1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 22
Текст из файла (страница 22)
212) сАЫОООИРЯжкннын (эРмиговы) ИРНОьРАЗОВАниЯ 159 Доказательство. ЕслиА(х;р) эрмитовабилинейная форма, т. е. А(х; у) = А(у; х), то (см. 9 11) существует такое самосопряженное линей- ное преобразование А.,что А(х; у) = (Ах, у). Выберем в П в качестве векторов ортогонаньного нормированного базиса систему попарно ортогональных собственных векторов самосопряженного преобразования А (это возможно в силу теоремы 1). Тогда Ае1 = Л1е1, Ае2 = Лзез, ..., Аеп = Лпеп, Пусть Х = Ь1Е1+~гЕ2+...
+ЬпЕп, У = д1Е1+Ц2Е2+... +Ц„Е„. Так как 1 при г=й, (е7~ Р1') О при гу=й, то А(х; у) = (Ах, р) = = ((1АЕ1+Г2АЕ2+... +СНАЕ„, 111 Е1 +П2Е2+... +11пс„) = = (Л1~1Е1+Л2С2Е2+ ..+ЛНСпсп, 'Ц1Е1+П2Е2+ .+Цпсп) = Л1С1771 + Л2С2Ц2 +... + Лпсп12п В частности, А(х;х) = (Ах,х) = Л1)~1/ + Л2(~2! +... + ЛН~Еп~ Теорема доказана. Нахождение в евклидовом пространстве ортогонального нормированного базиса, в котором данная квадратичная форма приводится к сумме квадратов., называется приведением этой формы к главным осям. линейные пееовемвовяния (гл.
и Т е о р е м а 4. Пусть Л аффинное и-мерное пространство и А(х; х) и В(х; х) — две эрмитовь< квадратичные формы, причем форма В(х; х) положительно определенная. Тогда су<иествует базис, в котором обе. эп<и формы записываются в виде суммы квадратов. Д о к аз а тел ь с т в о. Введем в П скалярное произведение,, положив (х,у) = В(т;у), где В(х; у) -отвечающая В(х; х) билинейная форма.
Это является законным, так как аксиомы скалярного произведения означают, что (х, у) есть эрмитова билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме Я8). Пространство В станет, таким образом, евклидовым. Согласно теореме 3 в В существует ортогональный ') нормированный базис е~., ею..., е„, в котором форма А(х; х) приводится к сумме квадратов, т.е. к виду А(х;х) = Л<ф~~+ Лз!~а~~+ + Ля~4 ~~ (2) В нормированном ортогональном базисе скалярное про- изведение имеет вид (, ) ~~ ~1+ ~цз+ + ~~ ~г т.
е. Мы нашли, таким образом, базис, в котором обе квадратичные формы А(х; х) и В(х; х) одновременно приводятся к сумме квадратов, что и требовалось. В теореме 4 показано, что в Л существует базис, в котором эрмитовы квадратичные формы А и В имеют вид (2) и (3). Покажем, как найти числа Лы Ло,..., Ло. Относительно введенного нами скалярного нроивводония (х,р) = Н(хру). 112) слмосопгяжкнные (эемитовь>) пгеовглзовляия 161 В каноническом виде матрицы квадратичных форм А и В имея>т вид л о ... о 10...0 0 Л2... 0 01...0 00...1 0 0 ...Лв Следовательно, Пе1(А — ЛБ) = (Л1 — Л)(Л2 — Л)...
(˄— Л). (4) При переходе к другому базису матрицы эрмитовых квадратичных форм А и В переходят в А1 = С*АС и .В1 = С*АС. Поэтому, если е>,е2,... >е„- -произвольный базис. то в этом базисе Ре1(А> — Л.В>) = Ре1 С* Ре1(А — ЛН) . Ре1 С, т.е. отличается лишь постоянным множителем от выражения (4). Отсюда следует. что числа Л>, Л2,..., Ли являются корнями следую>аеео уравнения; ам — ЛЬ>1 а>2 — ЛЬ12 ... а>„— ЛЬ>п а21 — ЛЬ21 Г>22 — Ло22 . ° ° а2в ЛЬ2и а„> — ЛЬ„> а„2 — ЛЬ„2 ...
а„в — ЛЬва где ()а>ь)) и /)ь;ь(! матрицы форм А(т;л) и В(х,;ж) в каком-нибудь базисе е>, ез,..., е„. 3 а м е ч а н и е. Требование положительной определенности одной из форм является существенным, о чем свидетельствует следующий пример: две квадратичные формы А(>пи) = )4>! — )42(, В(х;х) = с>се ч- Я> из которых ни одна не является положительно определенной, не могут быть одновременно приведены к сумме квадратов. В самом деле, первой форме соответствует матрица ',Гл. и 162 :1ИНВЙНЫВ ПРВОВРАЗОВАНИЯ а второй †матри = (") Рассмотрим матрицу А — Л11, где Л вещественный параметр. Ее детерминант равен — (Л + 1).
Так как он не имоет веществонньсс з корней, то, согласно сказанному выше, обе формы нс могут быть приведены одноврелщнно к сумме квадратов. Й 13. Унитарные преобразования Мы определили в 2 11 унитарные преобразования равенством ГГ* = Г*Г = Е. (1) Это определение имеет простой геометрический смысл. А именно: Всякое унитарное преобразование Г в евклидовом и-мерном пространстве В сохраняет скалярное произведение, т.
е. (Гх, сну) = (х,у) для всех х, у Е В. Обратно, всякое линейное преобразование Г, сохраняющее скалярное произведение, унитарно [т. е. удовлетворяет условию (1)). В самом деле, если дано, что су*с1" = Е, то Ях:Оу) =( О'Оу) =( у).
Обратно, если для любых векторов х и у (Гх, Оу) = (х, у), то (~'*Ох, у) = (, у), т. е. (У*Ох, у) = (Ех, у). Так как из равенства билинейных форм следует равенство соответствующих преобразований, то О'С = Е, т. е. Г унитарно.
11З) 1бЗ УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В частности,при х = у имеем: (Ги, Г1е) = (и,и), т.е. унип1арное преобразование П не меняет, длин векторов. У и р а ж н е н и е. Доказать, что если линейное преобразование сохранлет длины всех векторов, то оно унитарно. Запишем условия унитарности линейного преобразования в матричной форме. Для этого выберем какой- либо ортогонвльный нормированный базис е1,е2,...
...,ев. Пусть в этом базисе преобразованию су соответствует матрица а11 а12 ... а1„ ам а22 ... а2 (2) а„1 а„2 ... аин Тогда сопряженному преобразованию Г* соответствует матрица а11 а21 ... а„1 а12 а22 ° ° ° ао2 а1о а2в ... апо Условие унитарности 1Ус1* = Е означает, что произведение матриц (2) и (3) есть единичная матрица. Если перемножить их и приравнять элементы произведения соответственным элементам единичной матрицы, то получим: и Е а~оа1о = 1 о=1 Итак, в ортаоеональном нормированном базисе условие 1ЛУ'* = Е означает, что сумма произведений элементов какой-либо строки матрииы преобразования с1 на ~с,г1. П ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ элементы, сопряженные к элементам другой, строки, равна нулю, а сумма квадратов модулей элементов любой строки равна единиие. Так как Г*бг = Е также есть условие унитарности, то мы имеем также: и гг а,а, = 1: ~1 ан,ааь = 0 (1 ф А).
(5) а=! а=1 Это условие аналогично предыдущему, но вместо строк в нем участвуют столбцы матрицы. Условие (5) имеет простой геометрический смысл. Действительно, скалярное произведение векторов с~вг = а1гв1 + а2гв2 + ° + апгсп Геь = а1ве1+ азье2+... + а„ье„ равно ~ а„га„ь (так как е1, е2,..., е„это ортогональ- ный нормированный базис):, поэтому ~1 при 1=к, (ГЕ1, б'ев) = ~ ~0 пРи 1~1. (6) Следовательно, для того чтобы линейное преобразование было унитарным, необходимо и достаточно, чтобы оно переводило какой-либо ортогональный нормированный базис е1, еа,..., е„снова в ортогональный и нормированный базис 11е1,Ге2,...,'гэеп. Матрица ~~а;ь~~г элементы которой удовлетворяют условиям (4), либо, что то же самое, условиям (5), называется унитарной матриией. Унитарные матрицы являются, как мы видели, матрицами унитарных преобразований в ортогональном нормированном базисе.
Так как переход от одного ортогонального нормированного к другому задается унитарным преобразованием,то матрица перехода от одного ортогонального 115) 165 унитлРныв ИРВОБРлзовлния нормированного базиса к другому такому же является унитарной. Посмотрим, к какому простейшему виду можно привести матрицу унитарного преобразования при соответствующем выборе базиса. Л е м м а 1. Собственные значения унитарного преобразования по модулю равны, 1.
Д о к аз а т ел ь с те о. Пусть х — собственный вектор унитарного преобразования П и Л соответствующее собственное значение, .т. е. Гх=Лх, хфО. Тогда (хч х) = (а7х., Сх) = (Лх, Лх) = ЛЛ(х, х), т.е. ЛЛ = 1, значит (Л( = 1, что и требовалось доказать.
Л ем ма 2. Пусть Г унитарное линеиное преобразование в п-.мерном пространслпве Л и е его собственный вектор, т. е. Се=Ле, ефО. Тогда (и, — 1)-мерное надпространство Вы состоящее из векторов х, ортогональных к е, инвариантно относительно Г. Доказательство. Пусть х Е Лы т.е. (х,е) = = О.
Покажем, что Гх Е Вы т.е, что (Гх, е) = О. В самом деле, (Гх, Ге) = (С*Сх, е) = (х, е) = О. А так как Се = Ле, то Л(Гх, е) = О. Но в силу леммы 1 Л у'= О, поэтому Ях, е) = О, т. е. Гх Е Лы Следовательно, подпространство Л1 инвариантно относительно Г. Т о о р е м а 1. Пусть Г унитарное преобразование. в п-мерном евклидовом просгпранстве.
Тогда, )гл. и 166 линвйныв вгеовглзовлния существует и попарно ортогональных собственных векторов преобразования Г. Соотвегпствуюгцие им собственные значения по модулю равны единице. Доказательство. В силу теоремы 1 610 преобразование Г, как и всякое линейное преобразование, имеет в Л хотя бы один собственный вектор. Обозначим его е>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
