1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 15
Текст из файла (страница 15)
+ Л„~Д„, где Л, — вещественны. Д о к а з а т е л ь с т в о можно получить, перенося почти дословно доказательство соответствующей теоремы в вещественном пространстве. Однако ввиду того, что в ~ 5 это доказательство изложено без уяснения его геометрической стороны, мы здесь вкратце повторим это доказательство в ином, более геометрическом, изложении. Для этого мы будем один за другим выбирать векторы того базиса, в котором форма приводится к сумме квадратов. Выберем вектор е, так, что А(еб е1) ф О; это возможно, так как в противном случае мы имели бы А(х; х) = О для любого х, а следовательно, в силу формулы (1), и А(х;у) = О.
В (и — 1)-мерном пространстве ЛО~, состоящем из векторов х, удовлетворяющих условию А(еб х) = О, выберем вектор ея такой, что А(еа; еэ) ф О, и т. д. Этот процесс продолжим до тех пор, пока мы не придем к надпространству Л("), в котором А(х; у) = О (Л("~ может оказаться состоящем лишь из нуля). Если Л~~) отлично от нуля, то выберем в нем произвольный базис е, ьы е,ьа,..., е„. Вместе с построенными векторами еы е2,..., е, они образуют базис еы е,..., с„всего Л.
(ГЛ. 1 и-МВРНОЕ ПРОСТРАНСТВО По построению А(е;:,еь) =0 для 1( й, а значит, в силу эрмитовости формы А(ж; р), А(е,;ев) =О идля 1>А., т. с. А(е;:еь) = 0 для 1 ~ й. Поэтому, если С1Е1 + ~2Е2 + ° ° + Спсп --- произвольный вектор, то А(т: т) = Я1А(е1, 'е1)+~2~2А(ег, 'ег)+...+Я„А(е„; еп), При этом числа А(е,,;с;) вещественны, как значения эрмитовой квадратичной формы. Обозначая А(е,; е,;) через Л;, имеем: А(*; ж) = Л1~1(1+ Л2(2С2 +...
+ Л~ДД, = = Л1)~1/ + Лг)~2! +... + ЛПД,! 6. Приведение эрмитовой квадратичной формы к сумме квадратов треугольным преобразованием. Пусть А(х;х) эрмитова квадратичная форма в комплексном линейном пространстве и е1,ег,...,е„.--базис. Мы будем предполагать, что определители а11 а12 ...
а1„ аг1 агг ... Огп аы агг ~1 а11~ ~2; 1 ~п аг1 агг а„1 апг ... а „ где а1Р = А(е;; еь), отличны от нуля. Тогда, так же как и в 26, мы можем написать формулу для нахождения базисов, в которых квадратичная форма приводится к сумме квадратов. Эти формулы в точности совпадают ~8) комплекснов и-мяснов пространство 1ОР с формулами (3) и (6) ~ 6.
При этом сама квадратичная форма в новом базисе имеет вид А(х; х) = — /6/ + — '161 +... + " ' ~Д„1~, (2) 1 Ьх ~в где Ьо = 1. Отсюда, в частности, следует, что опреде- ЛнтЕЛИ Ь1, С4,..., Сав ВЕЩЕСТВЕННЫ; ДсйетВИтЕЛЬНО, ЕС- ли эрмитова квадратичная форма приведена к каноническому виду (2), то коэффициенты Л, равны А(е,; е,) и вещественны. У и р а ж н е н и е.
Доказать непосредственно, что если квадратичная форма А(х: х) зрмитова, то определители Ьь Ьз,... ..., Л„вещественньь Так же, как и в ~ 6, мы получаем, что для того чтобы эрмитова квадраьтичная форма А1х;х) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы пос1проенные.
по ней определители л1, Ьэ,..., Ьп были положительны. Число отрицательных коэффициентов при квадратах в каноническом виде эрзнитовой квадраспичной формы равно числу перемен знака в последовательности определителей 7. Закон инерции. Имеет место теорема, доказательство которой ничем не отличается от доказательства соответствующей теоремы в ~ 7. Т е о р е м а 2.
Если эрзлитова квадратичная форма имеет в двух базисах канонический вид, то число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в обоих случаях одно и то же. Понятие ранга квадратичной формы, введенное нами в ~ 7 для случая вещественного пространства, переносится без изменений и на комплексный случай. ГЛАВА П ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ~ 9. Линейные преобразования и операции над ними А(х~ + хз) = А(х1) + А(хз), А(Лх) = ЛА(х). 1а Там, где зто не сможет привести к недоразумениям, вместо А(х) мы будем писать Ах. П р и м е р ы. 1.
Рассмотрим трехмерное евклидово пространство Л и в нем преобразование, состоящее в повороте Л вокруг какой-либо оси, проходящей через 1. Основные определения. В предыдущей главе мы изучали функции в и-мерном линейном пространстве, принимающие численные значения (линейные функции, квадратичные и т.д.). Но в ряде случаев возникает потребность рассматривать функции другого вида, а именно, функции, которые точкам пространства ставят в соответствие снова точки того же пространства (а не числа). Простейшими среди функций такого рода являются линейные преобразования.
О п р с д е л е н и с 1. Пусть каждому вектору х и-мерного пространства поставлен в соответствие вектор у этого же пространства. Функцию у = А(х) мы назовем преобразованием пространства П. Преобразование А называется линейным, если выполнены следующие условия: 29) линейные пРИОВРлзовАния и ОпеРАЦии нАЛ ними 111 нуль. Каждому вектору х ставится в соответствие вектор Ах, полученный из него данным поворотом. Условия 1' и 2' проверяются без труда. Проверим, например, условие 1'.
А(х1 + х2) означает, что векторы х1 и х2 сначала складываются, а затем полученный вектор поворачивается. Ах1+ Ахз означает, что векторы х1 и х2 сперва поворачивак1тся, а затем складываются. Ясно, что в обоих случаях результат один и тот же. 2. Пусть Л' — некоторая плоскость в трехмерном пространстве Л, проходящая через нуль. Поставим в соответствие каждому вектору х Ого проекцию х' = Ах на эту плоскость. Условия 1' и 2' опять легко проверяются. Например, 1' означает, что проекция суммы равна сумме проекций.
3. Рассмотрим аффинное и-мерное пространство, в котором вектор определен как совокупность п чисел. Пусть 9а,ь9 -- некоторая матрица. Поставим в соответствие каждому вектору вектор у = Ах = (111,ц2,...,ня), где ц, вычисляк1тся по формулам Условия 1' и 2', определяющие линейное преобразование, проверяются без труда. 4. Рассмотрим п-мерное пространство, элементами которого являются многочлены степени < г1 — 1. Положим АР(1) = Р'(1), где Р'(г) . производная многочлена Р(1).
(гл. и 112 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Это преобразование . - линейное. Действительно, ( 1(') + Р2(')) Р1(') + Р2(') 2' (ЛР(1))' = ЛР'(1). 5. Рассмотрим пространство, в котором векторами являются непрерывные функции 1(1), О < 1 < 1. Положим Ау(1) = 1(т) дт. О Преобразование А линейное. Действительно, с 1' А(~1 + (2) = (~1(т) + ~2(т)] дт = О с 11(т) дт + 12(т) дт = А11+ А12, О О с с 2' А(Л~) = Л~(т)дт = Л ~(т)дт = ЛА~.
О О 6. Рассмотрим то же пространство, что и в примере 5. Пусть А(~,я) непрерывная функция, заданная в квадрате О < О < 1, О < я < 1. Положим 1 срЯ = А~Я = й(О,Я)('(я) сЬ. О Проверьте сами, что это преобразование линейно. Среди линейных преобразований особую роль играют следующие простые преобразования: единичное преобразование Е, ставящее в соответствие каждому вектору этот же самый вектор, т. е. л9) линейные пРИОИРлзовлния и ОпеРАЦии нля нил1и 113 нулевое преобразование О, ставящое в соответствие каждому вектору х нулевой вектор: Ох=О.
2. Связь между матрицами и линейными преобразованиями. Пусть е1, ез,..., е„некоторый базис в п-мерном пространстве хл и А линейное преобразование в Л. Для любых п векторов д1,дз,...,д„существует одно и только одно линейное иреобризовиние А, такое что Ае1 = д1, Аех = дз, ..., Ае„ = дн. Докажем это. Покажем сначала, что преобразование А однозначно определяется векторами Ае1, Аех,... ..., Ае„. Действительно, пусть х = 6е1 + без+... + Спев произвольный вектор из Л.
Тогда Ах = Афе1+ бзез+... + С„е„) = = (ЛАе1 + сзАез +... + ~~Ае„ (2) и, следовательно, Ах однозначно определяется по Ае1, Аез,..., Ае„. Теперь покажем, что для всяких векторов д1, дх,...,д„существует линейное преобразование А, такое, что Ае; = д;. Для этого поставим в соответствие векторам е, векторы д,; произвольному же вектору х = (1е1 + ... + С„е„поставим в соответствие вектор (1д1 +... + Спд„.
Так как вектор х выражается через е1 однозначно, то ему ставится в соответствие вполне определенный вектор Ах. Легко проверить, что так определенное преобразование А линейно. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (г,л. и Обозначим координаты вектора де в базисе е1, еа, ..,, е„через а1е,11ЕА,...,а„ь, т.Е. ПОЛОЖИМ дь = Аел = ~ а11е1. 1=1 Совокупность чисел а;А (1, й = 1,2,..., п) образует матрицу А = Йа,е((, которую мы назовем матрицей линейного преобразования А в базисе е1, ее,..., е„.
Итак, мы доказали., что при заданном базисе е1, ез,..., е„каждому линейному преобразованию А однозначно соответствует матрица ~~а,~.„~1 и, обратно, каждой матрице ))а1АЙ однозначно отвечает линейное преобразование, определяемое формулами (3), (1), (2). Мы видим, таким образом, что линейные преобразования можно описывать с помощью матриц и матрицы являются тем аналитическим аппаратом, с помощью которого изучаются линейные преобразования в конечномерных пространствах. Заметим, что при изменении базиса матрица, соответствующая данному линейному преобразованию, вообще говоря, изменится. П р и м е р ы.
1. Пусть Л трехмерное пространство, А -- линейное преобразование, состоящее в проектировании каждого вектора на плоскость Х1'. Примем за базис единичные векторы е1, ез, е;1, направленные по осям координат. Тогда Аез =О, Ае1 = е1, Аез = ез, т. е. матрица преобразования А в этом базисе имеет вид 29) линвйнык пРПОПРАЗОВАния и опБРАпии нАЛ ними 115 У п р а >н н е н и е.
Найти матрипу того же преобразования в базисе е(, е',,ез, гяе е, = еь ез = ез, ез = ез -Р ез т ез. 2. Пусть Е единичное преобразование и е1,е2, ... ео --- базис в Л. Тогда Ае,=е, (2=1,2,...гп), т.е. матрица единичного преобразования в любом ба- зисе имеет вид 10...0 01...0 00...1 АР(1) = Р'Я. Выберем в В базис следующим образом: 12 га — 1 РЗ= —,, ..., Еа= е1 = 1, Р2 1~ Тогда 12 / Аез = ( — ) =1= ег, (:.) = 1а — ! ! 1п — 2 (П вЂ” 1) . ') (и — 2)! Ае1 = 1' = О, Ае2 = 1' = 1, , Аео= Таким образом, матрица преобразования А в этом Легко также видеть, что матрица нулевого преобразования в любом базисе состоит сплошь из нулей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
