1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

(3), А = А1+ 1А2 где А1 и А2 самосопряженные преобразования. Действительно, А+ А* .А — А' А= 2 +г: 2 Введем обозначения =А ' =А 2 ' 21 1; . 2 Тогда А+, ~А+ ~„), (А, + А„) = -(А*+ А) = А1 Легко видеть, что равенства (а) и (б) эквивалентны. Всякое комплексное число ~ представимо в виде ~ = = а+ Ц, где о и Д действитсльныс числа. Аналогично: Всякое линейное. преобразование А может быть записано в виде (гл. и 152 ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ А — А*1* А~ — — ) = — — (А — А')* = — —,(А* — А*') = 21 ) 21 21 1 =- — (А — А) =Аз, 21 т.е.

А1 и Ао. -- самосопряженные преобразования. Таким образом, самосопряженные преобразования играют среди всех линейных преобразований роль, аналогичную роли действительных чисел среди комплексных. У п р а ж н е н и я. 1. Доказать единственность представления преобразования А в видо (3). 2. Доказать, что линейная комбинация с действительными коэффициентами самосопряженных преобразований есть снова самосопряженное преобразование. 3. Доказать, что если А произвольное линейное преобразование, то преобразования .АА* и А" А самосопряженные. П р и м е ч а н и е.

В отличие от комплексных чисел, АА*, вообще говоря, не равно А*А. Произведение двух самосопряженных линейных преобразований не есть, вообще говоря, самосопряженное преобразование. Имеет место следующая Т е о р е м а 3. Пусть А и В самосопряженные линейные преобразования. Для того чтобы преобразование АВ было также салсосопряженнььи, необходимо и достаточно, чтобы АВ = ВА, т. е, чтобы преобразования А и В были перестановочньь Доказательство. Нам дано, что А*=А и В*=В. Мы ищем необходимое и достаточное условие того, чтобы выполнялось равенство (АВ)* = АВ. з 11) линпйнОВ пРВОВРлзОВлние, сопРЯжынное к длннОмн 153 Но (АВ)* = В*А* = ВА.

Следовательно, равенство (4) имеет место тогда и только тогда, когда АВ = ВА. Теорема доказана. У яр аж пение. Доказать, что если А и В самосопряженные преобразования, то самосопряжонными бу.дут и преобразования АВ -Р ВА и ~(А — В.4). Аналогом комплексных чисел, равных по модулю единице, т.е. таких, что гг = 1, являются унитарные преобразования. Определение 3. Линейное преобразование сс называется унитарным, если ШУ* = 11*С = В *).

Другими словами, для унитпарного преобразования Г=11 '. В 2 13 мы познакомимся с весьма простой геометрической интерпретацией унитарных преобразований. У краж пения. 1. Доказать, что произведение двух унитарных преобразований есть снова унитарное преобразование. 2. Показать,что если Г унитарноепреобразование, а .4 самосопряженное преобразование, то Г АГ также самосопряженное. Ниже (в 2 15) мы докажем, что всякое линейное преобразование можно представить как произведение самосопряженного на унитарное. Эту теорему можно рассматривать как обобщение записи комплексного числа в тригонометрической форме.

Введем еще одно определение. В и-мерном пространстве условия Г" Г = и и оса* = Е зквивалентны. В бесконечномерном пространстве зто два различных уСлОвия. (гл. и 154 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОЕРЯЗОВЛНИЯ О пред ел е н и е 4. Линейное преобразование А называется норжальныж, если АА* = А*А. Для комплексных чисел нет надобности в аналогичном понятии, так как умножение комплексных чисел коммутативно и, значит, ао всегда равно оа. Нетрудно убедиться, что как самосопряженные, так и унитарные преобразования являются частными случаями нормальных преобразований.

Более детальному изучении! отдельных классов линейных преобразований в евклидовом пространстве будут посвящены дальнейшие параграфы этой главы. При этом мы получим для различных типов преобразований весьма простую геометрическую характеристику. Й 12. Самосопряженные (эрмитовы) преобразования. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов 1. Самосопряженные преобразования. В этом параграфе мы более подробно изучим класс самосопряженных преобразований и-мерного евклидова пространства. Эти преобразования часто встречаются в различных приложениях. (Существенную роль самосопряженные преобразования, правда в бесконечномерном пространстве, играют в квантовой механике).

Л е м м а 1. Собственные значения самосопрялсенного преобразования вещественны. Д о к аз атель с т в о. Пусть х-- собственный вектор самосопряженного преобразования А и Л соответствующее собственное значение, т. е. Ах=Лх; х~О. Так как А* = А, то (Ах! х) = (х, Ах), е 12) ОАмосопРЯжВнные (зРмитОВы) НРВОНРАЗОВАниЯ 155 т, е. (Лх,х) = (х, Лх). Вынося Л за скобки, получим: Л(х, х) = Л(х, х), и так как (х, х) ф О, то Л = Л, что и требовалось доказать.

Л е м м а 2. Пусть А — самосопряженное линейное преобразование в и-мерном пространстве Л и е его собственный векгпор. Совокупность Л1 векторов х, ортогональных к е, есть (и — 1)-мерное подпространство, инвариантное относительно преобразования А. Д о к аз а тел ь с т в о. Совокупность Л1 векторов х, ортогональных к е, образует (и — 1)-мерное подпространство.

Покажем, что Л1 инвариантно относительно А. Пусть х Е Ль Это значит, что (х,е) = О. Тогда и (Ах, е) = О, т.е. Ах Е Лы Действительно, (Ах, е) = (х, А" е) = (х, Ае) = (х, Ле) = Л(х, е) = О. Мы доказали, что преобразование А не выводит векторы, принадлежащие Лы из Ль, т. е. доказали., что подпространство Л1 инвариантно относительно А. Т е о р е м а 1. Пусть А самосопряженное преобразование в п-мерном евклидовом пространстве Л. Тогда, существует и попарно ортогональных собственных векторов преобразования А. Соответсгпвующие им собственные значения вещественны.

Д о к аз а т ел ь с т в о. Согласно теореме 1 2 10 в Л существует хотя бы один собственный вектор е1 преобразования А. В силу леммы 2 совокупность векторов, ортогональных к еы образует (и — 1)-мерное инвариантное подпространство Лы Будем далее рассматривать наше преобразование А лишь в Ль В Л1 существует собственный вектор е2 (см. замечание к теореме 1 15б ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ~гн.

и б 10). Совокупность векторов из В1, ортогональных к ее, образует (и — 2)-мерное инвариантное подпространство Кз. В нем существует собственный вектор ез и т. д. Мы получаем, таким образом, п попарно ортогональных собственных векторов е1, ег,..., е„. Согласно лемме 1 соответствующие им собственные значения вещественны. Теорема доказана. Так как произведение собственного вектора на любое отличное от нуля число есть снова собственный вектор, то векторы е, можно выбрать так, чтобы их длины равнялись единице. Т е о р е м а 2. Пусть А самосопрялсенное преобразование в и-мерном пространстве.

Тогда существует ортогонольный базис, в котором,матрица преобразования диагональна и вещественна. Верно таклсе и обратное. Д о к аз а тел ь с т в о. Выберем в качестве базиса построенные в теореме 1 попарно ортогональные собственные Вехт01зы е1; ез ° ° . е~. Тогда Ае1 = Л1е1., Аез = Лгеан Ае„= Л„еь т. е. в этом базисе матрица преобразования А имеет вид Л 0 ... 0 ОЛ,...О 0 0 где все Л; вещественны.

Обратно, пусть матрица преобразования А в ортогональном базисе имеет вид (1). В ортогональном нормированном базисе матрица сопряженного преобразо- з 12) сАмосОНРЯжвнные (эРмитОВы) НРВОВРАЗОВАниЯ 157 вания А* получается из матрицы преобразования А транспонированием и заменой каждого элемента комплексно сопряженным (см.

2 11). Проделав эти операции над матрицей вида (1) (где все Л; вещественны), мы получим ту же самую матрицу. Следовательно, преобразованиям А и А* соответствует одна и та же матрица, т. е. А = А*. Теорема полностью доказана. Отметим еще следующее свойство собственных векторов самосопряженного преобразования: собственные векторы,, соответствуюи1ие различным собственным значениям, взаимно ортогона.явны.

Действительно, пусть Ае1 = Л1е1, Аез = Лзеа, Л1 ф Л2. Имеем: (Ае1,еа) = (е1,А'еа) = (е1, Аеа), т,е. Л1(е1, еа) = Ла(е1, е2) или (Л1 — Л2)(е1,е2) = О Так как Л1 ф Л2, то (е1,е2) = О. 3 а м е ч а н и е. Из доказанной теоремы следует, что наглядно-геометрическни смысл произвольного самосопряженного преобразования таков; в пространстве выделяется и попарно ортогональных направлений (собственных направлений). Каждому из этих направлений ставится в соответствие действительное число (собственное значение).

По каждому из зтнх направлений производится растяжение (сжатие) пространства в ~Л,~ раз н, кроме того, зеркальное отражение в плоскости, ортогональной к данному направлению, если соответствующее Л, отрицательно. Параллельно с понятием самосопряжснного преобразования вводится понятие эрмитовой матрицы. 158 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (гл. и Матрица ~8ань~8 называется зрмитовой, если а,ь = аы. Ясно, что для того чтобы преобразование А было самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в каком-нибудь ортогональном базисе была эрмитовой. У п р а ж н е н и е. Возвести матрицу 1,уГ2 1 ) в 28-ю степень.

У к а з а н и е. Привести зту матрицу к диагональной форме, затем возвести ее в указанную степень и, наконец, вернуться к прежнему базису. 2. Приведение к главным осям. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов. Применим полученные в п. 1 результаты к квадратичным формам. Мы знаем, что всякой эрмитовой билинейной форме соответствует самосопряженное линейное преобразование. Из теоремы 2 этого параграфа вытекает важная Т е о р е м а 3.

Пусть В евклидова и-мерное пространство и пусть А(ж:у) зрмитова билинейная форма в Л. Тогда, в Л существует ортогональный нормированный базис, в котором соответствующая А(т; у) квадратична форма записывается в виде суммы квадратов: А(в;т) = ~~~ Л,)~,)~,. координаты вектора х *). где Л; вещественны, а ~, В З8 мы доказали, что в вффннном нространстве можно всякую квадратичную (ияи, что то же самое, всякую зрмитову билинейную) форму привести к сумме квадратов. Здесь мы дяя евклидова пространства доказываем более сальное утверждение, именно существование нормированного ор|поеонального базиса, в котором данная зрмитова форма приводится к су-мме квадратов.

Характеристики

Список файлов лекций