1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(2) Мы имеем Ае' = Ае — А(н~е~ +... + ~срер)— — АЬ~Л + " + ряй) —" — А( Ф~ +... + ь,6.), или, пользуясь формулой (1), Ае' = а~с~ +... + орер + Я~~ +... + ~Зятя +... . + 616 | +... + 3,,6~ — А(х~е~ +... + хрер)— — А(рь(~+... +р,~Д вЂ”... — А(и~6, +... +ыя6,), (3) Коэффициенты ро,...,нр; пы...,рч; ...; ьь ы, мы можем выбрать произвольно.
Подберем их так, чтобы в правой части формулы (3) осталось как можно меньше слагаемых. Мы знаем, что каждой группе базисных векторов и-мерного подпространства Л', в котором преобразование А имеет нормальную форму, отвечает свое собственное значение Лы Лз и т. д, Мы рассмотрим отдельно два случая, а именно разберем сначала случай, когда 220) дрргов доклзлтвльство творимы о приввлкния 227 ни одно из этих собственных значений не равно нулю, а затем случай, когда это не так. Разберем первый случай, когда Л1 ф О, Л2 ф О, ..., Ль ф О. В этом случае мы покажем, что вектор е' можно выбрать так, чтобы Ае' = О, т.е.
подобрать хы...,ы,, так, чтобы все слагаемые в правой части (3) сократились. Так как векторы каждой группы переходят при преобразовании в комбинацию векторов той же группы, то векторы различных групп можно уничтожать независимо друг от друга. Покажем, как подобрать коэффициенты ных2,..., нр, чтобы в правой части (3) сокРатились вектоРы ем е2,...., ер. Члены, соДеРжаЩие эти векторы, имеют вид а1е1 +... + орер — А(н1 е1 +... + дюрер) = = о1е1 +... + орер — н1 Л1е1— †.к2(е1+ Л1е2) — .. — хр(ер 1+ Л1ер) = = (а1 — н1Л1 — н2)с1+ (а2 — х2Л~ — из)е2+... + (ар — ~ нр — ~Л1 жр)ер — 1 + (ар жрЛ1)ер Приравнивая нули> коэффициент при е, определяем и, что возможно,так как Л1 ф О, затем, приравнивая нулю коэффициент при ер ы определяем нр 1 и так далее до нр Таким образом, мы уничтожили в (3) члены с ем ез,, .., ер. Аналогично вычислЯем ДРУгие гРУппы коэффициентов.
Мы получили, таким образом, вектор е', для которого Ае =О. Добавляя этот вектор к имеющемуся базису, получаем базис е', еы е2,..., ер, 2"м 12 ....., Д;...; И,1, Ь2,..., 6, в (и + 1)-мерном пространстве, в котором преобразование имеет канонический вид. Вектор с' образует при этом отдельнун2 группу с собственным значением, 228 кАноничвский Вил линВЙных ИРВОВРАзонАниЙ (Гл. 1и равным нулю (следовательно, с собственным значением т, если бы мы не рассматривали вместо А преобразование А — тЕ).
Рассмотрим теперь второй случай, а именно пусть некоторым группам векторов базиса в и-мерном пространстве 11' соответствуют собственные значения преобразования А, равные нулю. Тогда в правой части формулы (3) у нас будут слагаемые двух сортов — соответствующие группам с отличными от нуля собственными значениями и группам, для которых собственное значение равно нулю. С группами, у которых собственные значения отличны от нуля, мы можем поступить так же, как и в первом случае, т.е. подбором коэффициентов уничтожить векторы в правой части (3).
Допустим, что после этой операции у нас останутся, напри- меР, тРи гРУппы слагаемых еы ез,..., ер, ./ ы )2,..., (я.,' дпдз,...,д„с собственным значением, равным нулю, т. е. что Л1 = Л2 = Лз = О. Тогда Ае' = о1е1+... + орер+ Д~1 +... + Д,~я+... + у1д1+... ... + 'у,д„— А(х1 е1 +... + хрер)— — А(р~~1 +... + рл~я) — А(и1д1+... + и,у„). (4) Так как Л1 = Л2 = Лз = О, то Ае~ =О, Аев =ем А~1 =О, Аб =ум Ад1 = О, Ауз = ды Поэтому линейная комбинация векторов еы ез,..., ер, входящая в правую часть равенства (4), будет иметь вид о1 е1+...
+ орер — хзе1 —... — хрер Полагал хз = оы ..., хр — — ор ы мы Уничтожим зДесь все слагаемые кроме одного, равного орер. Проделав ту же опеРацик2 в гРУппах Уы...,,(я и ды..., У„, мы полУ- 2201 друГОе ЛОклзлтельство теоремы О ИРиведении 229 чим вектор е, для которого Ае' = о,ер+ Щ + у,уу,.
Случайно может оказаться, что ор — — Дц — — у„= О; тогда мы приходим к вектору е , .для которого Ае' = О, и тогда, как и в первом случае, наше преобразование уже в базисе е'; еме2,...,е„; гыг"2,...,Д:,...; Ьы 62, ..., улл имеет нормальную форму. Вектор е' в этом слу- чае образует новую клетку с собственным значением, равным нулю. Пусть теперь хотя бы один из коэффициентов ор, Д„у„отличен от нуля. В этом случае, в отличие от рассмотренных ранее, нам придется для приведения к нормальной форме также изменить некоторые из век- торов базиса, уже имеющегося в Л'.
Расположим числа р,гу,г по их величине. Пусть, например,р ) д ) г. Тогда строим новую группу, начиная с е', следующим обра- зом. Полагаем ер г — — е, е, = Аер ы е у — — Аер, ..., е1 — — Ае~г. лулы имеем, следовательно, л л е у — — е,. р е,', = Ае',, = орер + Я + у„у„, л л ер г — — Ае = орер у +Дядья г+ у„у„ l л л ер „ы — — Аер . Иг = орер — ~у + 191ц — .Рг+'у дг л л е „=Аер „,=о,ер.„+~я~ I л I ег — — Аег — — орел. Заменим тепеРь вектоРы е', еы ег,..., ер базиса векторами I / / l РЫ Е2,..., Е, Р 230 кяноничвскиЙ вял линвЙных пгвовглзовяниЙ игл.
ш а остальные оставим без изменения. Мы получим тогда нормальную форму преобразования, причем размеры первой клетки увеличились на единицу. Теорема полностью доказана. Мы видим, что в процессе построения нормальной формы нужно было различать два случая. 1. Случай, когда добавленное собственное значение т (мы его полагали равным нулю) не совпадает ни с одним из прежних собственных значений Лы.,., Лы В этом случае добавлялась отдельная клетка первого порядка. 2.
Случай, когда добавленное собственное значение совпадало с одним из уже имевшихся. В этом случае, вообще говоря, размер одной из имевшихся клеток увеличивался на 1. Если же коэффициенты о, Д,7 равны нулю, то, как и в первом случае, добавлялась новая клетка. Й 21. Инвариантные множители В этом параграфе мы укажем способ, дающий возможность находить жорданову нормальную форму линейного преобразования. Из результатов этого параграфа будем также вытекать до сих пор еще не доказанная единственность этой формы.
Определение. Матрицы, А и А1 = С АС, где С --произвольная невыроледенная матрица, позыв аютея подобными. Если матрица А1 подобна матрице А2, то и обратно, А2 подобна Аы Действительно, пусть А1 = С 'А2С. Тогда отсюда А2 = СА1С ', 2 21! 231 инвлгиАнтныв множитвли т.е. если положить С = С1, имеем; — 1 Аи = С, 'А1С1 и, следовательно, Аз подобна А1.
Легко также показать, что если две матрицы А1 и А2 подобны одной и той же матрице А, то они подобны между собой. Действительно, пусть А = С, 'А1С1, А = Си А2С2. Тогда С 'А1С1 = С2'А2С2, т.е. А1 = С1С2'А2С2С, ', и если положить С2С1 — — С, то получим: А1 = С 'А2С, т.е. А~ и Аз подобны. Пусть А матрица преобразования А в некотором базисе. При переходе к другому базису матрица А заменяется подобной ей матрицей С АС, где С вЂ” матри- -1 ца перехода от первого базиса ко второму Я 9). Таким образом, подобные матрицы это матрицы одного и того жс линейного преобразования в различных базисах. Наша задача по матрице преобразования построить инварианты самого преобразования, т.с.
выражения, зависящие лишь от самого преобразования А. Другими словами, нам нужно построить функции от злемснтов матрицы, совпадающие для подобных матриц. Один такой инвариант установлен уже в 2 10. Именно, там было доказано, что характеристический многочлон матрицы А, т. е, определитель матрицы А — ЛЖ: Рв(Л) = (А — ЛЕ( нс меняется при замене матрицы А подобной матрицей.
Мы построим здесь ряд инвариантов, среди 232 кАноничвский вил линнЙных ИРИОИРАзонАниЙ (Гл. И1 которых будет содержаться и характеристический многочлен; они будут полной системой анваривнтов, в том смысло, что из их совпадения для двух матриц следует подобие этих матриц. Пусть А — произвольная матрица и-го порядка. Миноры а-го порядка матрицы А — ЛЕ суть некоторые многочлены от Л. Обозначим через Рь(Л) иа наибольигай общий делатель '). В частности, Р„(Л) — определитель матрицы А — ЛЕ, т. е. характеристический многочлен матрицы А. В дальнейшем мы покажем, что все Рь(Л) являются инвариантами.
Заметим, что Ра(Л) делится на Р„1(Л). Действительно, по определению Р„1(Л) все миноры (п — 1)-го порядка делятся на Ро 1(Л). Разлагая определитель на сумму произведений элементов какой-нибудь строки на их алгебраические дополнения, мы получаем, что и определитель Р„(Л) делится на Р„з(Л).
Аналогично, Ра 1(Л) делится на Рв 2(Л) и т. д. У п р а ж н е н и е. Найти Рь (Л) (Й = 1, 2, 3) для матрицы й .) Отввявь Рв(Л) = (Л вЂ” Ло)в, Ря(Л) = Рз(Л) = 1. Л е м м а 1. Если С произвольнал невырожденнал матрица, то общие наибольлаие делители миноров А-го порядка матриц А — ЛЕ и С(А — ЛЕ) совпадают. Аналогичное утверждение имеет место и для (А — ЛЕ)С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
