1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Определение 1. Линейное преобразование А в веи1ественном евклидовом пространстве ть' назьнается самосог1ряженным, если для любью векторов х и у (4) (Ах,.у) = (х, Ау). ПУСТЬ Е1, Е2,..., Еп ОРтОГОНаЛЬНЫй НОРМИРОВаН- ный базис в Л и С1Е1 + ~2Е2+ + ~пса У 91Е1 + Ч2Е2+ ' ' '+ Упса' з 16) НРВОВРАЗОВАння В Вен1естВБннОм НРО!'тРАнстВВ 181 Пусть, далее, г,г координаты вектора з = Ах, т. О. где !!агй!!.--матрица преобразования А в базисе е1, е„,..., еи. Следовательно, и и (Ахг у) = (з.у) = ~1, б1уг = ~ аоАйгд. г=.! г,й.=1 Аналогично, и (х, Ау) = ~~г а,й~,т)й.
(5) г,й=-1 Таким образом, условие 14) означает, что агй = аы. А!х; У) = ~ агй~;г1йг г,й=1 (6) где а1й = айь Сравнивая (5) и (6), получаем следующий результат, который мы используем для доказательства теоремы 3 этого параграфа: Для всякой симмепгрической билинейной формы А!х;у) существует такое самосопряженное преобразование А, что А(х; у) = (Ахг у). Итак, для тово чтобы преобразование бы.ло само- сопряженным, необходимо и достагпочно, чтобы в ортогональном нормированном базисе его матрииа была симметрична.
Всякая симметрическая билинейная форма А(х; у) в произвольном базисе имеет вид 182 ливвйныв пгеовглзовяния (Гл. и Покажем, что для каждого самосопряженного преобразования существует ортогонвльный базис, в котором матрица этого преобразования диагональна. Доказательство будет основано на содержании п.1. Другое доказательство, не зависящее от п. 1 (и, следовательно, теоремы существования корня алгебраического уравнения), см. в 817. Предварительно докажем следующие леммы. Л е м м а 1. У всякого самосопряженного преобразования существует одномерное инвариантное надпространство.
Д о к аз атель с т в о. Согласно теореме 1 этого параграфа каждому корню Л характеристического уравнения отвечает одномерное инвариантное подпространство, если Л вещественно, и двумерное---если Л комплексно. Поэтому, для доказательства леммы достаточно показать, что все Л вещественны. Предположим, что Л комплексно. При доказательстве теоремы 1 мы для такого Л = о + ь(1 построили два таких вектора х и у, что Ах = ььх — Ду, Ау = Дх + оу. Но тогда (Ах, у) = п(х, у) — Д(у, у), (х, Ау) = р(х., х) + а(х, у). Так как (Ах,у) = (х, Ау) то, вычитая из второго равенства первое, имеем: О = Д((х, х) + (у, у)) и так как (х, х)+(у, у) ф О, то р' = О, т. е.
Л вещественно. Л с м м а 2. Пусть А — — самосопряженное преобразование,. а е -"-его собстпвенный вектор. Тогда совокупность П' векторов, оргаогонаяьных е, образует (и — 1)-мерное инвариантное подпространство. в 16) ИРВОВРлзОВлнин В Внщвствннном ИРОстРлнствв 183 Д о к аз а т ел ь с т в о.
Ясно, что совокупность Л~ векторов х Е Л, ортогональных вектору е, есть (и — 1)- мерное надпространство. Покажем, что Л~ инвариантно относительно преобразования А. Пусть х Е Л', т. е, (х, е) = О. Тогда (Ах,е) = (х, Ас) = (х, Лс) = Л(х,е) = О, т.
е. и Ах Е Л . Т е о р е м а 2. Суи1ествует ортогональный нормированный базис, в котором матрииа самосопрялсенного преобразования А диагональна. Д о к аз а т ел ь с т в о. Согласно лемме 1 преобразование А имеет хотя бы один собственный вектор е1. Обозначим через Л' подпространство, состоящее из векторов, ортогональных е1. Так как Л' инвариантно, то в нем, согласно той же лемме 1, также существует собственный вектор; обозначим его ег. Продолжая это построение, мы получим и собственных векторов, из которых каждый следующий по построению ортогонален к предыдущим, т.
е. получим и попарно ортогональных собственных векторов ем еа,, .., е„. Выберем их за базис в Л. Так как Ае,, = Л,е; (1=1,2......,п), то матрица преобразования А в этом базисе имеет вид л о ... о о л ... о О 0 т.е. является диагональнои матрицеи. 3. Приведение квадратичной формы в ортогональном базисе к сумме квадратов.
(Приведение к главным осям.) Пусть в и-мерном евклидовом пространстве задана симметрическая билинейная форма А(х:у). Как было показано выше, каждой симметрической билиней- (гл. и ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 184 ной форме А(х; у) соответствует такое линейное само- сопряженное преобразование А, что А(х; у) = (Ах, у). Согласно теореме 2 этого параграфа, существует ортогональный нормированный базис е! > е2,... > е„> состоящий из собственных векторов преобразования А (т. е. такой, что Ае; = Л;е,).
В этом базисе мы имеем: А(х; у) = (Ах, у) = = (А(Я!е!+С2е2+... +Спея), т[[е[+т[2е2+... +упеп) = = (Л[~[е!+Л2~2е2+...+Л„~„еп., >[[е!+2[2е2+...+2[пеп) = = Л[с[у[ + Л2с2Ч2 +... + Л>>с,пуп ° Полагая у = х, получаем следующую теорему: Т е о р е м а 3. Пус>пь А(х; х) — квадрап[ичная форма в и-мерном евклидовом пространстве. Тогда существуетп орпюгональный нормированный базис, в котором зта квадратичная форма имеет вид: А(х;х) = ~ ~ЛД;. Так как Л[, Л2,..., Л„являются собственными значениями А, то они могут быть найдены из характеристического уравнения матрицы ((а>й((.
Для случал трехмерного пространства доказанная здесь теорема рассматривается в аналитической геометрии. Действительно, в этом случае уравнение А(х:т) = 1 есть уравнение центральной поверхности второго порядка. Ортогональный нормированный базис, о котором идет речь в теореме 3, есть в этом случае система координат,в которой поверхность имеет канонический вид, а векторы е>,еэ,с>явля>отея направлениями главных осей поверхности второго порядка.
4. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов. Т е о р е м а 4. Пусть в и-мерном пространстве П заданы две квадргггпичные формь! А(х; х) и В(х; х), причем форма В(х;х) положительно определенная. Тогда 8 16) НРНОБРлзОВлния В ВРИЦестВеннОм пРОс:трлнстВВ 185 в Л существует базис, в котором обе эти квадратичные формы записывоиотся в виде суммы квадратов. Д о к аз атель с т в о. Пусть В(х;у) билинейная форма, соответствующая квадратичной форме В(х: х). Определим в В скалярное произведение формулой (х,у) = В1х'у) Согласно предыдущей теореме в В существует норми- Рованный оРтогональный *) базис е1, ез,..., еи, в кото- ром форма приводится к сумме квадратов, т.е. (7) Скалярный квадрат в нормированном ортогональном базисе имеет вид: и (х, х) = В(х; х) = ~~~ (, .
т=1 (8) (Ах, Ау) = (х, у) (9) для всех х, у Е В. Полагая в равенстве (9) х = у, получаем )Ах(з = (х)з, (10) Б смысле онределенного нами в гс скалярного произведения. Итак, в базисе е1, ет,..., еи обе квадратичные формы записываются в виде суммы квадратов. Теорема доказана. 5. Ортогонвльные преобразования. Определение 2. Линейное преобразование А веитестттвенного и-меттноео евклидова ттростпрттнства называется ортоеональным преобразованием, если оно сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.
;гл. и ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОВРА'ЗОВАНИЯ 186 У п р а ж н е н и е. Доказать, что условие (10) является достаточным условием ортогональности линейного преобразования. Так как (х, р) сов со = ИМ и так как и числитель, и знаменатель в этом выражении не меняя>тся при ортогональном преобразовании, то ортогональное преобразование сохраняет углы можду векторами.
Пусть е1, е2,..., е„ортогональный нормированный базис. Так как преобразование А сохраняет углы между векторами и их длины, то векторы Ае1, Аег,... ...,Аеа также образуют ортогональный нормированный базис, т,е. 11 при 1=1, (Ае„Аеь) = е) ~0 при 1~1. (11) Пусть теперь ~~а11~~ ---матрица преобразования в ортогональном нормированном базисе е1, е2,..., е„. Так как столбцы этой матрицы являя>тся координатами векторов Ае,, то условие (11) записывается следующим образом: Е ) 1 при 1=а, 110 при )ф й. а=1 (12) У п р а ж н е н и е. Показать, что условия (1Ц, а следовательно, н условия (12), являются достаточными условиями ортогональности преобразования. Условия (12) можно записать в матричной форме.
Действительно, 2 ао;а ь сУть элементы пРоизведениЯ о=1 матрицы на ее транспонированную. Поэтому условия т.е. ортогональное преобразование сохраняет длины векторов. 8 16) НРВОВРлзОВлния В ВВИ1РстВкнном НРОстРлнстВБ 187 (12) означают, что произведение матрицы на ее транспонзлровонную есть едани тая матприца. Так как определитель произведения матриц равен произведению их определителей, то мы получаем также, что квадрат определителя матрицы ортогонального преобразования равен единице, т.
е, что опреде.лите,ль матрицы ортаогонального преобразования равен х1. Ортогональные преобразования, определитель которых равен +1, называются собственными, а тс, определитель которых равен — 1, называкзтся несобственныДокажем следующее существенное свойство ортогональных преобразований. Л с м м а 3. Если Л1 — надпространство пространства Л, инварианп1ное относительно ортогонального линейного преобразования А, то его ортогональное дополнение Лз, т.
е. совокупность всех векпьоров, ортогональных к каждому х е Л1 (см. упражнение на стр. 52), также есть инвариантное подпространство. Доказательство. Пусть у Е Лз, т.е. 1х,у) = = О для всякого х Е Л1. Покажем., что при этом (х, Ау) = О для всякого х е Л1. Так как преобразование А ортогонально, то оно невырождено и его образ на любом инвариантном подпространстве совпадаот с этим подпространством. Поэтому всякое х Е Л1 представимо в виде х=Аг, где ВЕЛ1. Отсюда (х, Ау) = (Ая, Ау) = 1г,у) = О, т.е. Ау с Лг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
