тот же индекс стоит один раз вверху, а другой раз внизу, то это означает, что по этому индексу производится суммирование (от 1 до п).
Сам знак суммирования ~; мы при этом будем опускать. Например, с,'ц; означает ~!ц! + ~зцз +... + ("ц„. Имея в Л и Л' биортогональные базисы, легко вычислять координаты любого вектора. Пусть е, и у~ биортогональные базисы. Найдем координаты ~г вектора я Е В в базисе еь Мы имеем Отсюда (у~, х) = (у~, ~!е!) = ~'(Х~, е,;) = с!о~ = ~~. Следовательно, координагпы (~ вектора я в базисе е!, еа,, .., е„вычисляются по формулам ~ь (з,ь зде !' --- базис, взаимный с базисом е,. ь Аналогично получаем, что координаты пд вектора 1" в базисе )'" вычисляются по формулам га — (г г Ег,) ° Пусть ет,ез,...,е„и (~,З~г..., (" - -два взаимных (биортогонзльных) базиса.
Выразим величину (у, л) через координаты векторов ( и г, в базисах е!, ез,..., е„ и у ! г (~г..., фн соответственно. Пусть х = с е!+с ез+...+с 'е„и з' = ц!з +уз~ +...+ц„~", з 23) ООНРЯжгннОВ (ДВОЙГтВВннов) ИРОстРАнстВО 265 тогда У~он) (т)11 +В21 +' ' '+Чпз ~ с е1+с е2+...+с Рп) = (('., еь)г),~ = ЯцД = г),с,'. Итак, ес.ли е1, е2,..., е„базис в Л, у1, 1"2,..., у и взаимный с ним базис в Л', то ()',х) = г)1С~ + л)2С~ + ... + Т)„~", (4) где С1,С2,...,Сп координаты вектора х Е Л в базисе еу,е2,...,е„, а Т)1,1)2,...,г)п координаты вектора ) Е Л в базисе )'', ),..., у". ЗаМЕЧаНИЕ. ЕСЛИЕ1,Е2,...,Е„И~~,12,...,~п произвольные базисы в Л и Л' соответственно, то (),х) = атйг),~, где а'„= (~', еь).
Мы видим, что во взаимных базисах значение (у, х) записывается особенно просто. Итак, мы построили соответствие, относящее каждому линейному пространству- Л другое пространство, а именно сопряженное пространство В . Мы можем теперь установить соответствие между линейными преобразованиями пространств.
Пусть Лм Л два линейных пространства и Л~м Вэ пространства, им сопряженные. Каждому линейному преобразованию А пространства В~ в Вэ мы поставим в соответствие линейное преобразование А'пространства Л',в В'„ которое определим следующим образом. ПУсть Уз Е ВУ~, х1 Е Ль РассмотРим (Ун Ах1); пРи фиксиРованном уэ это линейная функция от тм т. е. может быть записана в виде (ум Ах1) = (Л, т1), где Л Е В,, Положим по определению Л = А'уз. Получаемое преобразование А' называется сопряженным к А.
Итак, если А линейное преобразование пространства В1 в Вю то сопряженное ему преобразование есть линейное преобразование А' пространства Л~э в В(, задаваемое тождеством (А'12, х1) = (1э, Ах1). Установим одно важное свойство операции перехода к сопряженному преобразованию. Пусть А линейное преобразование (гл. а 2бб понятие о тензогах пространства Л~ в Лм  — линейное преобразование пространства Лз в Лз Обозначим через ВА композицию этих преобразований, т.е. линейное преобразование пространства Л~ в Лз (по определению ВАх = В(Ах) для любого х Е Л1). Покажеьк чго (ВА)' = А'В'.
В самом деле, согласно определению имеем: ПВА) Лх) = (у",ВАх) для любых х Е Л1 и У Е Лз. С другой стороны, (хРВ'Лх) = (В'1, Ах) = (1, ВАх). Сопоставляя эти равенства, мы видим, что (ВА)' = А'В'. У п р а ж н е н и е. Доказать, что линейное преобразование, сопряженное к А', есть А.
3. Взаимозаменяемость Я и Я'. В предыдущем изложении Л и Л' играли различную роль. Мы покажем, что они совершенно равноправны, т.е. что все теоремы останутся справедливыми, если мы поменяем Л и Л' ролями. Мы определили Л~ как совокупность линейных функций в Л. с1тобы установить равноправность Л и Л', докажем., что всякая линейная функция р(() в Л может быть записана в виДе (У", хб), гДе хо --фиксиРованный вектор из Л. Пусть еме2,...,е„-некоторый базис в Л и взаимный с ним базис в Л'. Линейная функция р(2") может быть записана в виде ~р(у ) = а Г11 + а В2 +... + а Пв, где Вы Вг,, Вв --- кооРдинаты вектоРа У" в базисе (', 1 у2,..., 1".
Рассмотрим вектор хо, имеющий в базисе еме2,...,е„координаты а,а,...,а . Тогда, как мы видели в п.2, (у,хо) = а~ц1+ а~дг+ .. + а"и„ и, следовательно, (5) й'23) сопряженное (двойственное) пгосгглнстно 2б7 Эта формула устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными функциями со, заданными в гг', и векторами хо Е Л.
Мы можем поэтому во всем изложении считать Л пространством линейных функций над Л', задавая эти линейные функции формулой (5). Этим установлено полное равноправие между Л и Л'. Замятин, что при одновременном иэучонии пространства и сопряженного пространства мы употрсбляом лишь обычные для векторов операции сложения и умножения на число в каждом пространство и операцию (Л л), свяэываюшую элементы обоих пространств. Можно поэтому дать другое опродслснио пары сопряженных пространств Я и И, при котором их равноправно непосредственно видно.
Это опродолонио сосгоит в слсдуюшсм: мы рассматриваем пару и-мврных пространств И и И' и каждой парс векторов х Е В, 1 Е В относим число 1Л х), требуя при этом, чтобы выполнялись ус-ювия 1* — 4' продыдушвго пункта и условие 5' Из (Ли) = О для любого х следует г = О и из (~',т) = О длл любого 1" следует х = О. Коротко говоря, пара сопряженных пространств В и В' — это пара и-мерных пространств с вводвнной дополнительно операцией (Л т), удовлвтворяюшвй перечисленным условиям. Заме чан не.
В п.2 мы доказали, что для каждого базиса в Л существует и притом единственный взаимный с ним базис в Л'. Из равноправия между Л и Л' следует, что для всякого базиса в Л' существует и притом единственный взаимный с ним базис в Л. 4. Преобразовании координат в Я и Я'. Если мы рассматриваем координаты векторов и Е Л в некотором базисе е1, ез,..., е„, то координаты векторов д Е Л' мы будем, как правило, рассматривать в базисе д" ', 1'2,..., д"", взаимном к базису е1, е2,..., е„. Перейдем в Л от базиса ем ез,..., е„к новому базису е', с~2,..., е'„, и пусть 16) е; =с,сь л формулы этого перехода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
