Главная » Просмотр файлов » 1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7

1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 28

Файл №824994 1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (Гельфанд 1998 Лекции по линейной алгебреu) 28 страница1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994) страница 282021-01-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Мы покажем, например., как вычислить многочлен от матрицы (4). Матрица (4) имеет вид А= ( где А, отдельные клетки, а все невыписанные элементы «ули. Тогда А = ( т. е. для того, чтобы возвести в некоторую степень матрицу А, достаточно уметь возвести в эту степень каждую из клеток, Пусть теперь Р11) = ао -> а~с т ... -~- а Ф"' произвольный многочлен. Тогда легко видеть,что Р1 4з) Р(Аь) Покажем теперь, как вычислить Р(А~), т.е.

многочлен от одной клетки нормальной формы матрицы (3). Для этого запишем матрицу 13) в виде А =Л Е-~Т, где Е единичная матрица порядка р, а матрица Т имеет вид 010 ... 00 001 ... 00 000 ... 01 000 ... 00 206 клноничвский вид линвйных неновелзовлний (гл. ш Заметим, что матрицы 1,1',..., 1г ' имеют следующий вид *): 001....0 000...01 0001...0 000...00 1 = .............,...,Р' з — 1 000....0 000 ... 00 000....0 000...00 1" = 1"~ = ... = О.

Р(1) — Р(Лз ) -~- (1 — Л з ) Р (Лз ) -~-, Р (Лз ) -~-... Рос(Л ) где п — степень многочлена. Подставляя вместо 1 матрицу Ам имеем: (А — Л~Е)з Р(Аз) = Р(Лз)Е -~- (Аз — ЛзЕ)Р'(Лз) -Е 2, Р" (Лз) -Е... (Аз — ЛзЕ)в Но Аз — ЛдЕ = 1, следовательно, РЯ(Лз) Р~ '(Л~) Р(Аз) = Р(Лз)Е -~- Р (Лз)1 -~-, 1 -Е -1-, 1~.

Подставляя вместо 1, 1з,..., Р' ' их выражения и учитывая, что 1" = 1'+ = ... = О, нолучаом окончательный вид матрицы ~аз Р(Аз): ( Р'(Лз) РЯ(Л,) Р< -И(Л,) 1! 2! (р — Ц! Р'(Л~) Р~~ з>(Л~) 1! (р — 2)! Р(А~) = О О О ... 1'(Л ) Проще всего это сосчитать так. Мы имеем 1ез = О, 1ез = ем ..., 1е = е„ь Следовательно, 1зез = О, 1зез = О, 1зез = ео ..., 1"ег = сея з. Аналогично, 1зез = 1'ег =1зез = О, з з 1 ез=со...,1е„=е„— з. Теперь нетрудно вычислить произвольный многочлон от матри- цы (3).

Действительно, многочлсн Р(1) можно по формуле Тейлора представить в виде 1 19) !!РИВН!!РНИК К НОРЛМАЛЬНОЙ ФОРМН 207 Мы видим, таким образом, что., для того !тобы вычислить многочлен от одной клетки нормальной формы порядка р, достаточно знать:значение этого многочлена и его производных до порядка р — 1 в точке Л!, где Л! собственное значение, отвечающее клетке.

Отсюда следует, что если матрица А имеет нормальную форму (4) с клетками порядков р,а,..., л, то для вычисления матрипы Р(А!) достаточно знать значения Р(!) в точках ! = Л!, Лз,..., Ль с производными до порядков р — 1, д — 1, ., л — 1 соответственно. Мы докажем следующую теорему. Те о ре ма. 11усть в комплексном и-мерном пространстве задано линейное преобразование А. Тогда можно найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет нормальную форму. Другими словами, можно найти базис, в котором линейное преобразование имеет вид (2). Два независимых доказательства сформулированной теоремы будут даны в 919 и 20. Кроме того, важная теория инвариантных множителей и Л-матриц дает нам третье независимое доказательство этого результата. 9 19.

Приведение произвольного преобразования к нормальной форме Мы уже упоминали в 9 18, что в случае, когда у преобразования А не хватает линейно независимых собственных векторов (т.е, когда их число меньше размерности пространства), базис приходится дополнять за счет так называемых присоединенных векторов (их точное определение будет дано чуть позже). В этом параграфе дается способ построения базиса, в котором матрица преобразования А имеет жорданову нормальную форму. Этот базис мы непосредственно наберем из собственных и присоединенных векторов, и такой 208 кАноничнский вид линнЙных ИРКОИРАзонАниЙ >Гл. >н способ выбора является, в некотором смысле, наиболее естественным *) . Перед этим параграфом мы рекомендуем читателю перечитать п.

4 8 9 и разобрать приведенные там примеры. 1. Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования. Пусть Ло некоторое собственное значение преобразования А. Мы уже имели раньше такое определение. Определение 1. Вектор ео у'= О назывоепися собственным вектором преобразования А, отвечающим собственному значению Ло, если Аа = Лот, т. е.

(А — ЛоЕ)а = О. (1) Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном Ло. Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства В. Мы обозначим его >т' . Легко видеть, что ХА инваРд „П) Ао ' Ло риантно относительно преобразования А (проверьте!). Заметим, что надпространство Х состоит из всех Ю Ао собственных векторов преобразования А, отвечаи>щих собственному значению Ло, к которым добавлен еще нулевой вектор.

О и р е д е л е н и е 2. Вектор х называется присоединенным вектором 1-го порядка преобразования А, отвечающим собственному значению Ло, если оектор у = (А — ЛНЕ)а яв яется собственным вектором преобразования А. Пусть Ло — собственное значение преобразования А. Си. также И. В. П р о с к у р я к он, Сборник задач по линейной алгебре, где имеется аналогичное доказательство.

2 19) ИРивнлвнин к ноРлмАльнОЙ ФОРмв 209 Рассмотрим подпространство, состоящее из всех векторов х, для которых выполнено условие (2) (А — ЛНЕ) х = О, т.е. ядро преобразования (А — Л9Е)2. Обозначим это подпространство ХА, ЖА является инвариантным (21 12) а' о подпространством пространства Л. В самом деле, пусть, х Е ХА,, т.е. (А — ЛНЕ) х = О.

Нам надо дока- (21 2 зать, что и вектор Ах Е Х „, т.е. что (А — ЛНЕ) Ах = О. 12) Но преобразование А перестановочно с (А — ЛНЕ)2, т. е. (А — ЛоЕ)2Ах = А(А — ЛоЕ)2х = О. Рассмотрим несколько более подробно структуру (21 пространства 11'А ~. В нем есть векторы двух типов. Если х Е ХА, т.е. (А — ЛОЕ)х = О, то подавно и (А — ЛНЕ)2х = О, т.е. х Е Х .

Таким образом, Х целиком содержится в ХА . Если х е Л'А, но х ф Л'А 121 121 О) Ао ' Ао ' Ао ' т. е. (А — ЛоЕ)х Ф О, (А — ЛоЕ) х = О, то х присоединенный вектор 1-го порядка. Действительно, в этом случае у = (А — ЛНЕ)х есть собственный вектор. Таким образом, подпространство Л' получается, 12) Ао сали к подпространству Л' добавить присоединенные векторы 1-го порядка. Аналогично вводим подпространство ХА, состоя- ОО Ао ' щее из всех векторов х, для которых (А — ЛоЕ)~х = О. 210 клноничнский вид линеиных НРвовелзовлниЙ (Гл. т Это подпространство инвариантно относительно преобразования А. Ясно,что подпространство Лл соОл) 0 11 — Ц держит предыдущее подпространство Х О пр е деление 3.

Векгпор и называеп1ся присоединенным вектором 'к-го порядка, если вектор у = (А — ЛвЕ)л есть присоединенный вектпор порядка в. — 1. По индукции можно показать, что если х единенный вектор к-го порядка, то (А — ЛвЕ)~т ~ О, (А — ЛвЕ)~~~х = О присо- АРЯ = — „Р(1). Легко видеть, что Л = О есть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор Р(1) = сопв$. 1Ь) Найдем для этого преобразования пространства Х„ 11о определению Хв состоит из всех многочленов Р(1), (ь) для которых А Р(1) = О, т. е. Р(1) — О. Это будут все многочлены, степень которых не превы- шает к — 1.

Присоединенными векторами Л-го порядка будут многочлены, стопень которых в точности равна й — 1. Другими словами, присоединенным вектором в-го порядка называется вектор, принадлежащий Х и (ь->1) Аа 1Ь) не принадлежащий Х П р и м е р. Пусть Л пространство многочленов степени ( и — 1 и преобразование А.. дифференцирование: 1 19) БРинБдвнин к ноРлмлльной ФОРмв 211 В этом примере размерность каждого из подпространств равна Хо и она растет от 1 до и вместе (ь) с ростом а. Подпространство 111б ~ уже совпадает со всем пространством Л, и если мы захотим определить (о.~- Ц (и-~-21 2Л1б, ДСН и т.

д... то все эти подпространства будут совпадать с 1ЛН ~. (ь-Р1) Легко видеть также, что в этом примере АХН~ (Л'1 = Хб ~. Это следует из того, что каждый многочлен степени й есть производная от многочлена степени к+ 1. Уп р аж не н и е. Показать, что для любого линейного преобразования Л имеет место включение (А — ЛоЕ)Или~ 1 С Х~,~. Пусть А — линейное преобразование, а Лб "- его собственное значение. Покажем, что подпространства ХЛ, ХЛ,... сначала строго возрастают с ростом ин- (1) (21 Ло ' Ло '''' деков, а затем, начиная с некоторого номера р < п, этот рост прекращается, т.

е. ,~(Р~ д„~ ~-П Ло Ла (см. приведенный в этом пункте пример). Мы уже показали, что каждое подпространство 1Л1 (ь) Ло (ь-1) содержит ХЛ, т.е. что с увеличением номера подпространства Л'л, а значит, и их размерности, могут (ь) Ло только увеличиваться. Так как наше пространство консчномерно, то для какого-то р ( п мы впервые получим, что 111Л вЂ” — 11' М ' ~Р-~1) (см. упражнение на стр. 25). Докажем, что в этом случае Х = Х (Р-РЦ (Р+21 т. е. что дальнейшего возрастания подпространств происходить не будет. 212 кАноничвский Вил линейных НРКОВРАзоВАВий (Гл.

ш Действительно, предположим противное, а именно, (Р+ ) что Л11 — — ЖА ., но для некоторого 1 ) О подпроо о 1р-гг-~-1) 1р-Рг) странство Лг " ' строго больше, чем М Р . Тогда существует вектор х такой, что Лг1ф> г Е1) г г 1Р 1 г) Ао ' ~ Ао Это значит, что (А — ЛВЕ)"+'Р'и = О, но (А — ЛВЕ)РР 'и у'= О. (4) Обозначим через у вектор р = (А — ЛВЕ)'х. Тогда первое 1Р-~1) из равенств (4) означает, что у Е Л1А~~, а второе, что у ф Л1А~, что невозможно, так как подпространства (Р-Р1) Лг и Лг по предположению совпадая>т. Итак, пусть ЛВ-.— некоторое собственное значение преобразования А. Основным результатом этого пункта является построение инвариантного подпространства Л1 ~', состоящего из всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
1,42 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее