1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Перейдем к новому базису е1,е~2,...,е'„в В и взаимному с ним базису ('и, У/2 У/п В! Пусть переход от базиса е1,е2,...,е„к базису е1, е2,..., е'„задается формулами ео — саед. (3) Тогда переход от базиса Г"1, 12,...., ~" к базису ~'~,..., ('" задается формулами уЧ бдуо где ((Ь )) --- матрица, транспонированная к матрице, обратной к ))с~)(. Формула (3) показывает, что числа с„при фиксированном а являются координатами вектора е' в базисе е1,ев,...,е„.
Аналогично числа б при фиксированном ц являются координатами вектора 1'Д в базисе ~1 ~2 ~Б 276 ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ бгл. ~ч Найдем систему чисел а~" ", определяющих нашу полилинейную функции> в базисах е1,е2,...,е'„и 7'1,1 2,..., ~'". Мы знаем, что Поэтому, чтобы найти и' ", мы должны в формулу (1) вместо ~', цз,...: Л,„, р„... подставить координаты векторов е'„е',...; 7'",7",..., т.е. числа с,":,с, б',б,',... Мы получаем таким образом: а,"."" = с,"с' ...
б" б,'... а~„'~"'. Итак, система чисел а",' ", определяющих полилинейную функцию 1(х..у,...; 7',у,... ) во взаимных йизисах еме2,...,е„и 1',7'~,..., ~"', при переходе к новым взаимным базисам е'ые2,....,е'„и ~", ~'2,...,7"'и преобразуется по формулам (б) где Ц~~ матрица, определяющая преобразование базиса, еы е2,..., е„„а ~~б; ~~ - . митрици, определяющая преобразовиние взаимного с ним базиса 7"1,7"2,...,1". Это можно выразить следующей фразой: на нижние индексы системы чисел а',"" действует матрица ~~с,'~~, на верхние индексы матрица ~~6~~~ (ср.
223, п.4, где рассмотрены формулы для преобразования координат ковариантного и контравариантного векторов). 3. Определение тензора. Объекты, с которыми мы встречались на протяжении этой книги (векторы, линейные функции, линейные преобразования, билинейные функции и т.д.), определялись в каждом базисе своей системой чисел. Например, вектор определялся в каждом базисе системой и чисел своими координатами.
Линейная функция определяется в каждом базисе также системой и чисел своими коэффициентами. г 24) 277 твнзогы Линейное преобразование определяется в каждом базисе системой п2 чисел "-- матрицей линейного преобразования. Билинейная функция определяется в каждом базисе системой пя чисел. матрицей этой билинейной формы.
При переходе от одной системы координат (базиса) к другой система чисел, определяющая данный объект, преобразуется определенным образом, причем закон преобразования различен для различных объектов. Например, .как вектор из Л, так и линейная функция в Л задаются системой и чисел, однако при переходе к другому базису они преобразуются по-разному. Для полной характеристики встречающейся величины мы должны задать не только значения соответствующих чисел в какой-либо системе координат, но и закон преобразования соответствуя)щей совокупности чисел при переходе к другой системе координат. В пунктах 1 и 2 этого параграфа мы ввели понятие полилинейной функции, которая определяется в каждом данном базисе системой и" чисел (2), преобразующихся при переходе к другому базису по формулам (5).
В связи с ним вводится следующее определение, играющее важную роль во многих разделах физики, геометрии и алгебры. О предел ение 2. Если каждой сисп1еме координат в и-мерном аффинном пространстве отнесена система п"+о чисел а™" (число нижних индексов обо'$з -. значено через р, верхних через о), причем при переходе от одной системы координат к другой зти числа преобразуюпгся по формуле lтв,.,е д г в ох...
а;з " = с; с ... о„о:,.... а,„д"'л где ))с,'.(! . матраца, задаточная переход от одного базиса в Л к другому, а ((Ь,')! матрица, транспонированная к матрице, обратной к Ц)), то мы говорим, ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ (гл. 1ч что нам задан тензор. Этот тензор называется, р раз ковариантным и о раз контравариантным. Число р+д называется рангом (валентностью) тензора. Сами числа а"." называются компонентами тензора. О".
Так как система чисел, определяющих полилинейную функция> от р векторов из ть' и с1 векторов из ть', при изменении базиса преобразуется как раз по формуле (6), то каждой такой полилинейной функции однозначно соответствует тензор ранга р+ д, р раз ковариантный и о раз контравариантный. Обратно, каждому тензору однозначно отвечает полилинейнзя функция.
В дальнейшем свойства тензоров и операции над ними мы будем изучать на ьмоделиь полилинейных функций, хотя, конечно, полилинейные функции являются лишь одной из возможных реализаций тензоров. Приведем некоторые примеры тензоров. 1. С к а л я р. Если каждой системе координат отнесено одно и то же фиксированное число а, то его формально можно также считать тензором, а именно .. тензором нулевого ранга. Тензор нулевого ранга называется скаляром.
2. Контравариантный вектор. Вектору из Л в каждом базисе соответствует совокупность н его координат, которые при переходе к другому базису преобразуются по формулам ц" = Ь,*.ц и, следовательно, представляют собой контравариантный тензор ранга 1. 3. Линейная функция (коварианти ы й в е к т о р). Числа а„„определяющие линейную функцию, преобразуются по формулам 7 а;=с,а, и, следовательно, образуя>т ковариантный тензор ранга 1. 2 241 279 твнзогы 4.
Билинейная функция. Пусть А(х;д) билинейная форма в пространстве Л. Отнесем каждому базису матрицу данной билинейной формы в этом базисе. Мы получим при этом тензор ранга два, дважды ковариантный. Аналогично, билинейная форма от векторов х Е Л, Е Л определяет тензор ранга два, один раз ковариантный и один раз контравариантный, а билинейная форма от векторов у, д Е Л определяет тензор, дважды контравариантный. 5. Линейные преобразования. Пусть А --. линейное преобразование в пространстве Л. Отнесем каждому базису матрицу 9а~9 преобразования А в этом базисе., т.е. положим Ае,, = а,еы ь Покажем, что 9а~(~ есть тензор ранга два, один раз ковариантный и один раз контравариантный.
Действительно, пусть переход к новому базису задается формулой / а е,, =с,е и, следовательно, обратный переход формулой е,=б;е~., где б;с'.=6~, Тогда Ае, '= Ас,"е = с; Ае = с, и ед = с 'и Ь~~ея. Таким образом, матрица ((а';~'9 преобразования А в ба- зисе е'; имеет вид (ь ~3,абь 1агд~ что и доказывает, что матрица линейного преобразования А есть тензор второго ранга, один раз ковариантный и один раз контравариантный. (гл.
!ъ 280 понятие о теизоРАх В частности, единичному преобразованию Е в каждом базисе соответствует единичная матрица, т. е. система чисел (1 при !=к, бе=~ 10 пРи ! ф й. Таким образом, бр представляет собой простейший тензор ранга два, один раз ковариантный и один раз контравариантный. Тензор бр интересен тем, что его компоненты в любой системе координат одни и те же.
У п р а ж н е н и е. Показать непосредственно, что если в каждой системе координат задать систему чисел (! при ю=/с, д, =( ( 0 при !фй, то зто будет тензор. Докажем теперь два простых предложения о тензорах. Пустпь имеются два тензора одинакового тана. Тогда дяя равенства и!ензоров достпаточно, чтобы их компоненты в каком-нибудь базисе были соответственно равны.
Другими словами, из того, что компоненты этих двух тензоров равны в какой-либо системе координат, следует, что их компоненты соответственно равны в произвольной системе координат. Это предложение очевидно; действительно, так как оба тензора одинакового типа (т. е. имеют одно и то же число ковариантных и контравариантных индексов), то они преобразуются по одним и тем же формулам, и так как их компоненты в одной системе координат по предположению равны, то они равны и в любой другой системе координат. Заметим, что предположение, что оба тензора одинакового типа, является совершенно обязательным. Например, как билинейная форма, так и линейное преобразование определяются в данной системе 8 24) 281 твнзогы координат матрицей.
Однако из совпадения матриц линейного преобразования и билинейной формы в одной какой-либо системе координат не следует их совпадение в другой. При заданных р и д мы можем построить тензор типа (р, д), компоненты которозо в каком-нибудь одном базисе равны и"+о наперед заданным числам. Докажем это. Пусть в некотором базисе нам задана система чисел а"'."'. Этими числами задается полилинейнзя функк"-' ' ция 1(х,у,...; ~,... ) по формуле (1) п.2 этого параграфа, где С', соотв. т1' и т.
д., --. координаты векторов х, соотв. у и т. д. в базисе е, Так как с полилинейной функцией однозначно связан тензор, то мы получили тем самым тензор, удовлетворяющий поставленным условиям. 4. Тензары в евклидавом пространстве. Если Л есть и-мерное евклидово пространство, то, как мы видели в п. 5 8 23, можно установить изоморфное соответствие между Л и Л' так, что если у Е Л соответствует элементу 1 Е Л', то О,х) = (у,х) для любого х Е Л.
Если мы теперь в полилинейной функции, зависящей отр векторов х,у,... из Ли двекторов1,д,... из Л'заменим векторы из Л' им соответствующими векторами и,и,... из Л,то мы получим полилинейную функцию 1(х, у.....; и, и,... ), зависящую от р + д векторов из Л.
Найдем коэффициенты функции 1(х, у,...; и, и,... ) по коэффициентам функции 1(х, у,...; ~, д,... ). Пусть а,",".'" --- коэффициенты полилинейной функции 1(х,у,...;1,д,... ), т,е. а~~"' =!(е;, е,...; ) ~, 1~,... ), (гл. Ри 282 понятие о тензоРАх и пусть й!Ь !., - коэффициенты полилинейной функции ((х,у,...;и,и!... ), т.е. 6,.
„, =Це„е;,...;е, е,„.,.), Мы доказали в п. 5 2 23, что в евклидовом пространстве векторы еь базиса, биортогонального у!, выражаются через векторы базиса (! по формулам ес = у!ьу где д,ь = (е, ея). Подставляя вместо е„... их выражения, получаем 52;, — — !(е;,ез,...,.е„,е„...) = = Це!,е,...;д,(,ур,(,... ) = а р = д,дд,...1(е„е„...; ( ., (,...) = ОР... = д„„дд,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
