1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Действительно, пусть х = сдед + бгег +... + 6ьеь. Так как Аед = Льед, деь,еь) = 1, (едэ е,) = 0 при г ~ к, то дАх,х) = (АЯед+Егег-Р...-Рбьеь), бдед-Рбгег+... +6ьеь) = = (Лдбдед+Лг~гег+... -РЛьсьед, 6дед-Рбгегл; .. -(-сьев) = = Лдбд + Лг~г -Р ... + Льрь. Кроме того, так как векторы ед, е,..., еь ортогональны и нормирОваны, то 1х, х) = Сд + ргг +... + Еь~ и, следовательно, гдАх, х) = Л 4д -Р Л 6г -Р -Р Ль(ь > Л гдьгд -Р Ь + + чсд) = Л гдх, х).
з 17) экстгнмяльныВ ОВОЙстВА сОВстВВнных знячБИНЙ 197 Аналогично (Ах, х) < Ль(х, х) и, следовательно, Лт(х,х) ( (Ах,х) ( Ль(х,х). Пусть теперь Ль произвольное подпростраиство п — й + 1 измерений. В з 7 (лемма п. 1) мы доказали, что если сумма размерностей двух надпространства-мерного пространства превышает и, то существует отличный от нулл вектор, принадлежащий обоим подпространствам. Следовательно, так как (и — Й+ Ц+ Й ) п, то существует вектор хо, принадлежащий как Ль, так и подпространству Я, порожденному векторами ет, ег,,еь. Мы можем считать, что длина его равна 1, т.
е. что (хо, хв) = 1. Так как всюду в 5, как мы уже доказали, (Ах, х) < <Ль(х, х), то (Ахо, хо) < <Ль. Итак. мы доказали, что в Лу существует вектор хо длины 1 такой,что (Ахо., хв) < Лт" Но тогда и подавно, минимум (Ах, х), где х пробегает все векторы длины 1 из Ли, также меньше или равен Лт, Таким образом, для любого (тт — 1т+ Ц-мерного надпространства Ль пшт(Ах, х) < Ль, где (х,х) = 1 и х Е Ль. Заметим, что среди надпространств Ля размерности тт — я'+ 1 есть такое, для которого ппп(Ах, х), х Е Ль, (х, х) = 1, в точности равен Ль. Таким подпространством является надпространство, состоящее из векторов, ортогональных первым Й вЂ” 1 собственным векторам ет, ег,..., еь т.
Действительно, в этом параграфе мы доказали, что ппп (Ах, х), распространенный по всем 1, т=т векторам, ортогональным первым я — 1 собственныът векторам, равен Ля. Итак, мы доказали следу-ющее утверждение: Пусть Лт. -- некоторое (и — 1т + 1)-мерное подпространство пространстпва Л. Тогда минимум (Ах,х) для всех х из Ль таких, нто (х, х) = 1, меньше или равен Ль. Подпростринство Ль можно выбрать тпак, нтпобы этот минимум равнялся Ль.
Это утверждение можно записать следующей формулой: шах шш (Ах,х) = Ль. (3) Ят. 1 . 1.=! ся„ В этой формуле ш1п берется по указанным векторам, а птах по всевозможным подпространствам Ля размерности и — к+ 1. (гл. и ЛИНЕЙНЫВ ПРЕОВРЛЗОВЛНИЯ 198 Из доказанной теоремы следует: Пусть А самвсопрлженное линейное преобразование, аВ положипзельно определенное линейное преобразование. Пусьпь Л| ( Лз ( ... ( Л собспчвенные значения А, а Н1 ( рз ( ... ...
( р собстпвенньье значения А+ В, пьозда Ль ( рь. Действительно, всюду (Ах,х) ( ЯА -Р В)х,х). Следовательно, в любом (и — в+1)-мерном подпространстве Пь имеет место неравенство: пйп (Ах,х) ( ппп ((А -РВ)х,х). МН1=в 'ель *ель Значит, максимум левой части по всевозможным подпространствам Вь не превосходит максимума правой части.
Так как в силу формулы максимум левой части равен Ль, а максилсум правой равен рь,то Ль ( рь, что и требовалось доказать. Перенесем полученные результаты на случай комплексного пространства. Для этого нам придется заменить лишь лемму 1 следующей леммой. Л е м м а 2.
Пусть В самосопрязкенное преобразование в комплексном простринстве, и соотпветпствуюи1ая елву эрмитовв форма (Вх,х) не отрииательна, т. е. (Вх.,х) ) О для любых х. Тогда, если для некоторого е (Ве,е) = О, то и Ве=О. Д оказ а тельство. Пусть | произвольное вещественное число, а 6 .-. вектор. Тогда (В(е+ Вь),е+ 16) ) О. или, так как (Ве, е) = О, то ЯВе,6) + (В6.,е)) + 19(В6,6) ) О для любого 1. Отсюда следует, что (Ве, 6) + (В6ч е) = О. ~ 17) экстгвмАльнын сВОЙстнА совственных знАчьннЙ 199 Так как 6 произвольно, то, заменяя 6 на ~6, получаем (Ве,г6) + (гВ6,е) = О, т.е.
— г(ВС,6) + г(В6,е) = О. (5) Из (4) и (5) получаем, что (Ве,6) = О, и так как 6 произвольно, то Ве = О. Лемма доказана. Все остальные теоремы этого параграфа и их доказательства переносятся на случай комплексного пространства без всяких изменений. ГЛАВА П1 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 8 18. Нормальная форма линейного преобразования В главе П мы познакомились с различными классами линейных преобразований п-мерного пространства, имекзщих и линейно независимых собственных векторов. Мы знаем, что в базисе, состоящем из собственных векторов такого преобразования, его матрица имеет особенно простой вид, так называемую диагональную форму.
Однако число линейно независимых собственных векторов у линейного преобразования может быть меньше, чем и *). Пример линейного преобразования с недостаточным числом собственных векторов мы приведем несколько позже (см. также ~ 10, п. 1, пример 3). Такое преобразование. заведомо не может быть приведено к диагональной форме, так как базис, в котором матрица преобразования диагональна, состоит из соб- Напомним, что если все корни характеристического много- члена различны, то преобразование имеет п линейно независимых собственных векторов.
Поэтому, для того чтобы число собственных векторов было меньше чем п, необходимо наличие кратных корней у характеристического многочлена. Таким образом, этот случай является в некотором смысле исключительным. 218) нормальная фогыл линвйного пгвовгазовьняя 201 ственных векторов. Возникает вопрос; каков простейший вид матрицы такого линейного преобразования? В этой главе мы для произвольного преобразования укажем базис, в котором его матрица имеет сравнительно простой вид (так называемая жорданова нормальная форма).
В случае, когда число линейно независимых собственных векторов преобразования равно размерности пространства, эта нормальная форма совпадает с диагональной. Мы сформулируем сейчас окончательный результат, который докажем в 8 19. Пусть задано произвольное линейное преобразование А в комплексном пространство и измерений. Предположим, что у А имеется Й (Й < и) линейно независимых собстоенных ооктороо е1,11,...,61, соответствующих собственным значениям Л1, Л2,...
..., Лы Тогда существует базис, состоящий из й групп, векторов *): Е....., „; У1,...,Д; ...: П1,....,П„ (1) о копгором преобразование А имеет, следующий вид: Ае1 — — Л1еы Аех=е1+Л1е2, ..., Аер — — ер 1+Л1ер,. А~1 =Л2~1, А~2=Л+Л2~2, ..., АДе=~е 1+Лз~а,. (2) А61=Льй1, А62=И1+Льйх, ..., Абл=йл 1+ЛьЬ, Мы видим, что базисные векторы каждой группы переходят при нашем преобразовании в линейную комбинацию векторов той же группы.
Отсюда следует, что каждая группа базисных векторов порождает подпространство, инвариантное относительно Ясно, что р-Ьд-Ь...-Ья = и. Если же й = и, то каждая группа состоит из одного вектора, а именно собственного вектора. 202 кАноничнский Вид линВйных ИРВОВРАЗОнАниЙ ~гл. 1и преобразования А. Рассмотрим несколько подробнее преобразование, задаваемое формулами (2). В подпространстве, порожденном каждой группой, есть собственный вектор: например, в подпространстве, порожденном векторами ем е2,..., е „таким собственным вектором является еь Вектор е2 называют иногда присоединенным собственным вектором первого порядка. Это значит, что Аез пропорционально ез с точностью до собственного вектора, как зто видно из равенства Ае = Л1е2 + еь Аналогично ез, ея,... называют присоединенными векторами второгор третьего и т.
д, порядков. Каждый из них является «как бы собственнымр, т. е. собственным с точностью до присоединенного вектора низшего порядка Ась = Л1еь + еь Таким образом, базис каждого инвариантного подпространства состоит из одного собственного вектора и такого же количества присоединенных, которое нужно добавить, чтобы получить базис данного подпространства.
Покажем, что в каждом из этих подпространств имев~ел, с точностью до множителя, лишь один собственный вектор. Действительно, рассмотрим, например, нодвространство, порожденное векторами ем ег,..., ер. Допустим, что некоторый вектор иэ этого подпространства, т, е. некоторая линейная комбинания вида сгег -Р сгег -Р...
+ с„ер, где не все сь равны нулю, является собственным вектором, т. с. А(сгег г; сгег -Р ... -Р срер) = Л(сгег -~- сгег -Р ... -Р срер 'А з18] нОРмлльнля ФОРмл линкйнОГО ПРНОВРлзовлния 203 Подставлял вместо левой части ее выражение по формулам (2), получаем равенство с~Л1е1 + сз(е~ -Р Л~ез) + ... + ср(ер 1 + Л1ер) = = Лс1е~ -Р Лс ез -~-...-Р Лс„е„. Отсюда, приравнивая коэффициенты при каждом из базисных векторов, имеем систему уравнений для нахождения величин ,..., с„: с1Л1 -Р сз = Лсь сзЛ~ -~- сз = Лсю ср 1Л1+ср — — Лср сРЛ~ = Лср. Покажем прежде всего, что Л = Ль Действительно, если бы Л ~ Лм то из последнего равенства мы имели бы ср — — 0 и зателе из остальных равенств ср 1 = ср з = сз = с1 = О.
Итак, Л = Лп тогда из первого уравнения имеем сз = О, из второго сз = 0 и т.д. до с„= О. Значит, собственный вектор равен с~е1 и, следовательно, с точностью до множителя совпадает с первым вектором соответствующей группы. Выпишем матрицу преобразования (2). Так как векторы каждой группы преобразуются в линейные комбинации векторов той же группы, то в первых р столбцах матрицы преобразования могут быть отличны от нуля лишь элементы первых р строк, в следующих О столбцах могут быть отличны от нуля лишь элементы, стоящие в строках с теми же номерами, что и у этих столбцов, и т.д. Таким Образом, в данном базисе матрица преобразования будет состоять из й клеток, расположенных по главной диагонали, а все элементы, не принадлежащие ни одной из этих клеток, будут равны нулю. Для того чтобы понять, что стоит в каждой клетке матрицы преобразования А, достаточно еще раз написать, как преобразуются векторы одной группы.
Мы 204 кАноничвский Вид линейных ИРВОВРАзоВАниЙ 1гл. н! имеем: Ае1 = л1е1, Аев = е1+ Л1е2, Аер ер — 2 + Л1ер — 1, Аер —— ер 1 + Л1ер. Вспоминая, как строится матрица, отвечающая данному преобразованию базиса, получаем, что клотка матрицы, соответствук1щая данной группе векторов, имеет вид Л 1 О ... О О О Л 1 ... О О А1 = о о о...л о о о ... о л Вся же матрица оказывается составленной из таких клеток порядков р,д,....,В соответственно, т.е. имеет вид Л,1О...О О Л 1 ... О о о о...л л2 1 о ... О О Л 1 ...
О (4) 0 ОО...Л, ЛА10...0 О Л.1... О о о о.. л. где все элементы вне клеток нули. Заметим также, что не все Л, обязаны быть различными. 318) нормальная догма лнннйного пгновглзонлнин 205 У п р а ж н е н и е. Найти все инвариантные подпространства преобразования с матрицей (3). Хотя приведенная здесь нормальная форма выгллдит сложнее. чем, например, диагональная матрица, однако и с ней можно достаточно просто производить алгебраические операции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
