1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 16
Текст из файла (страница 16)
3. Пусть тт — пространство многочленов степени < и — 1. Преобразование А - дифференцирование, т. е. (гл. и ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 11б базисе имеет вид 010...0 001...0 000...1 000...0 Пусть А линейное преобразование, е1, ег,..., еп базис в Л и ~~агьб -- матрица преобразования А в этом базисе.
Пусть Найдем выражение координат 10, 112,..., 11 вектора Ах ЧЕРЕЗ КООРДИНатЫ С1, Сг,..., Сп ВЕКтОРа Х. ИМЕЕМ: Х = ~1Е1 +СгЕг+ +ДЕПЕ„, Ах = 01е1+ Огег + . + Ъе,. Ах = А®Е1+Сгег+... + ~„еп) = = 6 (ОП Е1 + ОЛЕг + + Оп1 Е ) + + Сг(а12Е1 + аггЕ2 +... + Опгсп) + + ~п(О1пс1 + О2пс2 + . + Оппсп) = = (ОП~1+ а12С2 +... + О1„Сп)Е1+ + (О21А1+ О22А2 + + агап)сг + + (Оп1с1 + Опг(2 + ° ° ° + О~~~п)сп ° Следовательно, сравнивая с (4'), получаем: 01 = ОПС1 + а12С2 +... + О1пСп, Цг О21С1 + О22~2 + ° ° ° + Огп~п 11п = Оп1Ь1 + Ппгхо + .
+ ОппСп; (4) (4') 'в9] линкйнык НРКОЬРАЗОВАНИЯ И ОПБРА!1ии нАД НИМИ 117 или короче: п пл = ~~ а,я(ь. А=1 (5) Первое равенство написано на основании определения произведения, второе на основании свойства 1' для В, третье в силу того жс свойства для А и, наконец, четвертое опять-таки в силу определения произведения. Аналогично показывается, что С(Лх) = ЛСх. Если Е --. единичное преобразование, а А ---произвольное, то легко проверить, что АЕ = ЕА = А. Как обычно, определяем степени преобразования А: А =А А, Аз=Аз А, ... ит.д. Таким образом: если линейное преобразование А имеет в данном базисе е1,ез,...,е„матрицу ~9а,я~9, то базисные векторы преобразуются с помощью стполбцов этой матрицы ~формула (3)), а координаты произвольноео вектора — с помощью ее строк 1формула (5)1. 3.
Сложение и умножение линейных преобразований. Линейные преобразования можно складывать и умножать. О п р е д е л е н и е 2. Произведением линейных преобразований А и В называется преобразование С, состоящее в последовательном выполнении снацала преобразования В, а зао1ем преобразования А. Другими словами: С = АВ означает, что для любого х Сх = А(Вх). Произведение линейных преобразований есть линейное преобразование, т.с, удовлетворяет условиям 1' и 2' определения 1.
Действительно, С(х1+ ха) = А~В(х1+ ха)) = А(Вх1+ Вха) = = АВх1 + АВх2 = Сх1+ Сха. (гл. и 118 ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОНАНИЯ Как и для чисел, полагаем, по определению, А о Очевидно, что Атти = Ат . Аи П р и м е р. Л пространство многочлснов Р(1) степени не выше п, — 1. Определим в нем преобразование В формулой РР(1) = Р'(1), где Р'(1) производная многочлена Р(1). Тогда для любого Р(1) В Р(1) = В(ВР(1)) = (Р'(1))' = Ро(1). Это равенство определяет преобразование Р2.
Аналогично можно определить преобразование РНР(1) = Рн (1),... Заметим, что в данном случае Ри = О. Действительно, так как векторами пространства являются многочпены степени < и — 1, то П и Р ( 1 ) Р и ) ( б ) О У п р а ж н е н и е. Выберем в пространстве многочленов степени не выше, чем и — 1, базис, указанный в примере 3 п. 2 этого параграфа.
Найти в этом базисе матрипы преобразований 11 2эе Рз Мы знаем, что при заданном базисе е1, е2,..., еи каждому линейному преобразованию отвечает матрица. Пусть преобразованию А отвечает матрица 8а1ь)), преобразованию В матрица ))61Ь8: найдем матрицу 8с,в)), отвечающую преобразованию С = АВ. В силу определения матрицы преобразования С мы имеем: Се1.
= ~1 с,ьеь (б) Далее, п АВЕА = А ~~~ б,ье, = ~ Б.ААез = ~ буьа;уеь (7) 1=1 у 1Л К9) линейнык НРкОВРАЗОВАния и ОВВРА~ии нАЛ ними 119 Сравнивая коэффициенты при е, в равенствах (6) и (7), получаем: с,е = ~~г агуЬ;ы (8) Аеь = ~ агяег Веь = ~ Ьгяеб г и ~~ць~~ матрица преобразования С, т.е. Сея = хг сгтег. г Так как С = А + В, то Сеь = Аеь + Веь = ~ (агт + Ьгя)е, 2 Мы видим, что элемент сэя матрипы С есть сумма произведений элементов г-й строки матрицы А на соответствующие элементы А-го столбца матрипы .В. Так определенная матрица называется произведением матрицы А на матрицу В. Итак, если преобразованию А отвечает матрица ~~а,ь ~~, а преобразованию  — матрица 9Ьге~~, то пРоизвеДению этих пРеобРазований отвечает матРица ((ств'9, ЯвлЯющаЯсЯ пРоизвеДением матРиц ((аггя)! и ((Ьгя)!. Произведение матриц вычисляется по формуле (8).
О и р е д е л е н и е 3. Суммой линейных преобразований А и В называетсл такое преобразование С, которое калсдому вектпору х ставит в соотвепгспгвие вектор Ах + Вх; иначе, говоря, С = А + В означает, что Сх = Ах + Вх для любого х. Пусть преобразование С есть сумма преобразований Л и В. Тогда, зная матрицы преобразований А и В, легко найти матрицу преобразования С. Действительно, пусть ~Йа;ь~~~г соответственно ~~Ь,А~~, суть матрицы преобразования Л, соответственно Вгт.е. '(Гл. н :1ИННЙНЫН НРВОВРА.'ЗОВАНИЯ 120 и, следовательно, А+В = В+А; (А+ В) + С = А+ (В + С); А(ВС) = (АВ)С; < (А+ В)С = АС+ ВС, С(А+ В) = СА+ СВ. 1а 2а Заметим, что умножение линейных преобразований, вообще говоря, некоммутативно. Действительно, возь- 1 1 мем линейное преобразование А с матрицей 0 1 и ли- 1 0 нейное преобразование В с матрицей 1 1 . Так как 11 10 21 01 11 11 10 11 11 11 01 12 то АВ у'= ВА.
Мы могли бы без большого труда доказать равенства 1'.-4' непосредственно. Но в этом нет необходимости. Матрица ~~а,ь + Ь,ь~~ называется суммой матриц ~йа,я~0 и 0Ь,;ь((. Итак: матрица суммы линейных преобразований равна сумме, л1атриц, сооп1ветствующих отдельныи слагаемым. Операции сложения и умножения линейных преобразований удовлетворяют обычным для сложения и умножения условиям, а именно; з 9) линвйнык НВВОВРАЗОВАВНВ и ОВВРАпии нАд ними 121 В самом деле, между линейными преобразованиями и матрицами установлено взаимно однозначное соответствие, причем сумме соответствует сумма, а произведению —. произведение. Для матриц формулы 1'- 4' доказываются в курсе алгебры; в силу установленного соответствия они автоматически переносятся на линейные преобразования.
Определим еще произведение линейного преобразования А на число Л; под преобразованием ЛА мы будем понимать преобразование, которое каждому вектору х ставит в соответствие вектор Л(Ах). Ясно, что если линейному преобразованию А отвечает матрица ~~п,ь'9, то преобразованию ЛА отвечает матрица ()Ласк)!. У п р а ж н е н и е. Проверить, что множество всех линейных преобразований пространства Л с введенными здесь операциями сложения и умножения на число образуют линейное пространство. Какова его разъеерностьу Умея находить сумму и произведение линейных преобразований, можно теперь найти любой многочлен от преобразования А.
Пусть Р(1) = ао1ю + а11"' 1 + ... ...+а, произвольный многочлен. Тогда под Р(А) мы понимаем линейное преобразование, определенное формулой Р(,А) аоА + а1АА'- +... + а,„Е. П р и м е р. Рассмотрим пространство Д, элементами которого явллются функции, определенные на интервале (а,б) и имею|иве производные всех порядков. В этом пространстве рассмотрим линейное преобразование Р, которое каждой функции ставит в соответствие ее производную,т.е. ЖФ =)" Ф. Пусть теперь нам задан многочлен РЯ = аеа -~гад"' -В...-ьа Тогда Р(Т1) есть линейное преобразование, которое переводит функцию 1~1) в Р(Т2)1Я = ие1 '" ф+ и|з1 11) +... +а,уЯ.
!гл. и 122 линниныв пгвовглзовлния В соответствии с введенными выше определениями сложения и умножения матриц многочлен от матрицы А мы задаем формулой Р(А) = аоАга+ а1Агл 1+... + а Е, Пример. Предположим, что А — так называемая диагональная матрица, т, е. матрица, у которой на всех местах, кроме главной диагонали, стоят нули. Найдем р(А). Мы имеем Олзо...о тогда 0 Л1 ... 0 А 0 Л",л ...
0 Отсюда следует, что если РЯ = аее"' -Ь... -Ь а, Л -Ь ам, то Р1л) о,. о 0 Р(Ле) .. 0 о о ... Р(л„) У п р а ж н е н и е. Пусть матрица А имеет вид 0100.0 0010..0 0001...0 0000,.1 0000...0 11айти Р[А). Можно определить не только многочлен от матрицы, но и вообще функцию от матрицы, например е'1, в1п А, и т.д. Совокупность матриц и-го порядка образует, как мы уже упоминали в 21 (стр.
9, пример 5),линейное пространство, если определить сумму и произведение матриц на число, как обычно. Это пространство имеет 29) линвйнын ИРБОИРлзовАния и ОПИРА>!ии нАЯ ними >23 п измерений (каждая матрица задается системой п чисел); поэтому всякие а2+ 1 матриц линейно зависимы. Рассмотрим последовательность степеней некоторой матрицы А: Е А А2 4о Так как их и + 1, то они линейно зависимы, т. е. существуют числа ао, аы о2,..., о„> такие., что аоЕ+ а>А+ а2А +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
