1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 42
Текст из файла (страница 42)
+ (Ать) З (Врь) *). Более общо, если имеются два линейных пространства Л1, о'!, .два других линейных пространства Лз, Вз и линейные преобразования А: Л! — Р В! и В: Ло — Р Вз, то можно аналогично определить линейное преобразование АЗ В: Л! ЗЛŠ— ~ В! З Вз. Отметим, что каждому линейному преобразованию А пространства Л! естественным образом отвечает линейное преобразование пространства Л! З Лз, а именно А З 1, где 1 единичное преобразование; аналогично каждому линейному преобразованию В пространства Лз можно поставить в соответствие линейное преобразование 1 З В пространства Л! З Лз.
Установим, как выражается матрица линейного преобразования С = А З В через матрицы преобразований А и В. Зададим базис е1,..., Е,„в пространстве Л! и базис 1м..., 1в в пространстве Лз. Тогда векторы е; З 1 образуют базис в тензорном произведении Л! З Лз. Пусть А = ((а!1(( матрица преобразования А в базисе е1,..., Ет, 'В матрица преОбразования В В базисе 11,...,1п, т.е. '!и и Ась = Ха,ье„В1! = У ау!1г г=! 1=! Тогда С = А З В преобразует базисные векторы еь З 1! Легко проверить, что определение корректно, т. е. равные выражения преобразуются в равные. 8 2 ос) зоз ткнзоенок пеонзнкдкннк по следующей формуле: т и, С(еь Зд1) = (Аеу) З (В)1) = ~ ~~» а»уЬ11(еь ЗЯ. »=1 1=1 Таким образом, матрица линейного преобразования С есть матрица С = ))с;з у1'О порядка пт, строки и столбцы которой занумерованы парами индексов (г, д)» г = 1,...,т; з = 1,..., и, При этом спрн = аеу(»,1.
Такая матрица С называется кронекероескнм произеедением матриц А и .В. У п р а ж н е н и е. Доказать, что определитель кронекеровского произведения матриц А и В равен произведению определителей матриц А н В. 7. Понятие функтора. В этой главе мы рассмотрели несколько типов операций над линейными пространствами,как,например, операции перехода к сопрлженному пространству или тензорное умножение. Дадим общее определение таких операций. Мы говорим, что задан ковариантньгй функтор (или более. подробно, ковариантный функтор в категории линейных пров»пранств *)), если задано правило, сопоставллющее каждому линейному простра»»стоу й некоторое ~инейное просп»ране»пво Г(Я) и каждому линейному преобразованию А: Вь — » Вз некоторое линейное преобразование Г(А) проел»раиства Г(Вл) в Г(П») (в наших обозначениях, Г(А): Г(Н») — > Г(Гог)) При з»пом предполагаютел вьтолненнь»ми следующие условия: 1) если 1 единичное преобразование в В, то Г(Ц единичное преобразование в пространстве Г(В); 2) если А: В» — л Яз и В: Лз — л Яз два линейных преобразования.
то Г(ВА) = Г(В)Г(А). Примером ковариантного функтора является тензорное умножение. Иь»евно, пусть Я фиксированное пространство. Отнесем каждому линейному пространству П пространство Г(й) = Л З Я и каждому линейному преобразованию А: П» — ь Вг линейное Понятие функтора можно ввести для произвольной категории. Общие определения категории и функтора см., например, в книге: С. Л е н г, Алгебра, »уиир», 19бз. (гл. !у зол понятие о тензоелх преобразование Г(А) = А З 1 пространства Л! З Я в Л! З Я. Нетрудно проверить, что при этом свойства 1) и 2) выполняются; таким образом, à — ковариантный функтор. Аналогично опрвделяе гся контравариантный функтор.
Мы говорим, что задан контраварипнтный 4унктор Г,. если задано правило, сопоставляю!иее каждому линейному пространству Л некоторое лпнейное пространство Г(Л) и каждому линейному преобразованлпо А: Л! — г Лз некоторое линейное преобразооание Г(А): Г(Л!) — г Г(Л!). Пр!с этол предполаеаетсл выполненными условие 1) и услооие 2') если А: Л! †! Лз и В: Л! †! Лв доа линейных преобразования, то Г(ВА) = Г(А)Г(В). Примером контравариантного функтора является операция перехода к сопряженным пространствам. Именно, отнесем каждому линейному пространству Л, сопряженное ему пространство Г(Л) = Л' и каждому линейному преобразованию А: Л! — ! Л! сопряженное преобразование Г(А) = А'.
Нетрудно проверить (см. п. 2 Э 23), что при этом свойства 1) и 2') выполняются; таким образом, à — - контравариантный функтор. 3 ад ач а. Пусть 5 -- фиксированное линейное пространство. Обозначим через Ноп!(Л, Я) пространство всех линейных преобразований А: Л вЂ” > Я. Для любого линейного пространства Л положим Е (Л) = Нот(Л, 5). Мы определили, таким образом, операцию Г на множестве линейных пространств. Требуется определить Г также на множестве линейных преобразований таким образом, чтобы Г стало контравариантным функтором. 8. Симметрическая и внешняя степени. Наряду с тензорным произведением ВЗВ полезно также рассматривать симметрическую степень и внешнюю степень пространства В; особенно важным понятием является внешняя степень. Эти пространства строятся аналогично тензорному произведению.
Начнем с определения симметрического квадрата Я~(В). Напомним, что элементами пространства В З В являются выражения х1 З у! + + хь З уы В 25) 305 ТКНЗОРНОК НРОИЗВКДКНИК где х„у, элементы из ть'. При этом предполагается, что 1) (х1+ т2) З у — х, З у — х2 З у = О; 2) х З (у1 + уз) — х З у1 — х З у2 = О: 3) (Лх) З у — х З (Лу) = О. Элементы х Зу и у З х в ть'З ть' являются при у ~= х, по определению, различными. Однако иногда удобно ввести пространство, в котором х Зу = уЗх. Для этого дополним условия 1)-.3) следук1щим: 4) хЗу — уЗх=О.
Приравняем также нулю и все линейные комбинации выражений 1), 2), 3) и 4). Два выражения Х и Х' вида (б) будем теперь считать равными, если для них существуют такие выражения Я = О и Я~ = О., что Х + Я и Х' + Я' совпадают. В результате мы получим линейное пространство., элементы которого---классы равных между собой выражений вида (6), а операции сложения и умножения на число определены, как и для тензорного произведения Л З Л, по формулам (2) и (3).
(Читателю предлагается убедиться в корректности определений этих операций и в том, что все аксиомы линейного пространства здесь выполнены.) Это пространство называется симмегприческим кеа0раптом пространстпеа Л и обозначается через б2(Д).
У и р а ж н е н и е. Доказать, что размерность з'~(11) равна и'1п -~- О , где п - размерность Л. 2 Другим важным понятием является внешний квадрат ть. Чтобы это пространство построить, дополним условия 1), 2) и 3) следующим условием: 4/) х З х = О. (гл. Рн Збб понятие о тензоРАх После этого мы определим равенство двух выражений вида (6) подобно тому, как это уже делалось для тензорного произведения Л З Л и для симметрического квадрата о'~(гь). Получаемое линейное пространство, элементы которого классы равных между собой выражений вида (6), называется внешним ква!)рап!ом пространства Л и обозна !ается через Л Л Л (по-другому, г Лл) Л е м м а 2. В пространстве В Л гс имеет, место равенство (7) хЗу+уЗх=(). В самом деле, имеем: хЗу+уЗТ = (х+у) З(х+у) — хЗх — уЗу.
Таким образом, выражение х З у + у З х является линейной комбинацией выражений вида 4'), и, значит, оно равно нулю. Выражение х З у, рассматриваемое как элемент из В Л Л, называют внешним произведением векторов х и у и обозначают так; х Л у. Равенство (7) означает, что внешнее произведение векторов антисимметрично: х Л у = — у Л х. Покажем, что оэ(Л) и Л Л Л можно определить и как подпространства в Л, З Л; точнее, в Л З Л имеются подпространства, естественным образом изоморфные Лэ(Л) и Л Л Л. Для этого зададим в пространстве Л З Л линейное преобразование о, определяемое по формуле о(х! Зу! -Р...-ьхьЗу!) =у! Зх! -Р...-ьуьЗхы Очевидно, что его квадрат есть единичное преобразование: сгз = 1. Рассмотрим два подпространства в ЛЗ Л вЂ” подпространство Н! элементов Х, для которых пХ = Х и подпространство Нг элементов Х, для которых аХ = — Х.
Эти надпространства имеют нулевое пересечение, так как из условий оХ = Х и оХ = — Х следует, что Х = О. Покажем, что их прямая сумма есть все 2 25) ТКНЗОРНОК ИРОИ,'3ВКДКНИК пространство В З Л. В самом деле, представим любой элемент Х из В З В в виде суммы Х = Х1 -1- Хм где Х1 = — (Х -~- оХ) 1 2 и Хе = — (Х вЂ” пХ). Очевидно, что оХ1 = Хм т.е. Х~ е Нь и 1 2 оХз = — Хз, т. е. Ле Е Нь Покажем теперь, что при естественном отображении ЛЗВ на 5 (В) в нуль переходят все элементы из Нм и притом только они.
В самом деле, пусть Х Е В З В переходит при этом отображении в нуль; тогда Х равно линейной комбинации выражений вида 4), т. е. выражений ХЗу — уЗХ; следовательно, ТХ = — Х, т. е. Х Е Нь Обратно, пусть Х Е Нм т.е. пХ = — Х; тогда Х = — (Х вЂ” пХ); 2 следовательно, Х равно линейной комбинации выражений вида 4) и, значит, переходит в нуль при отображении Л З Л на Лз(Л). Поскольку В З Л является прямой суммой Н1 и Нз, то этим доказано, что при отображении ВЗ В на зз(Л) подпространство Н1 изоморфно отображается на Я (Л).
Итак, мы установили изоморфизм между Я~(В) и подпространством Н1 С Л З Л элементов Х, для которых аХ = Х. Аналогично устанавливается изоморфизм между Л Л Л и подпространством Не С В З В элементов Л, для которых еХ = — Х. У п р а ж н е н и е, Пусть ем, е„- — базис в Л. Доказать, что элементы е, А ее, где 1 ( 1, образуют базис в Л А В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
