1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 19
Текст из файла (страница 19)
О О Л2... О О О ...Лп 1является диагональной мотрицей). Таким образом, имеет место Т е о р е м а 2. Если линейное преобразование А имеет, п, линейно независимых собстпвенных векторов, то, выбрав их за базис, мы приведем матрицу преобразования А к диагональной форме. Обратно, если в некотором базисе мап1рица преобразования диагональна, то все векторы этого базиса являются собственными в е кт орами.
3 а м е ч а н и е. Отметим один важный случай, когда линейное преобразование заведомо имеет и линейно независимых собственных векторов. Предварительно заметим следующее: Если е1,ег,...,еь собственные векторы преобразования А и соответствуюецие им собсп1венные значения Л1, Ла.. Ля, попарно различны, то е1, ег,..., еь .линейно независимы. Для к = 1 утверждение очевидно. Пусть наше утверждение верно для к — 1 векторов; докажем его для к векторов.
Предположим противное, т. с. предположим, что о1е1 + о2е2 + ... + Оьеь = О линвйные пееоегл ювания 188 (гл. и причем хотя бы один из коэффициентов оп например су1, отличен от нуля. Приманим к обеим частям равенства (3) преобразование А. Получим А(се1е1 + огеа +... + стьеь) = О, т. е. сх1Л1е1+ схзЛзег +... + сгрЛьеь = О.
Вычитая из последнего равенства равенство (3), умно- женное на Ль., мы получим выражение о1(Л1 — Ль)е1 + оз(Лз — Ль)ея + ... ... + сея 1(Ль 1 — Ль)еь 1 = О, где первый коэффициент по-прежнему отличен от нуля (так как по условию Л,; и= Ля при з ~ к). в1ы пришли к противоречию, так как по индуктивному предположению векторы е1,ет,...,еь 1 линейно независимы. Отсюда непосредственно следует, что: Если характеристический многочлен преобразования А имеет и различных корней, то матрица преобразоеан я А может йыть приведена к диагональной форме. Действительно, каждому корню Ль характеристического уравнения отвечает хотя бы один собственный вектор.
Так как соответствующие этим векторам собственные значения (корни характеристического уравнения) все различны, то, согласно доказанному выше, мы имеем и линейно независимых собственных векто- РОВ Е1,Еа,...,Е„. ЕСЛИ ВЕКТОРЫ Е1, Ео,...,Е„ПРИНЯтЬ За базис, то матрица преобразования А будет диагональной. Если характеристический многочлен имеет кратные корни, то число линейно независимых собственных векторов может быть меньше, чем п. Например, преобразование А в пространстве многочленов степени нс вылив и — 1, ставлшое в соответствие каждому ~1О) ИНВАРИАНТНЪ|Е ПОДПРОСТРАНСТВА 1ЗО многочлену его производную, имеет лишь одно собственное значение Л = О и один (с точностью до пропорциональности) собственный вектор РЯ = сопла В самом деле, для любого многочлена Р1С) степени В > О многочлен Р'ф имеет степень к — 1,и потому равенство Р'ф = ЛРЯ возможно лишь, если Л = О и РЯ = сонм. Следовательно, для этого преобразования не существует базиса, в котором ему соответствовала бы диагональная матрица.
В главе П1 будет доказано, что если Л есть т-кратный корень характеристического уравнения, то ему отвечает не более чем па линейно независимых собствен- ных векторов. Ниже (в Я 12 и 13) мы укажем некоторые классы линейных преобразований, приводимых к диагональной форме. Вопросу о том, к какому простейшему виду может быть приведено произвольное линейное преобразование, будет посвящена глава П1.
4. Характеристический многочлен. В п.2 мы уже определили характеристический многочлен преобразования А как определитель матрицы А — Л.Е, где А матрица преобразования А, а Е одиничная матрица. Докажем, что характеристический многочлен не зависит от выбора базиса. Действительно, при переходе к другому базису матрица А преобразования А принимает вид С 1АС, где С есть матрица перехода к новому базису. "1аким образом, в новом базисе характеристический многочлен есть определитель матрицы С 'АС вЂ” ЛЕ. Но )С 'АС вЂ” ЛЕ~ = (С 'АС вЂ” ЛС 'ЕС! = ~С '(А — ЛЕ)С~, и так как определитель произведения равен произведе- нию определителей., то )С 'АС вЂ” ЛЕ! = )С '))А — ЛЕ()С( = (А — ЛЕ)., и утверждение доказано. Таким образом, мы в дальнейшем можем говорить о характеристическом многочлене ыо ЯИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ,'Гл.
н преобразования А (а не о характеристическом много- члене матрицы преобразования А). У н р а ж н е н и я. 1. Найти характеристический многочлен матрицы л о о ... о о л о ... о о О ! Л ... О О ООО...1Л 2. Найти характеристический многочлен матрицы о! ог оз ... о ! о, 1 О О ... О О О 1 О ... О О О О О ... 1 О Ответи. ( — 1)" (Л" — о!Л" — агЛв г —... — о„).
Выразим характеристический многочлен явно через элементы матрицы А преобразования А. Вычислим сначала более общий определитель (который позже в 212 нам тоже встретится): )А — Л.В~, где А и В две заданные матрицы. Нам нужно, следовательно, вычислить следующий многочлен относительно Л: а11 — ЛЬН а12 — ЛЬ12 ... а1и — ЛЬ1о ->~Л) агп — ЛЬЕН а22 — ЛЬ22 ...
П2„— ЛЬ2о аи! — ЛЬ„! а„2 — ЛЬ„2 ... а„„вЂ” ЛЬ„о Так как в этом определителе каждый столбец есть сумма двух столбцов, то определитель может быть разложен на сумму определителей. Свободный член в Я(Л) есть ам а12 ... а1о а21 а22 ... а2 аи1 аи2 ' ' ' аип ~ 1О] ИНВАРИЛНТНЫБ НОДПРОСТРАНСТВЛ 141 Ясно, что коэф1рициент при ( — Л)" в Ц(Л) равен сумме определителей, каждый аэ которых получается зименой в (4) каких-либо л столбцов матрицы ~~а!я~~ соответствуюи4ими спголбцами матрицы ((б,ь)). Перейдем теперь к вычислению )А — ЛЕ~. Для вычисления коэффициента при ( — Л) мы должны взять ь сумму определителей, каждый из которых получается заменой Й столбцов матрицы ~~а!А)( Й столбцами единичной матрицы.
Но каждый такой определитель есть главный миноР 1г! — Й)-го поРЯДка матРицы ~~агя~~. Таким образом, окончательно, характеристический,многочлен Р(Л) матрицы А имеет вид Р<Л) = < — ц" <Л" — р, Л"-'+ р,Лп-а —... + р„), где р! есть сумма диагональных элементов, р2 сумма главных миноров второго порядка и т. д.; наконец р„есть определитель матрацы А. Числа рг, р2,...,рп, построенные по матрице А преобразования А, зависят лишь от самого преобразования, поскольку этим свойством, как мы показали, обладает характеристический многочлен.
Среди коэффициентов р; наибольшую роль играют р„определитель матрицы А и р! — сумма диагональных элементов матрицы А. Сумма диагональных элементов магарицы называется следом матрицы А. След матрицы А обозначается 1ТА (от английского слова 1хасе — след). Ясно, что след матрицы равен сумме всех корней характеристического многочлена (собственных значений), причем каждый корень считается с той кратностью, с которой он входит в характеристический многочлен. Упражнения. 1. Показать, что если А и Л вЂ” матрицы и-то порядка, то !ТАЮ = !гЮА. 2. Показать, что если С неаырожденная матрицы п-го порядка, то для любой матрицы А и-го порядка имеем: сг С 'АС = сг А.
(гл. и ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 142 Вычисление собственных векторов линейного преобразования требует знания собственных значений и, следовательно, решения уравнения и-й степени --характеристического уравнения. В одном важном частном случае корни характеристического многочлена можно найти непосредственно. Если матрица преобразования А тредеольная, т. е. имеет вид а11 а12 а13 ° ° а!п О а22 азз ... ауп О О азз ... азп 15) О О О ... апп то собственными значениями бдддт числа, стоящие на диаеонали, т. е. а11,а22, ..,,апп. В самом деле, характеристический многочлен данной матрицы вычисляется непосредственно и есть л-1Л) = 1а11 — Л)1а22 — Л)...
(ап„— Л), И СЛЕДОВатЕЛЬНО, ЕГО КОРНИ а11, а22,..., апп. У п р а ж н е н и е. Найти собственные векторы, отвечающие собственным значениям о~ ы оьг, озз треугольной матрицы (6). В заключение этого пункта укажем одно интересное свойство характеристического многочлена. Как мы уже указывали в и. 3 предыдущего параграфа, существует такой многочлен РО), что если в него подставить вместо 1 матрицу А, то он обратится в нуль.
Мы покажем сейчас, что опним из таких многочленов является характеристический многочлен. Докажем предварительно лемму: Лс мыл а. Пусть многочлен Р1Л)=аеЛ +п1Л '+...+и„, и матрица А связаны соогпношенпем Р(Л)Е = (А — ЛЕ)С(Л), (6) где С(Л) многочлен от Л, коэффициентлл которого являются матрицами,т.е.
С1Л) = СеЛ -1- С1Л -Р... -Р С ы С, мотрицьь Тогда Р(А) = О. ~1О) ИНВЛРИЛНТНЫВ ПОДПРОСТРЛНСТВЛ 143 Заметим, что эта лемма является обобщением на многочяены с матричными коэффициентами теоремы Безу. Доказательство. Мы имееьс (А — ЛЕ)С(Л) = АСы с + (АС з — С, с)Л -Р -1- (АСы-з — С.« — з)Л -Р . — СоЛ (7) Сравнивая между собой коэффициенты прн одинаковых степенях Л в обеих частях равенства (6), мы получаем последовательность равенств: АС,„ АС„, э — С с=а сЕ, АС вЂ” з — С о=о Е, (8) АСо — Сс = осЕ, — Со = ооЕ. Умножим теперь слева первое равенство на Е, второе на А, третье на А', ..., последнее на А"' и сложим их.
Мы получим справа Р(А) = о Е+ о 1А+ ... + аоА"', а слева О. Таким образом, Р(А) = 0 и лемма доказана *). Т е о р е и а 3. Если Р(Л) - характеристический мноеочлсн матрицы А, гпо Р(А) = О. Д о к аз а тельство. Рассмотрим матрицу, обратную матрице А — ЛЕ. Мы имеем (А — ЛЕ)(А — ЛЕ) ~ = Е. Как известно, обратная матрица может быть записана в виде (А — ЛЕ) ' = С(Л), где С(Л) матрица из миноров (и — 1)-го порядка матрицы А — ЛЕ, а Р(Л) — определитель матрицы А — ЛЕ, т.е.
характеристический многочяен матрицы А. Отсюда (А — ЛЕ) С (Л) = Р(Л) Е. В алгебре теорема Безу доказывается тем, что в равенство (6) подставляется А вместо Л. Здесь, конечно, мы не вправе этого сделать непосредственно,так как Л есть число, а А матрица. Однако, по существу, мы сделали то же самое. Действительно, й-е нз равенств (8) получилось сравнением в (6) коэффициентов прн Л". Умножая его на Ан и складывая затона все равенства, мы, по существу, подставляем А вместо Л. ~гл. и линейные пввовглзовлния Так как злсментами матрицы С(Л) являются миноры матрицы А — ЛЕ, т. е. многочлены степени не выше п — 1 относительно Л, то согласно доказанной лемме Р(А) = О, и теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
