1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Мы покажем, например., как вычислить многочлен от матрицы (4). Матрица (4) имеет вид А= ( где А, отдельные клетки, а все невыписанные элементы «ули. Тогда А = ( т. е. для того, чтобы возвести в некоторую степень матрицу А, достаточно уметь возвести в эту степень каждую из клеток, Пусть теперь Р11) = ао -> а~с т ... -~- а Ф"' произвольный многочлен. Тогда легко видеть,что Р1 4з) Р(Аь) Покажем теперь, как вычислить Р(А~), т.е.
многочлен от одной клетки нормальной формы матрицы (3). Для этого запишем матрицу 13) в виде А =Л Е-~Т, где Е единичная матрица порядка р, а матрица Т имеет вид 010 ... 00 001 ... 00 000 ... 01 000 ... 00 206 клноничвский вид линвйных неновелзовлний (гл. ш Заметим, что матрицы 1,1',..., 1г ' имеют следующий вид *): 001....0 000...01 0001...0 000...00 1 = .............,...,Р' з — 1 000....0 000 ... 00 000....0 000...00 1" = 1"~ = ... = О.
Р(1) — Р(Лз ) -~- (1 — Л з ) Р (Лз ) -~-, Р (Лз ) -~-... Рос(Л ) где п — степень многочлена. Подставляя вместо 1 матрицу Ам имеем: (А — Л~Е)з Р(Аз) = Р(Лз)Е -~- (Аз — ЛзЕ)Р'(Лз) -Е 2, Р" (Лз) -Е... (Аз — ЛзЕ)в Но Аз — ЛдЕ = 1, следовательно, РЯ(Лз) Р~ '(Л~) Р(Аз) = Р(Лз)Е -~- Р (Лз)1 -~-, 1 -Е -1-, 1~.
Подставляя вместо 1, 1з,..., Р' ' их выражения и учитывая, что 1" = 1'+ = ... = О, нолучаом окончательный вид матрицы ~аз Р(Аз): ( Р'(Лз) РЯ(Л,) Р< -И(Л,) 1! 2! (р — Ц! Р'(Л~) Р~~ з>(Л~) 1! (р — 2)! Р(А~) = О О О ... 1'(Л ) Проще всего это сосчитать так. Мы имеем 1ез = О, 1ез = ем ..., 1е = е„ь Следовательно, 1зез = О, 1зез = О, 1зез = ео ..., 1"ег = сея з. Аналогично, 1зез = 1'ег =1зез = О, з з 1 ез=со...,1е„=е„— з. Теперь нетрудно вычислить произвольный многочлон от матри- цы (3).
Действительно, многочлсн Р(1) можно по формуле Тейлора представить в виде 1 19) !!РИВН!!РНИК К НОРЛМАЛЬНОЙ ФОРМН 207 Мы видим, таким образом, что., для того !тобы вычислить многочлен от одной клетки нормальной формы порядка р, достаточно знать:значение этого многочлена и его производных до порядка р — 1 в точке Л!, где Л! собственное значение, отвечающее клетке.
Отсюда следует, что если матрица А имеет нормальную форму (4) с клетками порядков р,а,..., л, то для вычисления матрипы Р(А!) достаточно знать значения Р(!) в точках ! = Л!, Лз,..., Ль с производными до порядков р — 1, д — 1, ., л — 1 соответственно. Мы докажем следующую теорему. Те о ре ма. 11усть в комплексном и-мерном пространстве задано линейное преобразование А. Тогда можно найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет нормальную форму. Другими словами, можно найти базис, в котором линейное преобразование имеет вид (2). Два независимых доказательства сформулированной теоремы будут даны в 919 и 20. Кроме того, важная теория инвариантных множителей и Л-матриц дает нам третье независимое доказательство этого результата. 9 19.
Приведение произвольного преобразования к нормальной форме Мы уже упоминали в 9 18, что в случае, когда у преобразования А не хватает линейно независимых собственных векторов (т.е, когда их число меньше размерности пространства), базис приходится дополнять за счет так называемых присоединенных векторов (их точное определение будет дано чуть позже). В этом параграфе дается способ построения базиса, в котором матрица преобразования А имеет жорданову нормальную форму. Этот базис мы непосредственно наберем из собственных и присоединенных векторов, и такой 208 кАноничнский вид линнЙных ИРКОИРАзонАниЙ >Гл. >н способ выбора является, в некотором смысле, наиболее естественным *) . Перед этим параграфом мы рекомендуем читателю перечитать п.
4 8 9 и разобрать приведенные там примеры. 1. Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования. Пусть Ло некоторое собственное значение преобразования А. Мы уже имели раньше такое определение. Определение 1. Вектор ео у'= О назывоепися собственным вектором преобразования А, отвечающим собственному значению Ло, если Аа = Лот, т. е.
(А — ЛоЕ)а = О. (1) Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном Ло. Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства В. Мы обозначим его >т' . Легко видеть, что ХА инваРд „П) Ао ' Ло риантно относительно преобразования А (проверьте!). Заметим, что надпространство Х состоит из всех Ю Ао собственных векторов преобразования А, отвечаи>щих собственному значению Ло, к которым добавлен еще нулевой вектор.
О и р е д е л е н и е 2. Вектор х называется присоединенным вектором 1-го порядка преобразования А, отвечающим собственному значению Ло, если оектор у = (А — ЛНЕ)а яв яется собственным вектором преобразования А. Пусть Ло — собственное значение преобразования А. Си. также И. В. П р о с к у р я к он, Сборник задач по линейной алгебре, где имеется аналогичное доказательство.
2 19) ИРивнлвнин к ноРлмАльнОЙ ФОРмв 209 Рассмотрим подпространство, состоящее из всех векторов х, для которых выполнено условие (2) (А — ЛНЕ) х = О, т.е. ядро преобразования (А — Л9Е)2. Обозначим это подпространство ХА, ЖА является инвариантным (21 12) а' о подпространством пространства Л. В самом деле, пусть, х Е ХА,, т.е. (А — ЛНЕ) х = О.
Нам надо дока- (21 2 зать, что и вектор Ах Е Х „, т.е. что (А — ЛНЕ) Ах = О. 12) Но преобразование А перестановочно с (А — ЛНЕ)2, т. е. (А — ЛоЕ)2Ах = А(А — ЛоЕ)2х = О. Рассмотрим несколько более подробно структуру (21 пространства 11'А ~. В нем есть векторы двух типов. Если х Е ХА, т.е. (А — ЛОЕ)х = О, то подавно и (А — ЛНЕ)2х = О, т.е. х Е Х .
Таким образом, Х целиком содержится в ХА . Если х е Л'А, но х ф Л'А 121 121 О) Ао ' Ао ' Ао ' т. е. (А — ЛоЕ)х Ф О, (А — ЛоЕ) х = О, то х присоединенный вектор 1-го порядка. Действительно, в этом случае у = (А — ЛНЕ)х есть собственный вектор. Таким образом, подпространство Л' получается, 12) Ао сали к подпространству Л' добавить присоединенные векторы 1-го порядка. Аналогично вводим подпространство ХА, состоя- ОО Ао ' щее из всех векторов х, для которых (А — ЛоЕ)~х = О. 210 клноничнский вид линеиных НРвовелзовлниЙ (Гл. т Это подпространство инвариантно относительно преобразования А. Ясно,что подпространство Лл соОл) 0 11 — Ц держит предыдущее подпространство Х О пр е деление 3.
Векгпор и называеп1ся присоединенным вектором 'к-го порядка, если вектор у = (А — ЛвЕ)л есть присоединенный вектпор порядка в. — 1. По индукции можно показать, что если х единенный вектор к-го порядка, то (А — ЛвЕ)~т ~ О, (А — ЛвЕ)~~~х = О присо- АРЯ = — „Р(1). Легко видеть, что Л = О есть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор Р(1) = сопв$. 1Ь) Найдем для этого преобразования пространства Х„ 11о определению Хв состоит из всех многочленов Р(1), (ь) для которых А Р(1) = О, т. е. Р(1) — О. Это будут все многочлены, степень которых не превы- шает к — 1.
Присоединенными векторами Л-го порядка будут многочлены, стопень которых в точности равна й — 1. Другими словами, присоединенным вектором в-го порядка называется вектор, принадлежащий Х и (ь->1) Аа 1Ь) не принадлежащий Х П р и м е р. Пусть Л пространство многочленов степени ( и — 1 и преобразование А.. дифференцирование: 1 19) БРинБдвнин к ноРлмлльной ФОРмв 211 В этом примере размерность каждого из подпространств равна Хо и она растет от 1 до и вместе (ь) с ростом а. Подпространство 111б ~ уже совпадает со всем пространством Л, и если мы захотим определить (о.~- Ц (и-~-21 2Л1б, ДСН и т.
д... то все эти подпространства будут совпадать с 1ЛН ~. (ь-Р1) Легко видеть также, что в этом примере АХН~ (Л'1 = Хб ~. Это следует из того, что каждый многочлен степени й есть производная от многочлена степени к+ 1. Уп р аж не н и е. Показать, что для любого линейного преобразования Л имеет место включение (А — ЛоЕ)Или~ 1 С Х~,~. Пусть А — линейное преобразование, а Лб "- его собственное значение. Покажем, что подпространства ХЛ, ХЛ,... сначала строго возрастают с ростом ин- (1) (21 Ло ' Ло '''' деков, а затем, начиная с некоторого номера р < п, этот рост прекращается, т.
е. ,~(Р~ д„~ ~-П Ло Ла (см. приведенный в этом пункте пример). Мы уже показали, что каждое подпространство 1Л1 (ь) Ло (ь-1) содержит ХЛ, т.е. что с увеличением номера подпространства Л'л, а значит, и их размерности, могут (ь) Ло только увеличиваться. Так как наше пространство консчномерно, то для какого-то р ( п мы впервые получим, что 111Л вЂ” — 11' М ' ~Р-~1) (см. упражнение на стр. 25). Докажем, что в этом случае Х = Х (Р-РЦ (Р+21 т. е. что дальнейшего возрастания подпространств происходить не будет. 212 кАноничвский Вил линейных НРКОВРАзоВАВий (Гл.
ш Действительно, предположим противное, а именно, (Р+ ) что Л11 — — ЖА ., но для некоторого 1 ) О подпроо о 1р-гг-~-1) 1р-Рг) странство Лг " ' строго больше, чем М Р . Тогда существует вектор х такой, что Лг1ф> г Е1) г г 1Р 1 г) Ао ' ~ Ао Это значит, что (А — ЛВЕ)"+'Р'и = О, но (А — ЛВЕ)РР 'и у'= О. (4) Обозначим через у вектор р = (А — ЛВЕ)'х. Тогда первое 1Р-~1) из равенств (4) означает, что у Е Л1А~~, а второе, что у ф Л1А~, что невозможно, так как подпространства (Р-Р1) Лг и Лг по предположению совпадая>т. Итак, пусть ЛВ-.— некоторое собственное значение преобразования А. Основным результатом этого пункта является построение инвариантного подпространства Л1 ~', состоящего из всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
