1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 41
Текст из файла (страница 41)
+ ~(хь,дь). Чтобы определение Р(Х) было корректным, нужно, чтобы на равных выражениях функция Р принимала одинаковые значения. Убедимся, что это так. Для этого достаточно показать, что г'(Х) = О на выражениях вида 1), 2)., 3) (стр. 294). Проверим., например, что Г((х1 + хз) З у — х1 З д — хз З у) = О. В самом деле, имеем: Г((х1 + хг) З у — х1 З у — хз З у) = = 1(х ~ + хэ, у) + У( — хм у) + )' ( — хз; у) = = ('(хмд) + ('(хз,д) — ('(хну) — ~(хз,у) = О. Очевидно, что построенная по 1(х, у) функция Г(Х) на Л З Л линейна, т.е.
г'(Х + 1') = Г(Х) + Г(у) и Л(ЛХ) = ЛЛ(Х). Обратно, если Л(Х) - линейная функция на Л З Л, то ей соответствует билинейная форма на Л; П: у) =Л( Зд). Итак, мы установили естественное взаимно однозначное соответствие между билинейными формами на Л и линейными функциями на Л З Л.
Заметим, что зто соответствие линейно: именно, если билинейным формам 1"ы (з отвечают линейные функции Р1 и Рз, то их линейной комбинации Л1~1 + Лз,(з отвечает функция Л~Л1 + Л~РЕ. Таким образом, построенное соответствие является изоморфизмом между пространством В(Л) билинейных форм на Л и пространством (Л З Л)' линейных функций на Л З В. 129) 297 твнзоеное НРОизвнякнив 3. Размерность тензорного произведения Яз Я. Докажем, что ЛЗЛ --- нонечномерное пространство размерности и>, где и размерность Л. Зададим базис еы...,е„в пространстве Л. Пусть х, у — произвольные векторы из Л; разложим их по векторам базиса: х = С>е> +... + Све„> У = >1>е> +...
+ роев. Тогда и хЗу= ~ 6гб(е; Зе ). >,>.=1 Таким образом, х З у, а значит, и любой другой вектор из Л З Л является линейной комбинацией пз векторов е; Зе>. Убедимся, что векторы е, З е. линейно независимы. Для этого воспользуемся следующей простой леммой, доказательство которой предоставляется читателю. Л е м м а 1. Пусть А линейное пространство и Х,„(о = 1,..., >У) --. векторы из Е.
Если для каз>сдого о = 1,... > >У существует линейная функция Г„(Х) на 1 такая, что Г„(Х„) = 1 и Г„(Хр) = О при р у'= а, то векторы Х,„линейно независимы. Зададим для каждого 1 = 1,..., и линейную функцию 1,(х) на Л такую, что 2",(е,) = 1 и )>(е>) = О при у ~ 1. Так как векторы еы..., е„образуют базис в Л, то такая функция существует и единственна.
Положим ~, (х,у) = )';(х))>(у)., >, > = 1,...,п. Функция )> (х,у) является билинейной формой на Л; значит, согласно п.2 ей соответствует линейная функция Гу(Х) на Л З Л такая, что Г ( З у) = Л(х)Л (у) 298 НОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ ~Г.!я. !ъ Убедимся, что эта линейная функция Р!. (Х) равна 1 на е, З ет и равна 0 на остальных векторах е; З ее. В самом деле, го. (,е, З е ) = Це, ) ~!(Еу), и наше утверждение сразу следует из определения функций 1!(х) и Л1х) В силу леммы этим доказано, что векторы е! З е линейно независимы.
Так как! с другой стороны, по ним раскладывается любой вектор в ЛЗЛ, то векторы е; Зе, образуют базис в Л З Л. Таким образом, размерность Л З Л равна числу векторов е, З ем т. е. равна п~. 4. Тензорное произведение Лт 8 ... К Л„,. Определяя тензорное произведение Л З Л, мы фактически нигде не пользовались тем, что векторы х и у в произведении х З у берутся из одного и того же пространства. Поэтому, повторяя дословно определения п. 1, можно определить также тензорное произведение Л! ЗЛИ двух различных пространств Л! и Лз. Если е!,...,е,„базис в Л!, а !"!,... ! )'„базис в Леч то базисом в Л! З Л служат тп векторов е; З Д 1г=1,...,т;у =1,...,п). Отметим, что пространства Л! З Лз и Лз З Л! различны по определению.
Аналогично определяется тензорное произведение любого числа линейных пространств. Так, например, элементами тензорного произведения Л! ЗЛИ ЗЛА являются формальные суммы (4) х! З у! З я! + ... + хя З уя З яь, где х; элементы из Л!, у; элементы из Лз и я! элементы из Лз. Операции сложения и умножения на число определяются так же, как и в случае двух сомножителей.
Читателю предлагается установить, .какие выражения вида (4) при этом следует считать равными. '! 25) 299 ткнзогнок нгои;3вклкник Тензорное произведение т линейных пространств т Л!,...., Л часто обозначают так: 8 В,. В случае, кою —.— ! гда все сомножители Л! совпадая>т с одним и тем же пространством В, их тензорное произведение называется ш-й тензорной степенью и обозначается так: !3 Л.
5. Связь между тензорами и элементами тензорных произведений. Мы покажем, что любой тензор в пространстве Л можно рассматривать как элемент некоторого тензорного произведения. Сначала убедимся в этом для тензоров ранга 2, дважды ковариантных. Согласно 924, п.З, тензор ранга 2, дважды ковариантный, задается билинейной формой на В. Но мы уже знаем, что между билинейными формами на В и линейными функциями на Л З Л имеется естественное взаимно однозначное линейное соответствие.
Значит, в силу этого соответствия любой тензор ранга 2, дважды ковариантный, можно рассматривать как линейную функцию на Л З В, т. е. как элемент сопряженного пространства (В З В). С другой стороны,мы установим сейчас естественный изоморфизм (В З Л)' = В' З Л'. В силу этого изоморфизма любой тензор ранга 2, дважды ковариантный, можно рассматривать как элемент из тензорного произведения В' З Л'. Построим изоморфизм (ЛЗЛ)' = В'ЗЛ'. Пусть г' Е Е Л' З Л', т.е. Р = ~'Зд'+... +~'Зд', где у',д' линейные функции на Л. Мы должны сопоставить Р элемент из (Л З Л)', т. е. линейнук! функцию Г(Х) на Л З В. Определим эту функцию по формулам Л!х З д) =.1'"!х)д"!д) + "+ 1'(х)д''!х): Г(х! З у!+...+хь З уь) = г (х! З у!)+...+г (хь З уь).
1гл. 1У понятие о твнзоглх Читателю предлагается убедиться, что эти формулы действительно определяют линейную функцию на ЛЗЛ и что построенное соответствие -. изоморфизм. Рассмотрим теперь тензоры ранга 2, дважды контравариантные. Каждый из них задается билинейной формой на Л'. Но между билинейными формами на Л' и линейными функциями на Л' З Л' имеется естественное взаимно однозначное линейное соответствие. Значит, тензоры ранга 2, дважды контравариантные, можно рассматривать как элементы пространства (Л З Л ) =ЛЗЛ. Перейдем к общему случаю. Рассмотрим тензоры ранга р + д, р раз ковариантные и д раз контравариантные.
Из 123, и. 3, мы знаем, что им одиозна~но отвечают полилинейные функции Цх, д,...; у, д,... ) от р векторов х, у,... из Л и д векторов 1, д,... из Л'. Подобно тому, как это делалось в п.2 для билинейных форм, можно установить естественное взаимно однозначное линейное соответствие между такими полилинейными функциями Цх,у,...; ),д,...
) и линейными функциями на тензорном произведении ЛЗ...ЗЛЗЛ З...ЗЛ. р раз д раз Именно, ссии Е(Х) линейная функция на тснзорном произя' ... я я' ... я' '..й * *-. ° .и, сл функция 1(х,д,...; у, д,... ) от р векторов из В и д векторов из Й': 1(х,д,...;у,д,...) = с(хядЗ... я~'идее...). (б) Обратно, если задана полилинейная функция 1(х,д,...: у,д,...
), те сущЕствуЕт (и притом единственная) линейная функция на я ... л л' ... Й Р я' а я~з юшал соотношению (5). (Доказать.) э' 25~ ткнзорнок пронзнклвннк Значит, тензоры ранга р+ о, р раз ковариантные и о раз контравариантные, можно рассматривать как линейные функции на Л З... З ЛЗ1т З...
З Л~, т.е, как р раэ а раэ элементы из сопряженного пространства р Раэ д раэ =Л З...ЗЛ ЗЛЗ...ЗЛ. р раэ д раэ 6. Тензорное произведение линейных преобразований. Мы научились по каждой паре линейных пространств Лм Лз строить новое линейное пространство — - их тензорное произведение Л1 З Лз. Однако этим задача не заканчивается. Можно еще по линейным преобразованиям в каждом из пространств Ла, Л2 построить линейное преобразование в их тензорном произведении. Итак, пусть заданы линейное преобразование А пространства Л1 в Л1 и линейное преобразование В пространства Лз в Лз *). Мы построим по ним линейное преобразование пространства Л1 З Лэ в Л1 З Лз,которое будем называть тензорным произведением преобразований А и В и обозначать через А З В.
Рассмотрим тензорное произведение Л1 З Лз пространств Л1 и Лз. Напомним, что элементами Л1 З Лз являются формальные суммы л1Зу~+ +ть Зрь где и; Е Йм у, Е Йз, г = 1,..., к. Тензорным произведением АЗ В линейного преобразования А пространства Л1 в Л1 и линейного преобразования В пространства Лз в Лз называется линейное Иногда это записывают так: А: Л~ — э Лэ и В: йэ — э Да. (гл. Рк 302 ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ преобразование С пространства Л! ЗЛо в Л1ЗЛз, опре- деляемое следующим образом: С(и!ЗР!+...е:аьЗ1й) = = !Ах!) З !Ву!) +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
