1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 43
Текст из файла (страница 43)
9. Внешняя степень /~ Я. Теперь дадим определение внешней степени /~В пространства Л для проипвольт ного ш. Рассмотрим ш-ю тензорную степень ® Л. На'са помним, что элементами пространства ЗЛ являются формальные суммы выражений вида (8) Х1 ЗХ2 З. ° ° З Хсп; где х; Е 11', причем некоторые из таких сумм считаются равными между собой. Нриравняем дополнительно нулю все выражения вида (8), у которых совпадают хотя бы два сомножителя, а также любые их линейные комбинации. То линейное пространство, которое при этом (гл. ся 308 понятие о теязоелх получается, называется внешней т-й степенью прост; т ранства Л и обозначается через /1 Л. Выражение х! З хз ®... З х„„рассматриваемое как ув элемент из /1Л, называется внешним произведением векторов х!,..., хю и обозначается х! ЛхзЛ...Лхю.
Нетрудно убедиться (подобно тому, как это уже делалось для случая двух сомножителей), что внеи!нее произведение векторов антисимметрично, т. е. оно меняет знак при перестановке любых двух сомножителей. Среди внешних степеней пространства Л имеется лишь конечное число отличных от нуля.
Именно, покажем, что /1Л = О при т ) п, где т! -размерность Л. Для этого зададим базис е!,...,е„в пространстве Л. Разлагая векторы из Л по элементам базиса, мы убеждаемся, что любое внешнее произведение х! Л... Л х т а значит, и любой элемент из /1 Л, является линейной комбинацией выражений е„Л... Л еь Но если т > и, то в каждом выражении е,, Л...
Л е, совпадают хотя бы два сомножителя; значит, всегда еб Л... Л е;„, = О. Итак, ДЛ=Оприт >и. Покажем также, что пространство /1 Л, где и размерность Л, является одномерным пространством. В самом деле, среди элементов еп Л... Л е! отличны от нуля только те, у которых индексы ! !,..., еп попарно различны и, значит, являются перестановками индексов 1,..., и. Так как внешнее произведение векторов антисимметрично, то такие отличные от нуля элементы совпадают, .с точностью до знака, с элементом е! Л... Л е„.
Поскольку любой элемент из /1 Л является линейной комбинацией векторов е;, Л ... Л е,„, то тем самым он кратен вектору е! Л... Л е„. 1 25) ткнзогнок нгоизнвдннив У п р а ж н е н и я. 1. Пусть еы..., е„— базис в Н и е', апе, — любые и векторов из Н. Доказать, что е', Л ... э=1 ... Л е'„= ае1 Л... Л еч, где а опреде,литезь матрицы ()аб)!. 2.
Пусть еы..., е„базис в Л. Доказать, что выражения е„Л... Л е,, где 1! < 1з « ... 1„„образуют базис в 11 Л. Па основании этого вычислить размерность пространства /~ й. 3 а д а ч а. Дать (по аналогии со случаем т = 2) определение т-й симметрической степени о'в(Л) пространства Л для любого га. 10. Тензорное произведение евклидовых пространств. Пусть Л! евклидово пространство со скалярным произведением (х,х')1, Л2 -"- другое евклидово пространство со скалярным произведением (у, у')2. Тогда в их тензорном произведении В! З Л2 можно естественным образом ввести скалярное произведение.
Сначала определим его для пары векторов х З у и х~ З д~, полагая (*З у,х' З у') = (х,х')1. (У,у')2. Если теперь х1 ® у1 + + хя З ул~ Х' = х'! З и1 +... + х! З У! произвольные векторы из Л! З Ля, то положим; 1. (Х, Х') = ~~!,'г (х, З У1, т' З у',,). (9) 1=1 1=1 Читателю предлагается убедиться, что выражение (9) действительно задает скалярное произведение на Л1 З Л2. Именно, оно имеет смысл на Л! З Л2 (т. е. сохраняется при замене выражений Х и Х' на равные) и удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. (ГЛ. 1Р ЗТО ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ Пространство Л1 З Л2 с введенным в нем так скалярным произведением называется пгензорным произведением евклидовыв прострвнсп1в Л1 и Л2.
Заметим, что если е1 г..., еги ортонормированный базис в .Л1, а 1м..., ~„— ортонормированный базис в Л2, то векторы е; 8 Д образуют ортонормированый базис в тензорном произведении Л1 З Л2. В самом деле, (Вг З Дг РЯ 8 УР) = (Егг Егг)!УУг,~у)2 ° Значит, это выражение равно 1 при г = г', 2' = у' и равно нулю во всех остальных случаях.
ДОБАВЛЕНИЕ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Точное вычисление собственных значений и соб- ственных векторов самосопряженного линейного преобразования часто наталкивается на значительные вычислительные трудности. Одним из распространенных методов приближенного вычисления собственных значений в квантовой механике и во многих задачах теории колебаний является так называемый метод возмущений. Этот метод, применимый к линейным преобразованиям как в вещественном, так и в комплексном пространстве, грубо говоря, состоит в следующем: пусть известны собственные значения и собственные векторы некоторого самосопряженного линейного преобразования А.
Рассмотрим преобразование А + сВ, где В---- произвольное самосопряженное преобразование. Тогда собственные значения А+ еВ суть функции от е. Можно показать, что при е — + 0 собственные значения и векторы А+ еВ стремятся к собственным значениям и векторам А. Задача состоит в нахождении юпоправок> к собственным значениям и векторам при замене преобразования А на А+ еВ.
~ 1. Случай некратных собственных значений Пусть А имеет различные собственные значения Л1~ Лз~... ~ Лд~ и пусгь ем е2~... ~ ев соответствующие 312 довавленик им нормированные собственные векторы. Пусть, далее, В какое-либо другое самосопряженное линейное преобразование.
Собственные значения преобразования А + еВ обозначим через Л1(е),Л2(е),...,Л„(е), а соответствующие собственные векторы через е1(е), е2(е),..., е„(е). Можно доказать, что Ль(е) и еь(е) являются непрерывными и дифференцируемыми функциями от е, причем Ля(0) = Лю а еь(0) = ею Представим зти функции в виде Л -( ) = Л„+ еЛь ) +... еь(е) = еи + ее +...
*) 00 и будем сначала искать Ль и е, т. е. лглавную частьа (1) (1) поправки к ея = еь(0) и Ль = Ля(0). Мы имеем (А+ еВ)еь(е) = Ля(е)ея(е), т. е. (А+еВ)(ее+ее( ~+... ) = (Ля+еЛ( ~+... )(еь+еее ~+... ). Сравним члены первой степени относительно е в обеих частях равенства.
Мы получим Ае ~ + Вел = Лье„+ Л„~еь. Умножим обе части (1) скалярно на еь: (Ае ~,еь) + (Вел,еь) = Ля(е.,ея) + Л (еюеа). Так как, в силу самосопряженности преобразования А, (Ае~~ ~,еь) = (е( ~, Ась) = Ль(еь( ~,еь), Многоточие здесь и дальнейшем означает, что отброшено слагаемое порядка вьппе первого по сравнению с е. Мы не пишем вместо многоточия о(е), чтобы не загромождать изложения. 3 Ц слхчлй ннкглтных совстввнных знлчнний 313 то (Вен,. еь) = Л( )(еь, еь) = Л( ). Отсюда поэтому (В (Веы е,) ей е' = Л Л,.
й г (3) (О Совокупность этих равенств и определяет вектор е( Запишем формулы (2) и (3) в координатной форме. Для этого удобнее всего выбрать в качестве базиса собственные векторы еы..., еь иневозмущенногов преобразования А. Матрицу преобразования В в этом базисе обозна тим через 6,1, т.е. Ве,. = ~„б;лел и, следовательно, (Вез,е,) = бп. (В Координаты вектора е„--главного члена «поправки» обозначим через С»,..., сь....., ~~, т е е = с1е1+... + ь„ев (О (4) и, значит, Л( = (Веь, ев), (2) и первая половина нашей задачи таким образом решена. Вычислим теперь главный член поправки к собственному вектору еь(е), т.е.
е~ . Для этого умножим скалярно обе части равенства (1) на е;, где г ~'= к. Так как векторы еь и е; ортогональны, т. е. (еВ, е,,) = 0 при г ф к, то мы получим (Ае( ~, е,) + (Вев, е;) = Ль(е( ), е;). Но, аналогично предыдущему, мы имеем (Аеь, е,,) = (еь, Аег) = Лг(еь, ег) (В (О (В ДОБАВЛЕНИЕ Формулы (2) и (3) приобретут вид л =ь (1) Ь1ь Ль — Л,,' (2') (3') Сам вектор еь определяется числами ~, = (еь,е;) по М,, Ж формуле (4). У нас осталась неопределенной я-я координата ~ы Она определяется из условия нормировки собственного вектора, т. е.
из усчовия, чтобы длина векто- (1) ра еь+ ееь +... была равна единице. Мы имеем (еь + ее~~ ) +..., еь + ееь( ) +... ) = 1, т. е. (еь, еь) + е((еь ), еь) + (еь, е~~ )')+... = 1. Сравнивая члены при первых степенях е, имеем (е„, еь) + (еы е ) = О. этому условию можно удовле- )1) 11) творить, полагая *) ~ь = (е,еь) = О. Ж (5) Окончательно имеем л„= ь (1) л,-л,": 1=1 вил (и) Гдв Ьсе = (ВЕЬ, Е;), а ЛЬ СОбСтВЕННЫЕ ЗНаЧЕНИя ЕНЕВОЗ- мущенногоа преобразования А.
В комплексном случае, (е,, еь) -~- (еь, е ) = 2 Ке(еь, еь), и 111 111 О1 мы могли бы считать (е„, еь) ие только нулем, но и произвольО1 ным чисто мнимым числом. Это связано с тем, что нормировка собственного вектора определяет его в комплексном случае с точностью до множителя, по модулю равного единице. 3 1) слУчАЙ нккРА')'ных совствннных знлчвниЙ 315 Для получения формул (1) и (П) мы выбрали базис, состоящий из собственных векторов преобразования А. При произвольном базисе формулы (2) и (3) также определяют Л„и е„. Чтобы (1) (1) по.)учить формулы, аналогичные (1) и (П) в произвольном ортогональном базисе, надо знать только координаты векторов еь и матрицу преобразования В в этом базисе. Пусть матрица В есть (((зе,)), а е( = (с( ),...,с( )).
Тогда из (2) получаем Л) = 2 11е сее с,~, (е) (а) а из (3) получаем систему уравнений длл определения координат (1,...,(„вектора е„ (1) (1с) +(зс1 +...+( с, ,() () 2. )Зе с,' с ( ) (а) е, Ла — Л, (1 = 1, 2,..., й — 1, й -Р 1,..., и) . Недостающее уравнение снова получаем из условия (5) нормиров- ки вектора е)(е): ()с, -)- (1сз -Р ... + ( с„ = О. н) м) н) Найдем теперь собственные значения во втором приближении, т. е. с точностью до членов порядка с2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
