1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 17
Текст из файла (страница 17)
+ о,„>А" = О. Мы получили следующий интересный вывод: для каждой матрицы порядка п существует многочлен степени п2 такой., что Р(А) = О. Указанный здесь очень простой вывод существования многочлена Р>4) > для которого Р(А) = О, обладает двумя недостатками. Вопервых, не указан способ вычисления такого многочлена и, во-вторых, степень такого многочлена завышена. В действительности мы несколько позже покажем, что для каждой матрицы А существует многочлсн степени и., очень просто связанный с матрицей и обращая>- щийся в нуль при подстановке в него этой матрицы. 4.
Обратное преобразование. Ядро и образ преобразования. О пределе н не 4. Преобразование В называется обратным и А, если АВ = ВА = Е, где Е единичное преобразование. В силу определения Е это означает, что для лк>бого х В(Ах) = х, т. е. если А переводит х в вектор Ах, то обратное преобразование В переводит вектор Ах обратно в вектор х. Преобразование, обратное преобразованию А, обозначается А' '. Не для всякого преобразования существует обратное. Например, преобразование, состоящее в проектировании трехмерного пространства на плоскость ХУ (см.
пример 1 п. 1), очевидно, не имеет обратного. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ~гл. и С понятием обратного преобразования связано понятие обратной матрицы. Как известно, для каждой матрицы А, удовлетворяющей условию Т)е1(А) ~'= О, можно определить матрицу А ', удовлетворяющую условию АА '=А 'А=Е. (9) Эта матрица А 1 называется обратной к матрице А. Ее можно найти, решая систему линейных уравнений, эквивалентную матричному равенству (9). Элементы ее й-го столбца окажутся равными минорам й-й строки матрицы А, деленным на ее определитель.
Легко проверить, что так составленная матрица А удовлетворяет условиям (9). Так как при заданном базисе между матрицами и линейными преобразованиями имеется взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операцию умножения, то, для того чтобы преобразование А имело обратное, необходимо и достаточно, ипобы его матрица в каком-нибудь базисе имела определитель, от„личный от нуля, т. е. имела бы ранг и. Преобразование, имеющее обратное, называют невырожденным. С произвольным линейным преобразованием А связаны два важных подпространства — ядро и образ этого преобразования. О п р е д е л е н и е 5. Совокупность М векторов вида Ах, где х пробегает все В, называется образом пространства Л при преобразовании А.
Другими словами, образ пространства -- это множество тех векторов у, для которых уравнение Ах = у имеет хотя бы одно решение. Ясно, что у обратимого преобразования образ есть все пространство. Покажем, что М есть подпространство пространство, Л. Действительно, пусть у1 е М и уз е М. Это значит, что существуют х1 и хг такие, что у1 = = Ах1 и уе = Аха.
Но тогда у~ + уе = Ах1 + Ах. = 99) лвнвйвыв певовглзовяввя я опвгяцвв над вимя 125 = А(х~ + х2) и, значит., у1 + у2 Е М. Аналогично, если у = Ах, то Лу = ЛАх = АЛх, т. е. Лу Е ЛХ. Следовательно, ЛХ является подпространством. Размерность этого подпространства называется рангом преобразования А. П р и м е р. Рассмотрим преобразование А, состоящее в проектировании трехмерного пространства Л в плоскость Х1 (пример 1, п. 2).
Очевидно, что образ этого преобразования есть плоскость ХУ. У п р а ж н е н и е. Написать матрицу произвольного преобразования А в базисе, первые Й векторов которого являются базисом в образе пространства при этом преобразовании. Другим важным подпространством является ядро преобразования А, состоящее из всех векторов, переходящих при этом преобразовании в нуль. О яре д ел ение 6. Совокупность 2у' векторов х таких, нто Ах = О, называется ядром преобразования А.
.Ясно, что ядро также есть подпространство пространства Л. Действительно, если Ах~ = О и Ахз = О, то А(хп + х2) = Ах1+ Атз = О. Точно так же, если Ах = О, то АЛх = ЛАх = О, т. е. Ху' есть подпространство. Очевидно, что если А нсвырожденное преобразование, то его ядро состоит из нуля (т. е. система однородных уравнений с отличным от нуля определителем имеет только нулевое решение). У п р а ж н е н и е. Написать матрицу преобразования А в базисе, первые к векторов которого есть базис ядра. П р и м с р.
Пусть Л пространство многочленов степени < и — 1 и преобразование А дифференцирование, т, е. АР(2) = Л'(г). 126 линейные певовглзовлния (Гл. и Ядро этого преобразования состоит из многочленов Р(1), для которых Р~(1) = О, т.е. из констант.
Таким образом, ядро Х здесь одномерно. Образ А состоит из многочленов вида Р'(1), где Р(1) имеет степень < и — 1, т.е. М состоит из всех много- членов степени < и — 2. Размерность М равна п — 1. Рассмотрим теперь преобразование А2, которое задается формулой ~2р(2) ро(1) Для преобразования Аз ядро Х состоит из всех много- членов не выше первой степени, а образ из всех много- членов степени < и — 3 (проверьте!), т. е. Х двумерно, а М имеет размерность и — 2. Аналогично у преобразования Аз ядро трехмерно, а образ имеет размерность и — 3 и т.
д. Наконец, преобразование А" в этом случае есть нулевое преобразование. Его ядро Х = В, а образ состоит только из нуля. На этом примере видно, что при возведении преобразования в степень его ядро расширяется, а образ, наоборот, уменьшается. При этом размерность ядра как бы характеризует степень вырожденности преобразования. х1ем больше ядро, тем меньше образ и тем «более вырожденным» является преобразование. Крайними случаями являются нулевое преобразование, ядром которого является все В, а образ равен нуля>, и, с другой стороны, обратимое преобразование, образом которого является все пространство, а ядро равно нулю.
При этом сумма размерностей ядра и образа всегда остается равной размерности всего пространства. Имеет место общая теорема. Т е о р е м а. Пусть А произвольное линейное преобразование п-мерного пространства Л. Сумма В 9) линейнык НРВОВРАЗОВАния и ОпВРлпии нАП ними 127 размерностей ядра и образа преобразования А равна размерности всеео пространства.
Д о к аз а тел ь с т в о. Предположим, что ядро Х преобразования А имеет размерность й. Выберем в Х базис из векторов ем...,ВР и дополним его до базиса е1,..., еь, еь, 1,..., е„во всем пространстве Л. Рассмотрим векторы АВАР1,..., Ае„. Множество линейных комбинаций этих векторов образует подпространство, которое совпадает с ЛХ образом преобразования А. Действительно, пусть у в †произвольн вектор из М. Тогда, по определению, существует вектор х такой, что у = Ах.
Так как е1,...,е„базис в Л, то х = 11е1+ .. + Упса. Но так как Ае1 = ... = Аея = О (е1,..., еь — - базис в ядре), то у = Ах = уьР1Ае~+1+... +'упАе . Покажем, что п — А векторов АВР 1....., Ае„линейно независимы. Действительно, пусть существуют числа РРз, не равные одновременно нулю и такие, что о1АВАР1 + ... ... + о„РАе„= О. Рассмотрим вектор х = сР1еь.Р1 +... ... + РРа ье„, Тогда Ах = А(сР1еьР1+... + оР яе„) = = о1АРАР1+...+а„ьАе„= О, т.е.:с принадлежит ядру. Мы пришли к противоречию, поскольку, с одной стороны, х как элемент ядра представим как линейная комбинация первых а базисных векторов, а, с другой стороны., х = о1еьР1+... + сьа яе„был задан как линейная комбинация еьР1,..., е„. Это противоречит единственности представления вектора х через векторы базиса.
Следовательно, векторы Аеям1,..., Ае„линейно независимы. Мы показали, что существует п — к линейно независимых векторов таких, что любой вектор образа есть их линейная комбинация, т. е. размерность образа равна и — В,что и требовалось доказать. ЛИНИЙНЫК НР11ОНРЛЗОВАНИЯ ~гл. и 128 5. Связь между матрицами линейного преобразования в различных базисах. Одно и то же линейное преобразование может в различных базисах иметь различные матрицы (см., например, упражнение к примеру 1 п.
3 этого параграфа). Выясним, как изменяется матрица линейного преобразования А нри переходе от одного базиса к другому. Пусть в В даны два базиса: е1, е2,..., еп и 11, )2,... ..., 2"„. Матрицу перехода от базиса е1, е2....., е к базису 1"1, .2"2,..., 1п обозначим через С, т. е. положим 21 = С11Е1 + С21Е2 +... + Сп!еп~ 12 = С12Е1 + С22Е2 +... + Сп2сп; (10) 1 и = С1пе1 + Сзпс2 +... + Сппсп. Введем вспомогательное линейное преобразование С, положив Сс,,=1п ЕГО МатрИца В баЗИСЕ Е1, Е2,...,Еп СОГЛаСНО ферМуЛаМ (2) и (3) и.
3 будет С. Обозначим матрицу линейного преобразования А в базисе е1, е2,..., еп через А = ~~а,ь ~~, а в базисе 1'1, 22,... ..., ~„через .В = ))Ь,ь)!. Иначе говоря, и АеЬ = 2 а,ле1, ъ, =-1 и А~'д = ~~1 Ь,|~,. ю=.1 (10') (10п) Наша цель выразить матрицу .В через матрицы А и С. Заменим для этого в правой и левой частях фор- в9) линкйнык НРкоБРлзовлния и ОпБРлнии нля ними 129 мулы (10о) ~л через Сел и 2', через Се;. Мы будем иметь: и АСел = г1 ЬгяСе,. г=.1 Применим к обеим частям этого равенства преобразование С " (оно существует, так как векторы ~Ы Ззг... г Згг ЛИНЕЙНО НЕЗаВИСИМЫ).
МЫ ПОЛУЧИМ: С АСел = 'г Ь,гге,. г=1 Мы видим, что интересующая нас матрица 9Ьгл~~ есть также матрица преобразования С 1АС в базисе еы ез,..., е„. При перемножении преобразований их матрицы в данном базисе е1, е2 ....., е„псрсмножаются. Поэтому В = С 'АС. (11) Матрицы А и В, связанные соотношением (11), называются подробными. Итак, мапгрицо, В преобразования, А в базисе З'1,22,..., 1'„получается из матрицы А преобразования А в базисе емез,... ген гго формуле (11), где С --.
матрица перехода от базиса ег,еа,.,.,е„н базису 21,,6,..., ~„(формула, (10)). 6. Линейное преобразование пространства Я1 в пространство Из. Определяя линейное преобразование А, мы фактически нигде не пользовались тем, что векторы х и Ах принадлежат одному и тому же пространству. Поэтому, повторяя дословно определение 1 п. 1, можно определить также линейное преобразование пространства Л1 в другое пространство 1г2. Все сказанное в этом параграфе без каких-либо существенных изменений переносится на такие преобразования.
Остановимся на операциях сложения и умножения линейных преобразований. ~гл. и ЛИНВЙНЫВ ПРНОНРЛЗОВЛНИЯ Пусть А и В линейные преобразования пространства Л1 в пространство Лг. Тогда, как и в и. 3, можно определить их сумму А+ В; С = А+ В означает, что Сх = Ах + Вх для любого х Е Л1. Произведение АВ в этом случае смысла уже не имеет. Однако мы можем определить произведение АВ в том случае, когда  — линейное преобразование пространства Л1 в Вв, а А — — линейное преобразование пространства Лэ в Лз. В этом случае АВ есть, по определению, линейное преобразование пространства Л1 в Лз, состоящее в последовательном выполнении сначала преобразования В, отображающего В1 в Ло, а затем преобразования А, отображающего Л2 в Лз. Введенные операции сложения и умножения линейных преобразований удовлетворяют ассоциативному и дистрибутивному законам.
3 а д а ч а. Установить., как изменяется матрица линейного преобразования Л1 в Вэ при замене базисов в Л1 и Лв. Й 10. Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейного преобразования 1. Инвариантные подпространства. Пусть Л1 --. подпространство пространства Л и А линейное преобразование в Л. Вообще говоря, для произвольного х Е В1, Ах ф В1 *). Например, если Л --евклидова плоскость, Л~ произвольная прямая и А поворот на угол сз = —, то очевидно, что для любого х ф 0 и принадлежащего В1, Ах ~ Л1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
