1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Лемма доказана. У п раж пенно. Доказать, что производоние двух собственных или двух несобственных ортогональных преобразований есть собственное ортогональное преобразованив, а произведение собственного на несобственное есть несобственное ортогональноо преобразование. линвйнын пгноьтлзовлния (гл. и 188 3 а м е ч а н и е. Разделение ортогональных преобразований на собственные и несобственные свя:зано с тем, что ортогональное преобразование, которое можно получить непрерывным переходом от единичного преобразования, обязательно собственно. Действительно, пусть Аз — ортогональное преобразование, непрерывно зависящее от параметра 1 (это значит, что элементы матрицы этого преобразования в каком-либо базисе непрерывно зависят от 1),причем Ае = Е. Тогда определитель этого преобразования есть так>не непрерывная функция от а Так как непрерывная функция,принимазошая лишь значения +1, должна быть постоянной., анри 1 = О определитель преобразования А~ равен 1, то и прис ф О определитель преобразованил Аз равен 1.
Используя теорему 5:этого параграфа, можно показать и обратное, а именно, что всякое собственное ортогональное преобразование может быть получено непрерывным изменением из единичного. (; ~) (и) Разберем сначала случай собственного ортогонального преобразования, т. е. положим од — 1з у = 1. Изучим ортогональные преобразования в одномерном и двумерном пространствах. Ниже мы увидим, что изучение ортогональных преобразований в пространстве любого числа измерений сводится к этим простейшим случаям. Пусть е --.
вектор, порождающий одномерное пространство, в котором задано ортогональное преобразование А. Тогда Ае = Ле и так как в силу ортогональности (Ае, Ае) = (е,е), то Лз(е,е) = (е, е). т.е. Л = щ1. Таким образом, в одномерном пространстве есть лишь два ортогональных преобразования: преобразование Ах = х и преобразование Ах = -х; первое из них собственное., а второе несобственное. Рассмотрим ортогональное преобразование в двумерном пространстве Л. Пусть е1, ез --. ортогональный нормированный базис в В.
Пусть далее преобразование А в этом базисе задается матрицей 8 16) НРНОВРлзОклния В ВРИЦкстВкннОм пРОстРлнстВк 189 Условие ортогональности преобразования означает, что произведение матрицы (13) на ее транспонированную есть единичная матрица, т. с. что (14) Так как определитель матрицы (13) равен единице, то (15) Из (14) и (15) следует, что матрица преобразования в этом случае имеет вид где аа + ф = 1. Полагая лт = сов ~р, ф = Вшу, получаем что всякое собственное ортоеонаяьное преобразование в двумерном пространстве имеет в ортоконояьном нормированном базисе матрицу видо, сок ~р — кш~р1 Вйп лр сов ~р) (поворот в плоскости на угол р).
Пусть теперь А — несобственное преобразование, т. е. лтб — Д 1 = — 1. В этом случае характеристическое уравнение матрицы имеет вид Л вЂ” (сл+б) Л вЂ” 1 и, следовательно, имеет вещественные корни. Значит, у преобразования А имеется собственный вектор е, Ае = Ле. Из ортогональности преобразования следует, что Ае = те.
11о ортогональное преобразование не меняет углов между векторами и их длин. Значит, ортогонзльный е вектор е1 переходит после преобразования в вектор, ортогональный Ае = ~е, т.е. в ~е1. Итак, в базисе ел е1 матрица преобразования А имеет вид ( ол1) линейные пееовелзовкния ~гл. и Так как определитель матрицы несобственного преобразования равен — 1, то возможны лишь следующие канонические виды матрицы несобственного ортогонального преобразования в двумерном пространстве Π— 1 ' О +1 (Зеркальные отражения относительно одной из осей.) Найдем теперь простейший вид матрицы ортогонального преобразования для случая пространствалюбого числа измерений.
Т е о р е м а 5. Пусть А ортогональное преобразование, в и-мерном евклидовом пространстве Л. В Л существует ортогональный нормированный базис еы ез,...,е„, в котором матрица преоброзовани А имеет вид 1 — 1 сов у1 — вш:р1 вш ~р1 сов р1 сов дь — вш рь вш уп сов рь Все элементы, кроме выписанных, сугпь нули. Д о к аз а тельство.
Согласно теореме 1 этого параграфа в Л можно выбрать либо одномерное., либо двумерное инвариантное надпространство Л~ц. Если существует одномерное инвариантное надпространство Л~"), то обозначим через е1 содержащийся в нем вектор единичной длины. Если же одномерного ~16~ невовелзовлния в ввя1встввнном пеостглнствв 191 инвариантного подпространства нет., то возьмем двумерное и обозначим через е1, ез его ортогональный нормированный базис. В случае, если Л111 одномерно, преобразование А имеет в нем вид; Аи = шл.
В случае, если подпространство ЛП~ двумерно, наше преобразование является в нем собственным ортогональным преобразованием (так как в противном случаев в Л~П существовало бы одномерное инвариантное подпространство), и, следовательно, А имеет в Л1П матрицу сову — в1п~р 1 в1п ~р соя ~р( Совокупность Л векторов, ортогональных ко всем векторам из Ф ~, согласно доказанной выше лемме, есть снова инвариантное подпространство.
В инвариантном подпространстве Л снова находим одномерное или двумерное инвариантное подпространство, выбираем в нем базис и так далее. Мы получим таким образом и попарно ортогональных векторов длины 1. Примем их за базис в Л. Тогда матрица преобразования в этом базисе будет иметь вид 1 — 1 — 1 сое р1 — еш .р1 вш р1 соя д1 соя рь — е1в рь еш ~рь соя ~рь ',ГЛ. Н 192 :1ИНКЙНЫК ПРКОВРАСЗОВАНИЯ где стоящие по диагонали ж1 отвечают одномерным ин- вариантным подпространствам, а еклеткиа сок 1р; — К1п1р,х~ К1п 'Рг сон ~рг) двумерным инвариантным подпространствам.
Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Назовем простым вращением собственное ортогональное преобразование, представляющее собой поворот в некоторой двумерной плоскости и оставляющее неизменным (п — 2)-мерное подпространство, ортогональное к этой плоскости.
Таким образом, простое вращение есть преобразование, матрица которого может быть приведена к виду 1 соя т — в1п т сйп р соз р 1 Лросп1ым отроженвем мы назовем несобственное линейное преобразование, меняющее направление всех векторов, принад.лежащих некоторому одномерному подпростраиству, на противоположное и оставляющее неизменными векторы его (и — 1)-мерного ортогонального дополнения. Таким образом, простое отражение есть преобразование, матрица которого в некотором базисе имеет вид 1 1 — 1 1 Пользуясь результатом теоромы 5, нетрудно показать, что всякое ортогональное преобразование может быть представлено как произведение некоторого числа простых вращений и простых отражений.
Доказательство предоставляется читателе. 117) эксзтвмлльныв свойствл совстввнных знлчвннй 193 й 17. Экстремальные свойства собственных значений Рассмотрим самосопряженное линейное преобразование А в п-мерном евклидовом пространстве. Мы покажем, что его собственные значения можно получитьп РассматРиваЯ некотоРУк1 заДачУ на минимУм, свЯ- ванную с соответствующей А квадратичной формой (Ах, х). Это, в частности, позволит доказать существование собственных векторов, не пользуясь теоремой о существовании корня уравнения н-й степени. Эти экстремальные свойства полезны также при вычислении собственных значений. Мы рассмотрим сначала вещественное пространство, а затем перенесем полученные результаты па случай комплексного пространства.
Докажем сна ила следующую лемму. Л с м м а 1. Пусть  — салюсопряхсенное линейное преобразование в вещественном пространстве такое, что квадратичная форма (Вх, х) неотрицат,е,льна, пь е. (Вх,х) > О дял, любого х. Тогда, если для некоторого х = е (Ве,е) = О, то иВе=О. Д о к аз а тел ь с т в о. Покажем, что для любого вектора 6 имеем (Ве,6) = О.
Для этого положим х = = е + ь6, где 1- — произвольное число, а 6 --вектор. Тогда имеем (В(е + 16), е + 16) = = (Ве, е) + й(Ве, 6) + ь(В6, е) + ьз(В6, 6) > О, т.е. так как (В6,е) = (6,Ве) = (Ве,6) и (Ве,е) = О, то 21(Ве, 6) + 19(В6, 6) > О для любых 1. Отсюда следует, что (Ве, 6) = О. (гл. и 194 ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Действительно, функция ай + 61~ при а у= О меняет знак в точке 1 = О, мы же получили, что выражение 21(Ве, 6) + 19 (В6, 6) для любых 1 неотрицательно, следовательно., (Ве,6) = О. Так как 6 произвольно, то Ве = О, что и требовалось доказать. Пусть А некоторое самосопряжонное линейное преобразование в и;мерном вещественном евклидовом пространстве.
Соответствующую А квадратичную форму (Ах.,х) будем рассматривать на единичной сфере, т.е. на множестве векторов х, для которых (х,х) = 1. Имеет место следующая теорема. Т е о р е м а 1. Пусть А.- самосопрялсенное линейное преобразование. Тогда соответсспвующая А квадратичная форма (Ах.,х) достигает на единичной сфсре минимума Л1. Вектор еы на котором эпиат минимум достигается, есть собсчпвенный вектор преобразования А, а значение минимума Л1 соотвгт; ствуюи1ее собственное значение этпого преобразования. Доказательство. Единичная сфера есть ограниченное замкнутое множество в и-мерном пространстве.
Поэтому (Ах,х), как непрерывная на нем функция, достигает минимума в некоторой точке е1. Обозначим этот минимум через Л1. Тогда имеем (Ах,х) > Л1, если (х,х) = 1, (1) причем (Аеы е1) = Л1, где (еы е~ ) = 1. 517) экотгвмлльныв своЙсгвл совствеввыл значений 195 Запишем неравенство (1) в виде (Ах, х) > Л~(х, х), где (х, х) = 1. (2) Оно справедливо для векторов длины единица. Так как при умножении х на некоторое число а как правая, так и левая части неравенства умножаются на а, то оно справедливо для векторов любой длины (поскольку любой вектор можно получить из вектора длины единица умножением его на некоторое число о).
Полученное норавенство можно переписать так: (Ах — Л~х, х) > О для любых х, причем для х = е~ имеет место (Ае~ — Л~ем е~) = О. Это значит, что преобразование В = А — Л~Е удовлетворяет условиям леммы 1. Отсюда, применяя эту лемму, получаем: (А — Л~Е)е~ = О, т. е. Ае~ = Л~еп Таким образом, е~ является собственным вектором преобразования А, соответствующим собственному значению Ль Теорема доказана.
Для нахождении следующего собственного значения рассмотрим все векторы из гг, ортогонэльные к собственному вектору еь Как было показано в п.2 916 (лемма 2), эти векторы образуя>т (в — 1)-мерное подпространство Лм инвариантное относительно преобразования А. Отыскивая минимум квадратичной формы (Ах,х), при условии (х, х) = 1, в этом подпространстве мы придем к новому собственному вектору ез и собственному ЗначсниЮ Лз. Очевидно, что Ля > ЛЫ так как минимум (Ах, х) во всем пространстве но может быть больше, чем минимум той же функции в подпространстве.
)гл. и 196 ЛИННЙНЪ|Е ПРЕОВРЛЗОВЛНИЯ Следующий собственный вектор мы получим, решая ту же задачу в (тд — 2)-мерном инвариантном подпростРанстве, состоЯщем из воктоРовд оРтогональных и ед и ез. Значение минимУма 1Ахдх) в этом поДпРостРанстве будет третьим собственным значением. Продолжая этот процесс, мы исчерпаем все п собственных значений и соответствующих им собственных векторов нашего преобразования. Иногда бывает полезно определить второй, третий и т.
д. собственные векторы преобразования из задачи на максимум или минимум непосредственно, не считая при этом известными предыдущие собственные векторы. Пусть А самосопряженноо линейное преобразование. Обозначим через л <л « л его собственные значения, расположенные в возрастающем порядке, а через ед, ег,..., е„- соответствующие им нормированные и ортогональные собственные векторы. Покажем, что если мы возьмем гдервые я собственном векторов ед,ег,...,еь и порожденное ими подпросдпранспдво Я, то длл любого вектора х из о' имеет мегдпо неравенгдпво Лд(х, х) ~( (Ах,х) (ь Ль(х, х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
