1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Наибольший общий делитель определен с точностью до числового множителя. Мы выбираем Ря (Л) так, чтобы старший коэффициент был равен 1. В частности, если миноры Й-го порядка взаимно просты, то Рь(Л) = 1. 3 21) 233 иивягимггиыв множители Д о к аз а тел ь ство. Строки матрицы С(А — ЛЕ) являются линейными комбинациями строк матрицы А — Л.Е с коэффициентами, являющимися элементами матрицы С, т.е.
не зависящими от Л. Действительно, обозначим через а11 элементы матрицы А — ЛЕ и через а',ь элементы матрицы С(А — Л.Е). Тогда, например, н / а11 —— ~ сПа оп 1'=1 т. е. элементы первой строки матрицы С(А — ЛЕ) являются линейными комбинациями строк матрицы А — ЛЕ с коэффициентами с1,. Аналогично показываем это и для других строк. Поэтому минор матрицы С(А — ЛЕ) разлагается на сумму миноров матрицы А — Л.Е с некоторыми численными коэффициентами. Следовательно, всякий делитель миноров й-го порядка матрицы А — Л.Е будет также делителем миноров того же порядка матрицы С(А — Л.Е).
Так как от матрицы С(А — Л.Е) мы можем перейти к матрице А — ЛЕ умножением на С вЂ” 1 то и обратно, каждый делитель миноров Й-го порядка матрицы С(А — Л.Е) яаяяется делителем миноров й-го порядка матрицы А — ЛЕ. Следовательно, у А — ЛЕ и С(А — ЛЕ) общие делители миноров й-го порядка совпадают. Л е м м а 2. У подобных матриц многонленхя Рь(Л) совпадиют. Доказательство. ПустьАиА'=С 1АС две подобные матрицы. Согласно предыдущей лемме, общие наибольшие делители миноров Й-го порядка у А — ЛЕ и (А — Л.Е)С совпадают. По той же лемме совпадают между собой общие наибольшие делители миноров й-го порядка у С '(А — ЛЕ) и С '(А — ЛЕ)С = = А' — ЛЕ.
Следовательно, Рь(Л) для А и А' равны между собой. 234 кАноничвский ния линнЙных ИРКОНРАзонАниЙ ~ГЛ. И1 Так как при переходе от одного базиса к другому матрица линейного преобразования заменяется подобной, то из леммы 2 вытекает следующая Т е о р е м а 1. Пусепь А . линейное преобразование.
Тогда наибольиеий общий делитель Рь(Л) миноров Й-го порядка магприцы А — Л.Е, где А — -матрица преобразовиния. А в некотором базисе, не зависит от выбора базиса. Перейдем к вычислению многочленов Рь(л) для данного линейного преобразования А. В силу теоремы 1, при их вычислении можно пользоваться матрицей линейного преобразования в любом базисе. Выберем базис, в котором матрица линейного преобразования имеет жорданову нормальную форму. Нам нужно, следовательно, вычислить многочлены Рь(л) для матрицы А, имеющей нормальную форму. Найдем сначала все РАЯ для матрицы и-го порядка вида Л 1 О ... О О Л 1 ...
О О О О ... 1 о о о...л т.е. для одной ьклеткиь нормальной формы. Мы имеем Р„(Л) = (Л вЂ” Лв)". Если в матрице (1) зачеркнуть первый столбец и последнюю строку, то получим матрицу Аы в которой по диагонали стоят единицы, а над диагональю нули. Поэтому Р„~(л) = 1.
Вычеркивая далее в матрице А1 строки и столбцы с одинаковыми номерами, мы сможем доказать, что и Рп 2(Л) = ... Р1(Л) = 1. Окончательно мы имеем, что для опсдельной кяетки [матрицья (1)) последовательность РАЯ следующая: (л — л)",1,1, ...,1. г2Ц 235 инваеилнтныв множители Далее, заметим: пусть матрица В имеет вид (и в) где В) и В2 какие-либо мап)рицы порядков и) и па. Тогда отличные от нуля миноры т-го порядка матрацы В имеюгг) вид Ь =Ь„, Ьн, т)+тг =то где Ь,в, -- миноры т)-го порядка молприцы .В1, а Ю 1л,ве миноры та-го порядка матрицы В2 ). Дсйстви- )2) тельно, если выделить те из первых и) строк, которые входят в состав данного минора, и разложить по ним минор (воспользовавшись теоремой Лапласа), то этот минор будет либо равен нулю, либо иметь вид Ю ОО ~ы1~т — нн ' Найдем теперь многочлены Рь') Л) для произвольной матрицы А, имеющей жорданову нормальною форму.
Мы предположим, что в матрице А имеется р клеток, отвечающих собственному значению Л), д клеток, отвечающих собственному значению Лг, и т. д. Обозначим порядки клеток, отвечающих собственному значению Л1, ЧЕРЕЗ П1, Пг,..., Пр (П1 Ъ П2 ~ 3ПЗ ~~ ... ~ 3Пр). Матрица В = А — ЛЯ распадается на отдельные клетки В,, из которых, например, .В) имеет вид Л вЂ” Л 1 О ...
О О Л вЂ” Л1... О в О О О ... 1 о о о...л — л Отличный от нуля минор Ьь К-го порядка матрицы Ю о) может, конечно, иметь вид Ьь, т.е. быть составлен иэ элементов лэ). Б этом случае мы его запишем форьнмтьно в виде )1ь = Ль Ло, где положено )лое = 1. 23б кАноничвский нил линейных ПРВОВРАзонлниЙ (гл. 1и Вычислим сначала .Рв(Л), т. с, определитель матрицы .В. Он равен произведению определителей матриц .Вм т. е. Р (Л) = (Л вЂ” Л1) 1 ~ "' '(Л вЂ” Лг) Перейдем теперь к вычислению Р„1(Л). Так как Р„1(Л) есть делитель многочлена Рп(Л), то Р„1(Л) состоит из множителей Л вЂ” Лм Л вЂ” Лз, .... Вычислим, в какой степени в Р 1(Л) входит Л вЂ” Лм Для этого заметим, что произвольный отличный от нуля минор (и — 1)-го порядка матрицы Н = А — Л.Е имеет вид ~„-1 =~ь, А, " Ла П) (2) ® где11+12+...+РА = и — 1, Ь~ миноры порядками матри(ц цы .Вь Так как сумма порядков миноров Ь,...
равна (П п — 1, то один и только один из этих миноров имеет порядок на единицу ниже, чем порядок соответствующей матрицы Ю,, т. е. получается из соответствующей клетки матрицы Ю вычеркиванием одной строки и одного столбца. Мы видели, что в отдельной клетке мы можем вычеркиванием одной строки и одного столбца получить минор, равный единице (см. стр. 234). Поэтому мы можем подобрать,Л„1 так, чтобы какой-нибудь один из миноров Ь~ стал равным единице., не меняя при этом остальных, равных определителям соответствующих клеток. Отсюда ясно, что, для того чтобы получить минор, содержащий Л вЂ” Л1 в возможно более низкой степени, достаточно вычеркнуть строку и столбец в клетке, отвечающей Л~ и имеющей наибольший порядок, а именно порядок пм Таким образом, наибольший общий делитель Р„1(Л) миноров (и — 1)-го порядка содержит Л вЂ” Л1 в степени пз + пз +...
+ пр. Аналогично., среди миноров (и — 2)-го порядка наинизшую степень Л вЂ” Л1 содержит минор Ь„, Вн полу- в 21) 237 инвл1 илнтныв множители ченный вычеркиванием по строке и столбцу из клеток, соответствующих собственному значеник1 Л1 и имеющих порядки п1 и п2. Таким образом, Р„2(Л) содержит Л вЂ” Л1 в степени пе + пв +... + пр и т.
д. Наконец, Рь р(Л), Рн р 1 (Л),..., Р1(Л) вовсе не содержит Л вЂ” Л ы Совершенно так же мы выясняем, в каких степенях в Рь(Л) входят множители Л вЂ” Л2, Л вЂ” Лз, ... Итак, мы доказали следующее утверждение: Пусть матрица преобразования А имеет жорданову нормаяьнук1 форму, в котпорой имеется р кяеп1ок порядков п1, п2,..., пр (п1 > п2 » ... пр), отвечающих собственному значению Л1, д клеток порядков 1п1,тз,...,впв (т1 > та » ...
тв), отвечающих собственному значению Л2, и т. д., тоеда Р (Л) = (Л вЂ” Л1) ' (Л вЂ” Л2) Р— (Л) — (Л Л ) (Л Л2) .Р„,(Л) =(Л-Л,)""-'" (Л-Л,)т"-" При этом, начиная с Ра р(Л) множитель (Л вЂ” Л1)"' заменяется единицей, начиная с Рп в(Л), множитель (Л вЂ” Л2)- заменяется единицей и т. д. Рассмотрим важный пример.
Пусть собственному значению Л1 отвечает лишь одна клетка, порядок которой равен п1, собственному значению Л2 только одна клетка порядка т1, Лз одна клетка порядка Й1 и т. д. (т. е. собственные значения, отвечающие различным клеткам, различны). Тогда Р;(Л) имеет вид Рв (Л) = (Л вЂ” Л1) ' (Л вЂ” Л2) '"' (Л вЂ” Лз ) "'..., Р„(Л) = Х, Р. 2(Л) =Х,' 238 кАноничвский Вид линеЙных ИРИОИРАзонАниЙ (Гл. Нг Указанный выше общий вид для Рь(Л) показывает, что вместо многочленов РЙ(Л) удобнее ввести их отношения Е,(Л) = Рь-1(Л)' Многочлены Еь(Л) называются инвариакипными множителями. Таким образом, если матрица А имеет жорг)анову нормальную форму, в которой имеется р вклетокь порядков пи па.....,пр (п1 > пх » ...
пр), отвечающих собственному значению Лы д еклетокл ПврядКОВ Гам та,...,Гну (т1 > т2 » ... ту)г ОтВЕ- чающих собстпвенному значению Ла и т,, д., то инвариантные множители Еь(Л) имеют вид Е„(Л) = (Л вЂ” Л1)"'(Л вЂ” Л2) Еп 1(Л) = (Л вЂ” Л1)"-'(Л вЂ” Л2)""..., Е 2(Л) = (Л вЂ” Л1) з(Л вЂ” Л2) Мы видим, что задание последовательности инвариантных множителей Е„(Л), Е„г (Л),... полностью определяет жорданову нормальную форму матрицы А; собственные значения Л, получак2тся как корни уравнения Еп(Л) = О.
Размеры же пы пз,..., пр клеток, отвечающих данному собственному значению Лы равны степеням, с которыми двучлен Л вЂ” Л1 содержится соответственно в Е„(Л), Е~-1(Л), Мы теперь в состоянии сформулировать необходимые и достаточные условия существования базиса, в котором матрица линейного преобразования диагональна. Для того чтобы существовал базис, в котором матрица преобразования диагональна, необходимо и достаточно, чтобы инвариантные множители этой матрицы, имели лпть проспгьге корни.
е 21) 239 инвлгимггныв множители Действительно, мы видели, что кратности корней Лы Л2,... инвариантных множителей определякьт порядки клеток в жордановой нормальной форме. Простота корней инвариантных множителей означает, таким образом, что эти клетки первого порядка, т. е. что жорданова нормальная форма матрицы сводится к диагональной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
