1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Творе ма 2. Длл того чтобы две матрицы были подобны, .необходимо и достаточно, чтобы их инвариантные множители совпадали. Д о к аз атель ство. Мы доказали (лемма 2)., что у подобных матриц совпадают многочлены Рь(Л). Следовательно, совпадают и инвариантные множители Еь(Л), являющиеся их отношениями. Обратно, пусть инвариантные множители матриц А и Н совпадают.
Мы знаем, что каждая матрица подобна некоторой матрице., имеющей жорданову нормальную форму. Так как инвариантные множители у А и Л совпадают, то их нормальные жордановы формы тоже совпадают. Таким образом, матрицы А и Н подобны одной и той же матрице и, значит, А подобна Ю. Те о ре ма 3. Нормальная форма линейного преобразования однозначно определяется самим линейным преобразованием. Д о к аз атель ство. Матрицы преобразования А в различных базисах подобны. Так как подобные матрицы имеют одинаковые инвариантные множители, а инвариантными множителями однозначно определяется нормальная форма, то нормальная форма данного линейного преобразования определена однозначно, и теорема доказана.
Мы в состоянии теперь найти жорданову нормальную форму матрицы линейного преобразования. Для этого достаточно взять матрицу линейного преобразования в каком-нибудь базисе и найти инвариантные 240 кАноничнский Вид линВЙных ИРВОВРАЗОнАниЙ ~ГЛ. Н1 множители матрицы А. Разложив инвариантныс множители в произведение вида (Л вЂ” Л1)" (Л вЂ” Л2)'"..., мы будем знать как собственные значения, так и отвечающие им порядки клеток. 2 22. Л-матрицы 1. Л-матрицей 1полиномиальной матрицей) называется матрица, элементами которой являются многочлены относительно некоторой буквы Л.
Степенью Л-матрицы называется наивысшая из степеней многочленов, входящих в состав матрицы. Ясно, что Л-матрица степени п может быть представлена в виде АОЛ" + А1Л" + .. + Ас; где Аь матрицы, уже не зависящие от Л '). Яастный случай Л-матриц нам уже встречался неоднократно, а именно матрицы вида А — ЛЕ. Результаты, которые мы получим в этом параграфе, для случая Л-матриц вида А — ЛЕ содержат как частный случай многие из результатов, полученных в предыдущих параграфах этой главы. Л-матрицы встречаются во всех вопросах математики. Так, например, решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами ям — и,яре (1 = 1, 2,..., и') с=1 ищется обычно в виде (2) РА = СЬЕ где Л и се — некоторые постоянные. Для нх определенна подставим функции (2) в систему и сократим уравнение на е~*.
Мы Б атом параграфе мы будом матрицы обозначать светлыми буквами. 241 Л-х!Атгицы 2 22) получим систему линейных уравнений Лс, =~ ~аьсы Ь=! матрица которой есть А — ЛЕ, где А матрица из коэффициентов системы (1). текил! образом, изучение системы дифференциальных уравнений (1) тесно связано с Л-матрицей первой степени относительно Л: А — ЛЕ. Аналогично, исследование системы уравнений порядка выше первого приводит к исследованию Л-матриц высших степеней. Например, исследование системы уравнений лз '! а,ь '.~ -Р 2 Ь,ь е. -!- ,'! с,1.уь = 0 1=1 1=1 1=1 приводит к исследованию Лматрицы АЛз-~-ВЛ-РС, где А = !!аь!(, В= ~!Ь.4.
С= ~!., ~~. Мы рассмотрим сейчас вопрос о каноническом виде Л-матриц относительно так называемых элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями Л-матриц называются преобразования следующих типов. 1" Перестановка между собой двух каких-либо строк или столбцов матрицы. 2' Прибавление к строке какой-либо другой строки, умноженной на некоторый многочлен 1р1Л), и, аналогично, прибавление к столбцу другого столбца, умноженного на некоторый многочлен. 3' Умножение строки или столбца на некоторое число, отличное от нуля. О п р е д е л е н и е.
Две Л-матрииы называются эквивалентными, если одна, может быть по,лучена из другой некоторой последовательностью элементарных преобразований. Обратное к каждому элементарному преобразованию есть снова элементарное преобразование. Это легко проверяется для каждого из трех типов элементарных преобразований. Так, если Л-матрица В(Л) 242 клноянчвскяй вил линейных певовглзовлняй (~л. щ получается из Л-матрицы А(Л) перестановкой строк, то обратной перестановкой строк мы можем из В(Л) получить А(Л). Если В(Л) получается из А(Л) прибавлением к й-й строке 4-й, умноженной на у(Л), то, обратно, А(Л) можно получить из В(Л) прибавлением к Й-й строке г-й, умноженной на — у(Л).
Из сделанного замечания следует, что если Л-матрица К(Л) эквивалентна Е(Л), то и обратно, ЦЛ) эквивалентна К(Л). В самом деле, пусть из Х(Л) применением некоторой последовательности элементарных преобразований получается Е(Л). Тогда, применяя к ЦЛ) в обратном порядке обратные преобразования, мы придем к К(Л). Если две Л-матрицы К1 (Л) и Хэ(Л) эквивалентны некоторой матрице К(Л), то они эквивалентны между собой.
Действительно, если сначала провести последовательность элементарных преобразований, переводящих К4(Л) в К(Л), а затем элементарные преобразования, переводящие К(Л) в К2(Л), то мы переведем Х~(Л) в К2(Л), т.е. К1(Л) эквивалентна К2(Л). Основной результат п. 1 этого параграфа состоит в доказательстве теоремы о том, что всякую Л-матрицу можно элементарными преобразованиями привести к диагональному виду.
Доказательству этого предложения предпошлем лемму: Л е м м а 1. Если элемент ам(Л) в Л-матриие А(Л) не равен нулю и если не все элементы аоь(Л) матрицы А(Л) делятся на мноеочлен ам(Л), то можно подобрать эквивалентную А(Л) Л-матрицу В(Л), для которой элемент Ьм(Л) также не равен нулю и имеет степень более низкую, чем аы(Л).
Д о к аз а тел ь с т в о. Предположим сначала, что не делящийся на а11(Л) элемент матрицы А(Л) находится в первой строке. Пусть, например, аы(Л) не делится ~ 22) Л - ь! А т Р и и ы на а!!(Л). Тогда а!ь(Л) можно представить в виде а!ь(Л) = а!!(Л)!р(Л) + Ь(Л), где !!!(Л) частное, Ь(Л) ф 0 остаток от деления а!ь(Л) на и!! (Л) и, следовательно, степень Ь(Л) ниже, чем степень а! !(Л).
Вычтем из й-го столбца первый, умноженный на !д(Л), Получим матрицу, где вместо аы(Л) стоит теперь многочлен Ь(Л), имеющий более низкую степень, чем а!!(Л). Переставляя теперь й-й столбец с первым, мы переведем Ь(Л) в левый верхний угол. Рассмотрим теперь случай, когда все элементы первой строки и первого столбца делятся на аы (Л), а некоторый элемент н,ь(Л) не делится на а!!(Л). Этот случай мы сведем к предыдущему следующим образом: о!!(Л) делится на а!!(Л), т.е.
имеет вид ап(Л) = !р(Л)а!!(Л). Вычтем из г-й строки первую, умноженную на !д(Л). Тогда ап(Л) заменится нулем, элемент а;ь(Л) заменится элементом а;ь(Л) = а,!,(Л) — !д(Л)а!ь(Л), который по-прежнему не делится на а!!(Л) (так как а!ь(Л) по предположению делится на а!!(Л)). Прибавим теперь !тк! строку к первой. Так как на первом месте в !тй строке теперь стоит нуль, то а!!(Л) не изменится, а на й-м месте в первой строке теперь будет стоять а!ь(Л) + а',„(Л) = а!ь(Л)(1 — !д(Л)) + гнь(Л) и, следовательно, в первой строке имеется элемент, не делящийся на а!!(Л). Мы свели этот случай к рассмотренному выше и, следовательно, лемма доказана. В дальнейшем мы будем пользоваться также следующим замечанием: если все элементы Л-матрицы В(Л) делятся на некоторый многочлен Е(Л), то после элементарных преобразований над матрицей В(Л) мы снова получим матрицу, элементы которой делятся на Е(Л).
Перейдем теперь к приведению Л-матрицы к диагональному виду. 244 клноничнский вил .линейных нгвовглзовлний (гл. ш Мы можем считать, что аы(Л) ~ О, так как, если в матрице есть хоть один элемент, отличный от нуля, то перестановками строк и столбцов его можно перевести на это место. Если не все элементы матрицы делятся на аы(Л), то мы можем способом, указанном в лемме., заменить матрицу эквивалентной, в которой элемент, стоящий в левом верхнем углу, имеет более низкую степень и по-прежнему отличен от нуля.
Если не все элементы делятся на него, то мы можем опять понизить степень этого элемента и т. д. Процесс закончится, когда мы придем к матрице В(Л), в которой все элементы делятся на Ь~ ~ (Л). Так как элементы Ь12(Л),..., Ьш (Л) первой строки делятся на Ь11(Л), то, вычитая из второго, третьего и т.
д. столбца первый, умноженный на соответственно подобранные многочлены от Л, мы можем обратить в нуль 2-й, З-й, ..., и-й элементы первой строки. Аналогично обратим в нуль все элементы, начиная со второго, в первом столбце. Так как в матрице В(Л) все элементы делились на Ьы(Л), то в полученной матрице все элементы также делятся на Ьы(Л). Разделим все элементы первой строки на старший коэффициент много- члена Ьы(Л). На первом месте получится многочлен со старшим коэффициентом 1, который мы обозначим через Е1(Л), а на остальных местах будут по-прежнему нули.
Мы приищи, таким образом, к матрице следующего вида: В (Л) О О ... О О с22(Л) сэз(Л) ... сзн(Л) О сз2(Л) сзз(Л) ... сз„(Л) О с 2(Л) с„з(Л) ... с,(Л) все элементы которой делятся на Е1 (Л). Л-мвтгипы 245 Мы можем теперь повторить с матрицей (и — 1)-го порядка 2сгя(Л)~~ те же операции, что с матрицей и-го порядка. Заметим, что всякое элементарное преобразование матрицы ~~с,ь~~ есть в то же время элементарное преобразование матрицы (3), так как в первой строке и столбце все элементы, кроме Е1 (Л), равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
