1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 13
Текст из файла (страница 13)
г п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО при этом См Сг,..., („. координаты вектора х, т. е. х = 6е1+ Сгег + .. + Срер + ~рт1ерь1 +... .. + ~Р-Р,ЕР-Р, + .. + ~и Еи. Пусть в базисе (м ~2,..., (и эта же квадратичная форма имеет вид ) 2+ 2+ + 2 2 2 (З) где пм пг,..., Пи - — координаты вектора в базисе 1М 6,...,~„. Нам нужно доказать., что р = р' и и = д'. Предположим, что это не так, например, пусть р > р. Рассмотрим подпространство Л', состоящее из линейных комбинаций векторов ем ег,..., ер.
Оно имеет р измерений. Подпространство Л'~, состоящее из ли- НЕйНЫХ КОМбИНацИй ВЕКтОрОВ Д, РМ~, тг,...,г"и, ИМЕ- ет п — р' измерений. Так как и — р' + р > и (ибо мы предположили, что р > р'), то существует вектор х ф О, лежащий на пересечении В' и В", т.е. такой, что х = ~ге1 + Сгег + ... + Срер Х = Чр-Р1)р-Рг+ +Чр~ьг|1рьь + + Ъ1 . В базисе ем ег,..., е„этот вектор имеет координаты С м Сг,..., Ср, О,..., О, в базисе ~м 2'г,..., ~„он имеет координаты О, О,..., О, пр м..., Пи. Подставляя эти координаты в формулы (2) и (3), мы тюлучим, с одной стороны, (4) А(х1 х) ~1 + рг + + ~р > О з 7) 95 :ЗЛКОН ИНБРНИИ (так как нс все числа С1, ~9,..., СР равны нулю), а с дру- гой стороны, А(х; х) = — 179,„1 — 17' Рв —...
— 17~, „, ( О '). (5) Мы пришли к противоречию, следовательно, неравенство р > р' невозможно. Точно так же доказывается невозможность неравенств р < р, д > д и д < д. Таким образом, закон инерции для квадратичных форм доказан. 2. Ранг квадратичной формы. Определение 1. Число отличных от нуля коэффициентов Л, в каноническо,и виде квадратичной формы называется рангом квадратичной формы.
Как уже было указано выше, из доказанного нами закона инерции непосредственно следует, что ранг квадратичной формы зависит только от самой формы, а не от способа ее приведения к каноническому виду. Посмотрим, как фактически найти ранг квадратичной формы. Для этого мы определим ранг квадратичной формы, не прибегая к ее каноническому виду. Попутно мы получим определение одного подпространства, тесно связанного с данной билинейной формой. О предел ение 2. Нулевым подпространством данной билинейной формы А(х: у) мы называем совокупность Ло векторов у, удовлетворяющих условию А(х; у) = О для любого вектора х Е Н.
Легко видеть, что НО действительно есть подпространство. В самом деле, пусть у1, уг Е Ло, т. е. А(х;у1) = О и А(х;ув) = О для любого х Е Н. Тогда А(х; у1+ уг) = О и А(х; Лу1) = О для любых х и Л, т.е. у = у1+ 1дг Е Нв и Лу1 Е «в. В формуле (з) нельзя вместо знака ( поставить знак (, так как, хотя среди чисел пр тм..., т есть отличные от нуля, но возне «но, !то Нр .1., — — 17р, —— ... — — Цр ер — — О. (ГЛ. ! п-МВРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Поставим вопрос: как найти надпространство Лв? Пусть (м 12,..., 1и какой-либо базис в Л. Для того чтобы вектор (6) у Ч1ф! + Ч212 + ..
+ Чп;!и принадлежал нулевому подпространству, достаточно, чтобы А((1„у) = О для 1= 1,2,...,п,. (7) Действительно, если эти равенства выполнены, то и для любого х имеем А(х; у) = О, так как всякий вектор х есть линейная комбинация базисных векторов. Подставляя в (7) вместо у его выражение (6), мы приходим к следующей системе уравнений: АЖ; ЧБ+Ч Б+" +Ч 1) =О, ~(12! Ч111 + Ч212 + + Чп1п) = О~ "~(1п! Ч1Л + Ч212 + + Чп1п) О: или, если положить Аф; (В) = арэ к системе а11Ч! + аьзЧ2 +... + а1„Ч„= О, а21Ч1 + а22Ч2 +... + а2пЧп = О, оп!11! + апзуз +...
+ ап„Чп = О. СовокУпность вектоРов У, кооРДинаты Ч1, Ч2,..., Чп которых являются решениями этой системы, и образует нулевое надпространство Лв. Как известно из теории линейных уравнений, размерность этого надпространства равна п — г, где г ранг матрицы !)а1ь((. Мы можем теперь сделать следующий вывод: Ранг матрицы ~~а,ь~~ билинейной формы А(х; у) в некотором базисе не зависит от выбора этого базиса (хотя сама матрица ((а!А ~~, как мы знаем из 2 5, зависит от выбора базиса).
з 7) 97 ЗАКОН ИНВРЦИИ В самом деле, .ранг этой матрицы равен п — го, где гб размерность нулевого подпространства. Нулевое же надпространство ни от какой системы координат вообще не зависит. Свяжем ранг матрицы квадратичной формы с рангом самой квадратичной формы. Рангом квадратичной формы мы назвали число отличных от нуля квадратов в каноническом виде квадратичной формы. Но в каноническом базисе матрица квадратичной формы имеет вид л о ... о о л ...
о О О ...Л„ и ранг этой матрицы равен г, где т число коэффициентов, отличных от нуля, т.е, равен рангу квадратичной формы. Так как ранг матрицы квадратичной формы, как мы доказали, не зависит от системы координат,то и в любой другой системе координат ранг матрицы квадратичной формы равен рангу самой квадратичной формы *). Итак, нами доказана следующая Творе ма 2. Матрицы квадратичной формы в раз,личных системах координагп имеют один и тот лсе ранг г.
Этот ранг равен числу квадратов в каноническом виде формы, коэффициенты, при котпорых отличны от нуля. Таким образом, для того чтобы найти ранг квадратичной формы, нужно вычислить ранг ее матрицы в какой-нибудь одной системе координат. Пользуясь тем известным из теории матриц фактом, что ранг матрицы не меняется при умножении ее на любую неособенную матрицу, этот результат можно получить и непосрелственно из выведенной в З 4 формулы преобразования матрицы билинейной формы при изменении базиса В = С'АС. и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО (гл. ~ 8 8.
Комплексное и-мерное пространство Во всех предыдущих параграфах мы всюду, кроме тех случаев, когда это особо оговаривалось, имели дело с пространством над полем вещественных чисел. Ряд изложенных выше результатов справедлив для любого основного поля. Для дальнейшего особое значение, кроме пространства над полем вещественных чисел., будет иметь пространство над полем комплексных чисел. Разберем содержание предыдущих параграфов применительно к этому случаю. 1.
Комплексное линейное пространство. Как указывалось в ~ 1, все изложенные там результаты справедливы для пространства над любым полем и, значит, в частности для пространства над полем комплексных чисел. 2. Комплексное евклидово пространство. Комплексным евклидовым пространством называется комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, т.
е. каждой паре векторов х и у поставлено в соответствие комплексное число (х, д), причем выполнены следующие аксиомы: 1' (х, у) = (д, х) (под (у, х) мы понимаем число, комплексно сопряженное с (д, х)); 2' (Лх, у) = Л(х, у); 3 (х1 + хз, д) = (х1, у) + (хя., у); 4' (х,х) есть вещественное неотрицательное число, равное нулю лишь при х = О.
Из аксиом 1' и 2' следует, что (х, Лу) = Л(х, у). Дойствительно, (х, Лд) = (Лд, х) = Л (у, х) = Л(х, д). Далее, справедливо равенство (х,у1 + уз) = (х,у1) + + (х, уз). В самом деле, (х: У1+Уз) = (У~ + Уьь х) = (У~ х)+(Уз х) = (х: У~ )+(х: Уя) 28) КОЬ!НЛККСНОК и-МКРНОК ИРОС'!'РКНСТКО 99 Аксиома 1' отличается от соответствующей аксиомы 1' для вещественного евклидова пространства; при переходе к комплексному пространству мы не могли бы сохранить аксиомы 1', 2', 4* вещественного евклидова пространства без изменений. В самом деле, если бы 1х,у) = 1у,х), (х, Лу) = Л(азу).
<Лх, Лх) = Лз<х, то Но тогда следовательно, в частности 11х, 1х) = -(х,х), т.е. числа (х, х) и (у,у), где у = 1х, были бы разных знаков, что противоречит аксиоме 4'. Примеры комплексных евклидовых пространств. 1. Вектором пространства Л мы назовем систему и комплексных чисел. Сложение векторов и умножение их на числа определим обычным образом. Скалярное произведение векторов *=(6,6,",1 ) У=()ы)2, .ъ) зададим формулой 1х у) = с!1) + Ьг)2+ "+ с 1)и Мы предоставляем читателю проверить, что аксиомы 1' — 4' выполнены. В частности, скалярное произведение вектора с самим собой задается формулой (Х~Х) К1К!+К2К2+. +Ып ~~1~ + ~~2~ + ° + ~~п~ 2.
Векторы в пространстве Л определим, как и в при- мере 1. Скалярное произведение задаем формулой и (х,д) = ~ а1,6-)„, КЬ=! где а,ь заданные комплексные числа, удовлетворяющие условиям: шмвеяое пеоствляство о) а,ь = иь„ ,3) ~;силЯь > О для любых см, С2,...,Св и обращается в нуль лишь при с1 = (в =... = ~„= О. 3. Векторами пространства Л мы будем считать функции от 1., заданные на отрезке (а,е] и принимая>щие комплексные значения. Скалярное произведение двух таких функций определим формулой Ь У(~):у(й)) = 1ЯуЯ 4~ а Можно проверить, что все аксиомы скалярного произведения при этом выполнены. Длиной вектора х назовем ъ~(х,х).
Из аксиомы 4' следует, что длина вектора неотрицательна и обращается в нуль лишь для нулевого вектора. Так как скалярное произведение двух векторов, вообще говоря, комплексно, то мы не будем определять угла между векторами, а введем лишь понятие ортогональности двух векторов. Векторы х и у называются, ортогональныии, если (х,у) = О. 3. Ортогональный базис. Изоморфизм комплексных евклидовых пространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
