1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Имея формулы, выражающие г)1, г)2,...,7)„* через г)1, З)2,..., З)п, ЗатЕМ З)1 *,... з З)„'* ЧЕРЕЗ З)1, Г)2 з..., З)„' И т. д., МЫ МОЖЕМ ПОЛУЧИТЬ ВЫРажЕНИЕ КООРДИНат (1, ~2з ЧЕРЕЗ ПЕРВОНаЧПЛЬНЫЕ КООРДИНатЫ З)1, т)2,..., Г)п: (1 = С117)1 + С12У2 + .. + С1пз)п ~ (2 = С21Ц1 + С227)2 +...
+ С2пЗ)п~ ~п — Сп1Ч1 + Сп27)2 + ° ° + Сппзн ° Так, в приведенном выше примере эти формулы имеют вид 8з =Ш вЂ” Пз, + 2пз, (з = Пз. Вспоминая Я 1,п.б),что матрица. дающая преобразование координат, является обратной и транспонированной к матрице преобразования базиса, мы можем ВЫРаЗИтЬ ВЕКТОРЫ НОВОГО баЗИСа Е1, Е2,..., Еп ЧСРЕЗ ВЕК- торы старого базиса 7"1, 1"2,..., ~~: С1 = 011~'1 + 14т~2 +... + сз1 ~ .
С2 = Сз21 1 1 + О 22 2 2 + ° ° ° + Й2п 1п ~ Еп — Сзп1,11 + СП272 + ° ° ° + Сзпп1п ° 1е~ НРИВВДКНИЕ К СУММВ КВАДРАТОВ 79 Если в процессе приведения нам ни разу не приходилось производить преобразования, меняющего сразу две координаты (такое преобразование, как мы помним, приходится совершать, когда в преобразуемой форме отсутствуют квадраты координат, либо если приходилось менять нумерацию), то формулы преобразования имеют вид (1 = С11т~1 + С127)2 +... + С1ппп ~ 6= С22112+...
+ Сз„пп, Спп Чп; т. е. матрица преобразования является так называемой треугольной матрицсй. Легко проверить, что матрица преобразования базиса будет в этом случае также треугольной матрицей вида е1 = 01111, Р2 п2111 + п2212 Сп = 1п1 Л + 1п2Ь+ "+ 1пп1 Здесь д д--. алгебраическое дополнение элемента спд матрицы ~(с11,~~, деленное на определитель этой матрицы. й 6. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов треугольным преобразованием 1. В этом параграфе мы укажем еще один способ построения базиса, в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов. В отличие от предыдущего параграфа мы дадим формулы, выражающие искомый базис е1, е2,..., с непосредственно через исходный базис (а не в несколько шагов, как в 2 5).
(ГЛ. ! 80 П-Л!ЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО При этом, однако, мы должны будем на форму А(х: у) и исходный базис 11, 12,..., уп наложить следующее ограничение: пусть Оа,ь~~ -- матрица билинейной формы А(х;у) в базисе 11, 12,..., уп. Мы предположим, что следующие миноры матрицы Оа,ь~~ все отличны от нуля ): ЬЛ=П11фО; Ь2= 1 12 фО; 1121 1122 аы а12 ... пуп О21 О22 П2п у'= О. Оп! Ппз Ипп В каждом базисе 11, 12,...,уп квадратичная форма А(х; х) имеет вид А!х:х) = ~~', О!Еспся, где аЛЬ = Аф,уя).
г,ь=! НаШа ЦЕЛЬ--- ОПРЕДЕЛИТЬ ВЕКТОРЫ Е1, Е2,...,Еп таК, чтобы А(е,;ел) = О при 1 ф 1с (Л,к = 1,2.....,и). (2) Процесс, с помощьку которого это будет сделано., совпадает с процессом ортогонализации, описанным в и. 1 '8 3. если заменить в этом процессе скалярное произведение векторов произвольной билинейной формой А(х; у), удовлетворяющей условиям (1). Можно показать, что зто требование равносильно тому, что при приведении квадратичной формы к су-мме квадратов по методу, описанному в 2 5, а! ! Г О, о1, ~ 0 и т.
д. 26) 81 ПРИВВЛВИИЕ К СУММЕ КВЛЛРЛТОВ Будем искать векторы е1, е2,..., е„в виде е, =о!!Л, Е2 = С!211 ! + гХ22 !2г е =с! !Л+сг 2Ь+ +сг,)'. Коэффициенты о;!г можно было бы найти из условий (2), подставив в эти условия вместо е1, еэ,..., е„их выражения из (3). Однако это неудобно для вычислений., так как пришлось бы решать уравнения второй степени относительно о!ю Поступим поэтому несколько иначе.
Если А(еь; !';) = О для г = 1г2г... гй — 1, то и А(еь, е,) = О для г = 1,2г...,й — 1. Действительно, подставляя вместо е! выражение г "г!г 1 + Сгг2,!2 + ° ° ° + Сггг!гг получаем: А(СЬ!Сг) = А(елг сгг1,гР! + сгг2гР2+ ° + сггггг) = = амА(еь; 1'!) + огВА(еь, '22) +... + анА(еь, 1;). Таким образом, если А(е1,-, 1';) = О для любого л и для любого ! < Кг то и А(ел, е,) = О ДлЯ г < лг и слеДовательно, в силу симметрии билинейной формы и для ! > Й, т.
Е. Е1, Е2,..., Е„---трсбуЕмый баэиС. Наша Задача СвЕ- дена, таким образом, к следующей: определить коэффициенты сгь1, аь2,..., сгь~, так, чтобы вектор Е!г = гг!г1~! + ггл2~2 + + ОЫгК удовлетворял условиям А(еь;Д) =О, г =1г2г...гл — 1. (4) П-МВРНОЕ ПРОСТРАНСТВО (гл. ~ Этими условиями вектор еь определяется с точностью до постоянного множителя. Зафиксируем этот множитель с помощью требования (5) А(еи (ь) = 1.
Мы увидим сейчас, что условиями (4) и (5) вектор еь определен уже однозначно. Подставив в (4) и (5) выражение для еь, мы получим следующую систему уравнений первой степени относительно аь,,". аиАЦП Л) + аьгАЦл,'1г) + + аАЬА(й,,6Ь) = О, аиАЦг, '~1) + аьгАЦг', Ь) +... + аььА(ггг,' гРА) = О, (6) аиАЦь ПЛ) + аьгАЦА „г"г) +... ... + аььАЦА П ('ь) = О, аиАЦи 11) + аыАЦи Ь) +...+ аььА(Б' Хл) = 1. Определитель этой системы уравнений равен А(~,;~,) А(~,;~г) ...
А(~„~,) А(~~:,~~) А(~~:..6~) ... А(.6:~~) АЦи Я А(~иЬ) ... АЦи г"д) и по условию (1) отличен от нуля. Поэтому решение системы (6) существует и единственно. Таким образом, задача нахождения вектора еь нами решена для любого Й. Найдем теперь коэффициенты б,ь квадратичной формы А(х; х) в базисе еи ег,..., е„.
Как нам уже известно, 5,Р = А(е,,; еь), По построению этого базиса, А(е,;;еь) = О при 1 у'= к, т.е. бы = О при 1 у= й. 83 ИРиведение к сумме квл11Рлтов Вычислим Ььь = А(ея, 'ея): А(еь, еь) = А(еь., 'ам~1 + ык212+ .. + СсяяЫ = = от А(еь, 11) + оь2А(еь; ф2) +... + оьяА(ея; Я *) и в силу условий (4) и (5) А(еь;еь) = ссьь. Число оьь можно найти из системы (6); согласно правилу Крамера ~я †:лье = ь где Ьь 1 определитель, аналогичный (7) порядка а — 1, и где положено 1лв = 1. Таким образом, бяь = А(ея; еь) = Ь/, 1 Итак, доказана следующая Т е о р е м а 1. Пусть в базисе )и (2,...,1в квадратичная форма имеет вид А(х; сс) = ~ агьгь11ь, где ага = А()б Б). Пусть, далее, определители аы агз 2 а21 а 22 аы а12 ... а1„ а21 а22 а2в ив! а в 2 ° ° ° Опп отличны от нуля.
тогда существует базис е1,е2,... ...,е„, в котором А(х;х) записывается в виде суммы Выкладка сильно усложнилась бы, если бы мы заменили ее его выражением через Т, и на первом, и на втором месте. !Рл. ! и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО квадратов следующим образом: А(т; т) = — "~! + — "~2~+... + ы! ы2 ып где ~ь координатв! вектора т в базисе в1,ез,...,е„.
Этот способ приведения квадратичной формы к сумме квадратов обычно называется методом Якоби. 3 а м е ч а н и е. В процессе доказательства теоремы мы пришли к некоторому вполне определенному базису еу,е2,...,е„. Это, конечно, не означает, что базисз в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов, вообще единствен. Действительно, если взять другой исходный базис уу,12,...,1„(даже простоз если занумеровать его векторы в другом порядке), то описанный выше процесс приведет нас, вообще говоря, к другому базису ел, е2,..., еп !Не говоря уже о том, что базис е1, ез,..., еп не обязательно искать в ви- де (3)). П р и м е р. Рассмотрим квадратичную форму 241 -~- 341СЗ -~- 4С 2 Сз -~- бг 4- Сз в трехмерном пространстве с базисом 11 = !1, О, 0), 12 = !О, 1,.
0), 13 = !О, О, 1). Соответствующая ей битинейная форма имеет вид з 3 А13ир) = 2лгог+ глгоз+ 2лгвз + лзог -Рлгоз+ 2лз111 4. лзоз Вычислив определители Ьл, Ьз и Слз, получим, что они равны ! соответственно 2, — — и — 4 —, т. е. ни один из них не нуль. Условия 4 4' теоремы, такилз образом, выполнены. Положим е1 = Он Р1 = (О11,0,0), ез = Озгз1 4- Оззггз = (О21, о 22, О), ез О3111 4 Оззгз 4- Оззгз лозг О32 ОЗЗ).
козффициент О11 находим из 1 словил А(ег; 11) = 1, 36) ПРИВЯДЕНИР К СУММН КНЛДРЛТОВ 85 1 т. е. 2ом = 1, или ом = — и, значит, 2 е, -У! (-,ОО) . Для огг и огг имеем уравнения А!ег!г!) = 0 и А(ег!Уг) = 1, 3 3 2ог! -Р хогг = 0; — ог! + огг = 1, 2 ' 2 откуда он=6, он= — 8, т.е. ег = 61'г — 81г = 16, — 8, 0). Наконец, для азг, озг, озз имеем систелгу уравнений А(ез! Уз) = 0,,4(ез; Ь) = О, А(ез! Уз) = 1, т.
е. 2оз! + — озг + 2озз = О,. 3 2 3 — '„озг -Р озг 2 2аз! +озз = 1, откуда 3 озг !7' 12 озг = — —; !7' 1 озз = —, 17' т. е 8 12 ! /3 12 11 ез = — 1"! — —.6 + — 1"3 = ( —, — —, — ) . 17 17 17 У,17' 17' 17) Квадратичная форма в базисе ем ег, ез имеет вид 1 г гз! г гзг г ! г г 1 г А(х1х) = — с! + ~г + зз = з! 8~г + (з гУз гУ гуз 2 17 где См Сг, Сз координаты вектора х в базисе ем ег, ез.
2. Выше при доказательстве теоремы 1 мы не только построили базис, в котором данная квадратичная форма записывается как сумма квадратов координат, но и получили вполне определенные выражения для коэффициентов при этих квадратах, а именно: ы! ы2 ып так что квадратичная форма имеет вид Ч1+ Ч2+ ''+ Чп 18) г.З! зл2 г.Зп (ГЛ.
1 и-МЕРНОЕ ПРОСТРаНСтво Это дает нам возможность найти число положительных и отрицательных коэффициентов при квадратах. Именно, если сх, 1 и Ье имеют одинаковые знаки, то коэффициент при Се положителен, если же их знаки различны, 2 то этот коэффициент отрицателен, т. е. число отрицательных коэффициентов при квадратах равно числу перемен знака в ряду 1~ ~1~ ~2~ ° ° ° 1~п ° Итак, доказана следукэщая теорема.
Т е о р е м а 2. '1исло огарацательных коэффициентов при квадратах координат в каноническом виде (8) квадратичной формы равно числу перемен знака в последовательности определителей 1~ ~1~ ~2~ ° ° ° ~ ~п ) Пусть, в частности, Ь1 > О, Ь2 > О, ..., Ьо > О. Тогда существует базис е1,е2.....,е„, в котором квадратичная форма имеет вид А(х; х) = Л1~1 + Л2(2 +... + ЛДп, причем все Л; > О. Следовательно, А(х; х) > О для всякого х, и притом равенство А(х; х) = Е Л;СУ = О возможно, лишь если 6 =С2 =" =Со = О. Иначе говоря: Если .Ь1 > О, Ь2 > О, ..., сап > О, то квадратичном форма А(х.;:с) --.
полоькительно определенная. ") Мы показали, как найти число положительных и отрицательных квадратов при определенном способе приведения квадратичной формы к сумме квадратов. В следующем параграфе будет показано, что это число --. одно и то же при всех способах приведения формы к сумме квадратов. 26) 87 НРиВВЛение к суыяе кВА11РАТОВ Обратно, пусть А(т;х) положительно определенная квадратичная форма. Покажем, что в этом случае Ь| > О (й = 1, 2,..., н); для этого покажем раньше, что Ьь ф О. Предположим противное, т. е. что А(~1, '~1) А(~1; ~2) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
