1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 35
Текст из файла (страница 35)
О О О 1 ... О (10) 0 00...1 полученную с помощью той же операции из единичной, а чтобы прибавить к первой строке вторую, умноженную на ~р(Л), нужно умножить А(Л) слева на матрицу 1р(Л)О...О 0 1 0...0 0 0 1...0 (11) 0 0 0...1 которая также получается из единичной с помощью соответствующего элементарного преобразования. Мы видим, таким образом, что матрицы элементарных преобразований ---это матрицы, полученные одним элементарным преобразованием из Е, причем, чтобы произвести элементарное преобразование над столбцами, А(Л) надо умножать на гяатрицу преобразования справа, а чтобы преобразовать строки, А(Л) надо умножать на соответствующую матрицу слева.
2 22) Л - ь! А т Р и и ы Можно сосчитать определитель каждой из приведенных матриц (8) — (11) и., таким образом, проверить, что он равен отличной от нуля постоянной; следовательно, все эти матрицы обратимы. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то и произведение матриц элементарных преобразований есть обратимая матрица. Так как мы предположили, что А(Л) и В(Л) эквивалентны, то А(Л) можно получить, применяя к В(Л) некоторую цепочку элементарных преобразований. Каждое элементарное преобразование можно осу!цествить, умножая В(Л) на обратимую Л-матрицу; следовательно, весь переход от В(Л) к А(Л) можно получить! умножая В(Л) последовательно на некоторую совокупность обратимых Л-матриц слева и аналогично на некоторую совокупность справа. Так как произведение обратимых матриц также есть обратимая матрица, то первая часть теоремы тем самым доказана.
Отсюда следует, что всякая обратимая матрица есть произведение матриц элементарных преобразований. Действительно, всякая обратимая матрица Я(Л) эквивалентна единичной матрице и поэтому может быть представлена в виде Я(Л) = Р!(Л)ЕР2(Л), где Р!(Л) и Р2(Л) произведения матриц элементарных преобразований. Но это значит, что и сама Я(Л) = = Р!(Л)Р2(Л) есть произведение матриц элементарных преобразований.
Этим замечанием можно воспользоваться для доказательства второй половины теоремы. Действительно, пусть дано,что А(Л) = Р(Л)В(Л)С~(Л), где Р(Л) и Я(Л) обратимы. Но, согласно только что 254 канонический внд лннвЙных пгвовглзовлвнЙ (гя. п| сделанному замечанию, умножение слева на Р(Л) и справа на ®Л) эквивалентно некоторой совокупности элементарных преобразований, произведенных над В(Л).
Таким образом, А(Л) эквивалентна В(Л), что и требовалось доказать. 4. *) В этом пункте мы будем заниматься Л-матрицами вида А — ЛЕ, где А . постоянная матрица. Основной вопрос, который будет решен, это вопрос об эквивалентности Л-матриц первой степени А — ЛЕ и  — ЛЕ *'). Легко видеть, что если матрицы А и В подобны, т.е. существует такая невырожденная постоянная матрица С, что В = С АС, то Л-матрицы А — ЛЕ и  — ЛЕ эквивалентны.
Действительно, если В=С 'АС, то  — ЛЕ = С '(А — ЛЕ)С. Так как постоянная невырожденная матрица есть частный случай обратимой Л-матрицы, то, по теореме 3, из этого равенства следует эквивалентность А — ЛЕ и  — ЛЕ. Мы покажем позднее и обратное, что из эквивалентности Л-матриц А — ЛЕ и  — ЛЕ следует подобие матриц А и В. Отсюда мы получим, в частности, новое доказательство того, что всякая матрица подобна матрице, имеющей нормальную жорданову форму. Этот пункт можно пропустить, так как он содержит другое, независимое от Б 19 и 20 доказательство того, что всякую матрицу можно привести к жордановой форме. Произвольная Л-матрица первой степени Ае + ЛАм у которой Ре1 А1 ф Е, эквивалентна некоторой матрице вида А — ЛЕ.
Действительно, в этом случае Ае -~- ЛАэ = —.41( — А, '.4е — ЛЕ) и, обозначая — А, 'Ае через Л, имеем Ае т ЛА1 = —.4~(.4 — ЛЕ), откуда по теореме 3 следует эквивалентность матриц А — ЛЕ н Ао+ ЛАь з 22) Л-ь!Атгипы Доказательству предпошлем лемму: Л е м м а 2. Произвольную Л-матрицу Р(Л) = РвЛ" + Р Л" '+... + Ри можно разделить слева на матрицу вида А — ЛЕ (где А любая постоянная матрица), т.
е. можно найти такие матрицы Я(Л) и В (В постоянна), что, Р(Л) = (А — ЛЕ)5(Л) + В. Процесс деления, с помощью которого доказывается лемма, отличается от обычного деяения многочленов только тем! что при умножении нельзя изменять порядок сомножителей. Пусть Р(Л) = Рв Л" + Р, Л" ' +... + Р„, где Ря постоянные матрицы.
Легко видеть, что Л-матрица Р(Л) + (А — ЛЕ)РвЛ будет иметь степень не выше и — 1. Если Р(Л) + (А — ЛЕ)РоЛп ! = РвЛ" ! + Р! Л" 2 +... + Р„' то аналогично многочлен Р(Л) + (А — ЛЕ)РвЛ ! + (А — ЛЕ)РвЛ есть многочлен степени не выше и — 2.
Продолжая этот процесс, мы придем к многочлену Р(Л) + (А — ЛЕ)(РвЛ ! + РЫЛ вЂ” 2+ ) степени не выше нулевой, т. е. не зависящему от Л. Обозначив полученную постоянную матрицу через В, мы получим Р(Л) = (А — ЛЕ)( — РвЛ ! — РвЛ 2 — .) + В. 266 канонический вил линейных вгковглзовлний "гл. ш Если теперь обозначить многочлен в квадратных скоб- ках через Я(Л),то мы будем иметь Р(Л) = (А — ЛЕ)Я(Л) + Л, т. е. лемма доказана. Аналогично доказывается возможность деления справа, т.е. существование матриц Я~(Л) и В1 таких, что Р(Л) = Я1(Л)(А — ЛЕ) + Вы Заметим кстати, что здесь, как к в обычной теореме Безу, можно утверждать, что К=я =Р(А).
Теорем а 4. Для того чтобы Л-матрицы А — ЛЕ и  — ЛЕ были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы, матрицы А и В были подобны. Д о к аз а т ел ь с т в о. Достаточность была доказана в начале этого пункта. Докажем необходимость. Нам надо доказать, что если Л-матрицы А — ЛЕ и  — ЛЕ эквивалентны., то матрицы А и В подобны. По теореме 3 существуют такие обратимые Л-матрицы Р(Л) и Я(Л), что  — ЛЕ = Р(Л)(А — ЛЕ)Я(Л). (12) Покажем сначала, что в равенстве (12) Р(Л) и сг(Л) можно заменить постоянными матрицами. С этой целью разделим Р(Л) на  — ЛЕ слева, фЛ)— справа.
Мы получим равенства Р(Л) = ( — ЛЕ)Р1 (Л) + Ро, ЕЛ) = Ф (ЛН — ЛЕ) + а ., (13) гДе Ро и Яб --постоЯнные матРицы. Подставим в формулу (12) выражение для Р(Л) и произведем умножение. Мы получим:  — ЛЕ = ( — ЛЕ)Р1(Л)(А — ЛЕ)Я(Л)+Ро(А — ЛЕ)Я(Л) 2 22] Л-мхтгипы 257 Во второе слагаемое подставим выражение для Я(Л), производем умножение и перенесем слагаемое Ро(А — ЛЕ)Яо в левую часть равенства. Мы получим:  — ЛŠ— Ро(А — ЛЕ)Яо = К(Л), (14) где К(Л) = ( — ЛЕ) Р7 (Л) (А — ЛЕ) Я(Л) + + Ро(А — Л Е) фЛ) ( — Л Е) (15) Из равенства (13) следует, что Ре = Р(Л) — (В— ЛЕ)Р~(Л). Заменив этим выражением Ре во втором слагаемом, получим: К(Л) = ( — ЛЕ) Р7 (Л) (А — ЛЕ) Я (Л) + + Р(Л)(А — ЛЕЯ~ (Л)( — ЛЕ)— — ( — ЛЕ) Р~ (Л) (А — ЛЕ) Я~ (Л) ( — ЛЕ). (16) Но из равенства (12) мы имеем (А — ЛЕ)Я(Л) = Р '(Л)( — ЛЕ), Р(Л)(А — ЛЕ) = ( — ЛЕ)С~ ~(Л).
Пользуясь этими равенствами, мы можем ввести множитель  — ЛЕ в конец первого и начало второго слагаемого в выражении для К(Л), после чего получим окон- чательно К(Л) = ( — ЛЕ)[Р,(Л)Р-'(Л) + 1~-'(Л)б7,(Л)— — Р~(Л)(А — ЛЕ)С~~(Л)]( — ЛЕ). Докажем теперь, что К(Л) = О. Выражение в квадратных скобках, в силу обратимости Р(Л) и Я(Л), есть многочлен относительно Л. Докажем, что он равен нулю. Предположим, что этот многочлен отличен от нуля и имеет степень пи Нетрудно убедиться тогда, что К(Л) имеет степень 7п + 2 и так как т > О, является много- членом не ниже второй степени. Но из равенства (14) 258 кАнони'>вский вид линейных нРКОНРАЗОНАний <Гл. ш следует, что К(Л) не выше первой степени. Следовательно, выражение в квадратных скобках, а значит, и К(Л) = О.
Мы получили таким образом, что (17)  — ЛЕ = Ро(А — ЛЕ)Цо> где Рв и Яв -- постоянные матрицы, .т.е. в равенстве (12) можно матрицы Р(Л), ®Л) заменить постоянными матрицами. Сравнивая коэффициенты при первой степени Л в обеих частях равенства (17), мы получаем РЯо = Е. откуда следует невырожденность каждой из матриц Ро и Яв и равенство Сравнение свободных членов дает В = РоМо = Ов 'АОв, т.е. В и А подобны.
Теорема доказана. Так как условием эквивалентности А — ЛЕ и  — ЛЕ служит совпадение их инвариантных множителей, то из доказанной теоремы следует, что, для того чтобы матрицы А и В были подобны, необходимо и достаточно, чтобы инвариантные лтожители, >у А — ЛЕ и  — ЛЕ сони>вдали между собой. Покажем теперь, что всякая матрица А подобна матрице, имеющей жорданову нормальную у>о1>лу. Для этого рассмотрим матрицу А — ЛЕ и найдем ее инвариантные множители. По этим инвариантным множителям построим, как было указано в 8 21, матрицу В, имеющую жорданову нормальную форму. Тогда  — ЛЕ имеет те же инвариантные множители, что и А — ЛЕ, и, значит, В подобна А.
259 Л-матгипы 2 22] Как было указано на стр. 254 (сноска), изложенное в п. 4 является другим, заменяющим Я 19 и 20, доказательством того, что всякая матрица подобна матрице, имеющей жорданову нормальную форму. С другой стороны, конечно, содержание п.4 может быть непосредственно выведено из содержания Я 19 или 20 и 21. Г,ЛАВА 1У ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ ~ 23. Сопряженное (двойственное) пространство 1. Определение сопряженного пространства. Пусть .й линейное пространство. Одновременно с Л часто рассматривают другое, тесно связанное с ним пространство, так называемое сопряженное пространство. Для того чтобы сформулировать определение сопряженного пространства, вернемся к понятию линейной функции, введенному нами вп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
