1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Кроме того, в и. 3 нам понадобится более детальная 1А) структура Ж ~~ . А именно, обозначая через Лг подпространство, состоящее из присоединенных векторов порядка < Й вЂ” 1, мы получили возрастающую цепочку инвариантных подпространств о с л,'" с л,'"' с ... с л,'"'. (') Все .>Лены этой не~~~~~ разли.>ньь Подпространство Л1А состоит при этом из всех векторов х, для которых ® Ао (А — Л.Е) *=Ог т.е. это есть ядро преобразования (А — ЛВЕ)~.
Преобразование А — ЛВЕ переводит каждое из подпространств цепочки (5) в предшествующее. 9 ~9) ИРиввдннин к ноРлмллъной ФОРмн 213 2. Выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение. 11усть Л1 некоторое собственное значение преобразования А. В этом пункте мы покажем, что пространство Л можно разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств, в первом из которых преобразование А имеет лишь одно собственное значение Лм а во втором у преобразования А уже нет собственного значения Ль Не ограничивая общности, можно считать, что Л =О. Действительно, пусть Л1 у'= О. Рассмотрим преобразование В = А — Л1Е; оно уже имеет собственное значение, равное нулю е). Очевидно также, что инвариантные подпространства преобразований А и В совпадают.
Итак, впредь мы будем считать., что преобразование имеет собственное значение Л = О. Докажем наше утверждение сначала для частного случая, когда е пуюстранстне нети присоединенные векторов, отвечо; юи)их этому собственному значению, а есть только собственные векторы. **). Нам нужно построить два инвариантных подпространства, прямая сумма которых равна ьь'. В качестве первого из них, в котором Л = О есть единственное собственное значение, можно взять совокупность )Л)о всех ') В саъюм доло, осли Л~ собственное значение преобразования А, т.о. А) = Л11 (1 ф- 0), то Ву = (А — Л|Е)1 = О, т.е.
у — собственный вектор В, отвечающий собственному значонию Л = О. Хотя потом наше утверждение будет независимо доказано для общего случая, рассмотрение этого частного случал полезно, так как, во-первых, на нем более выпукло видна основная идея доказательства и, во-вторых, становится очевидной необходилюсть введония подпространетв, отличных От ввЕдЕнных здееь Ха и Ы.
214 клноничнский вид .линейных нгвонглзовлний ~гя. ш собственных векторов, отвечающих собственному значению Л = О или, другими словами, ядро преобразования А. В качестве второго подпространства возьмем образ М пространства Л при преобразовании А, т.е.
совокупность векторов у = Ах, где х пробегает все пространство Л. Легко видеть, что каждое из этих подпространств инвариантно (это доказано в п. 4 й 9). Докажем, что они дают разложение пространства в прямую сумму. Так как сумма размерностей ядра и образа для любого преобразования А равна и (см. п. 4 'й 9), то достаточно доказать, что пересечение этих подпространств равно нулю. Предположим, что это не так, т. е. пусть существует вектор у ~ О такой, что у е М и у е Дто. Так как у е М, то он имеет вид у=Ах, где х- некоторый вектор из тС. Так как 9 Е Дто, то (6) Ау=О, где уу'=О. (7) Равенство (7) означает, что у есть собственный вектор преобразования А, отвечающий собственному значению Л = О, а равенство (6) при этом означает, что х есть присоединенный вектор первого порядка., отвечающий тому же собственному значению.
Мы же предположили, что у преобразования А нет присоединенных векторов, отвечающих собственному значению Л = О. Таким образом, доказано, что подпространства М и Хо не имеют общих векторов, кроме нулевого. Вспоминая, что сумма размерностей образа и ядра равна и, мы получаем отсюда, что пространство Л разложимо в прямую сумму инвариантных подпространств М и Хо: 1 19) нгинндннин к ноглмлльной ьогмв 215 3 а м е ч а н и е. Из приведенного выше доказательства видно, что образ и ядро имеют пересечение, отличное от нуля в том и только том случае, когда преобразование А имеет присоединенные векторы, отвечающие собственному значению Л = О.
Разобранный частный случай дает нам идею того, как проводить доказательство в общем случае, когда А имеет также и присоединенные векторы, отвечающие собственному значению Л = О. 11одпространство Хо при этом оказывается слишком узким, и его естественно расширить за счет добавления всех присоединенных векторов, отвечающих собственному значения> Л = О. Второе же подпространство М оказывается при этом слишком большим *). Итак, рассмотрим введенное в п.1 инвариантное подпространство Хо~', состоящее из всех собственных и присоединенных векторов преобразования А, отвечающих собственному значению Л = О.
Как мы помним, оно является ядром преобразования А", т. е. состоит из всех векторов х, для которых А"х = О. В качестве второго слагаемого прямой суммы мы возьмем подпространство М)") —. образ пространства В при том же преобразовании АР. Легко видеть, что М)Р) также инвариантно относительно преобразования А. Действительно, если у Е е М1р), т. е. у = А"х, то Ау = А"+'х = А" (Ах), т.е. Ау также принадлежит М1Р). *) Что Л1 «слишком великоэ, видно при этом не только иэ соооражений размерности, но также и из того, что ЛХ пересекается даже с самим ое, а не только с его расширением. 216 клновичвский вид линейных певовелзовлвий )гл.
п1 Т е о р е м а 1. Пространство В можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств 11в и МОУ). При этом подпространство Хв состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению Л = О, а в подпространстве МОО преобразование А обратимо (т. е. Л = О не является собственным значением преобразования А в подпространстве МОО). Для доказательства первого утверждения нам, как и в рассмотренном выше частном случае, достаточно показать, что пересечение подпространств Хв и МОО равно нулю.
Допустим противное, т. с. пусть существует вектор у ф- О такой, что у Е МОО и у Е Хв~ . Так как у е Мбо, то (8) у = А"х. Далее, так как у Е л'1'в~, то А'у = О. (9) Но из равенств (8) и (9) следует, что существует такой вектор х, для которого А"х у'= О и в то же время Ахпх = Ару = О, Это значит, что х есть присоединенный вектор преобразования А с собственным значением Л = О, не принадлежащий подпространству Хв~ ~, что невозможно,так как Хв состоит из всех таких векторов. Таким образом, мы доказали, что пересечение Лв~ и МОО равно нулю. Так как сумма размерностей этих подпространств равна и (это ядро и образ преобразования А"), то отек>да следует, что пространство Л з 191 нгинедннин к ноглмлльной ьогмв 217 раскладывается в прямую сумму этих подпространств: П= М~1Е ф'. (1О) Докажем теперь второе утверждение теоремы, т.
е. что в подпространстве МОО преобразование А не имеет нулевого собственного значения. Действительно, если бы это было не так, то в МОО существовал бы вектор х ф О такой, что А"х = О. Но это равенство означает, что х Е Х„, т. е. является общим вектором Мбб и Д79~', а мы доказали, что таким вектором может быть только нуль. Теорема доказана полностью. Теперь мы можем освободиться от предположения, что выделенное подпространство отвечает нулевому собственному значению, и считать установленным следующий факт.
Если Л1 — некоторое собственное. значение преобразования А, то пространство В можно разложить в прямую сумму инварионтных подпространств П1 и В, в первом из которых преобразование А имеет сполько собспгвенное значение Л1, а во втором все собственные значения А отличны от Л1. Применяя полученный результат к преобразованию А в пространстве Л и к некоторому собственному значению Ла этого преобразования, мы ьотщепимь инвариантное подпространство, отвечающее собственному значению Ла. Продолжая этот процесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения преобразования А, мы получим доказательство следуя~щей теоремы: Т е о р е м а 2.
Пусть преобразование А пространства Л имеет й различных собственных значений Л1,..., Лы Тогда Л можно разложить в прямую сумму 218 кАноничнский нил линейных ИРВОВРАзонАниЙ Р'л. 1и с' инвариантных надпространств Лл,..., 1лл ;~(РВ рЕ(М л ''' л~ Каждое из подпространств Жл~~д состоит только из собственных и присоединенных векторов,. отвечаюьчих собственному значению Л;.
Другими словами, для каждого г существует такое число р,, что для всех х е 1Л'л ' (А — Л,Е)Р'х = О. У нас осталась еще только одна, впрочем, не менее важная задача выбрать в каждом из этих подпространств базис, в котором матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму. Это будем сделано в следующем пункте. 3. Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением. В случае, если пространство состоит только из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
