1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

(гл. Ня 268 понятие о тензоРАх Обозначая через «1, «'2,..., «" базис, взаимный с базисом е1! е2!..., ен! а чеРез «'1, «'2!, .., «Ра базис, взаимный с базисом е', е12,..., е'„, найдем матрицу ((11ь(( перехода от базиса «' к базису «". Найдем сначала обратную ей матрицу ((ил(( перехода От «'! «12, «'и К «! «2 «ь ь«п Для этого вычислим двумя способами выражение («~, е1): («",е,) = («~,с, е ) = с! («~,е ) = с~, («~,е',) = (и~«",е',) = и,. Отсюда имеем с! = и1, т.е. матрица ((и1(( является транспонированной *) к матрице перехода (6). Следовательно, матрица перехода «'~ = Ь,"«' О «1 «2 ".и «11 «12 «(и В Е транспонированной к матрице, обратной матрице ((С6 (( ПЕрЕХОда От Е1! Е2,..., Е„К Е1„Е!,...

! Ен. Выясним теперь, как преобразуются координаты векторов в Л и в Л'. Пусть (! координаты вектора х е В в базисе е1, еа,...,е„и С" --его координаты в новом базисе е11, е12,..., е Тогда («', Х) = («, С, Е! + ~ Е2 +... + ("Еп) = (' и («'!х) =!«', с е1+~ е2+...+~ е„) =~1. мы говорим, что матрица ((и1(( является трансцонироваиной к матрице перехода (6), так как суммирование в (6') производится по другому индексу. 2 23) соагяжкннок (двойственнов) пеостглнство 269 Поэтому 1н = (У", и) = А1', х) = ЬИ', х) = ЬЫ' Итак, ~гг Ьг ~ь (8) т. е координаты векторов в Л преобразуя>тся по тем же формулам, что и векторы взаимного базиса в Л'. Аналогично, координаты векторов в Л' преобразуются по тем же формулам, что и векторы взаимного базиса в Л, т.е.

у, = с,г2,. г,й Мы можем таким образом, сформулировать следующее правило: при переходе от старой системы координапг к новой объекты, имеготие нижний индекс, преобразуются мапгрицей 9с~"'9, объекты, имекггцие верхний индекс, преобразуются лгвтрицей 9Ь, '9', обратной к 9с, '9. Тот факт, что матрица 9Ьь9 является обратной к матрице 9с '9, выражается соотношениями сиЬг = бзг г а 5. Пространство, сопряженное к евклидову.

Ограничимся для простоты евклидовым пространством над полем действительных чисел. Л е м м а. Пусть Л есть и-мерное евклидова пространство. Тозда каждгую линейную функцию в нем можно записать в виде где у фиксированный вектор,. однозначно определяемый линейной функцией з. Обратно, калсдыгг вектор у определяет линейную функцию )'(гс) = (х, у). Доказательство. Выберем в Л нокоторый ортогональный нормированный базис ем е2,..., е„. (гл. и 270 понятие о тензоРАх Линейная функция 1" (х) в этом базисе может быть записана в виде 1(х) = а!» + а2» +...

+ ао»"'. ВвеДем вектоР У с кооРДинатами а!,а2,...,ао. Так как базис е7, е2,..., еп --. ортогональный, то (х, у) = а!» + а2» +... + а„»". Мы доказали, таким образом, существование такого вектора у, что для любого х имеет место равенство 1(х) = (х,у). Докажем теперь, что такой вектор определяется однозначно. Пусть 1(*) = (х, У!) 1(*) = (*, У2). Тогда (т,,у!) = (х,у2)., т. е.

(х, у! — уа) = О для любого х. Следовательно, у! — у2 = О. Однозначность доказана. Таким образом, в случае евклидова пространства мы можем каждый элемент 1" из 1~' заменить соответствующим элементом у из В и при этом вместо (1, х) писать (у,х). Так как при одновременном изучении пространства и сопряженноео пространства мы употребляем лии!ь обычные для векторов операции и операцию (1, х), связывающую элементы 1 Е 1т' и х Е Й, то мь! можем в случае евклидова пространства заменить 1 на, у, 1ь' на 1ь и (1!х) на (у,х), т.е. отождествить евклидова пространство с сопряженным к нему пространством Л' "). Это выражают иногда и так: в евклидовом Коли Л.—.

аффинное и-мерное пространство, то Л также и-мерно и, следовательно, Л и Л иаоморфны. Но если бы мы ото- е 23) сОИРяжкннОЕ (дВОЙстВенное) нРОстРАнстВО 271 пространстве можно заменить ковариантные векторы контравариантными. При таком отождествлении пространства Л и сопряженного к нему пространства Л' понятие ортогональности векторов и е Л и 7 е Л', введенное в пункте 2, переходит в обычное для евклидова пространства понятие ортогональности двух векторов из Л. Пусть е!г ее, ..,, е„— -произвольный базис в Л, а 7'!, взаимный с ним (биортогональный) базис в Л'. Так как в случае евклидова пространства Л и Л' отождествлены, то мы можем считать векторы биортогонального к е, базиса 7Я также векторами из Л. Выясним, как нам найти в этом случае по базису е!, езг .., г ев базис !'~г 7'~.....

г !'". Выразим сначала е, через у т Р, =дгЬУ . ь Нам нужно найти коэффициенты д;я. Для этого умножим скалярно обе части равенства на еа: (е„е ) = д!В(~, е ). Так какг в силу взаимности (биортогональности) базисов 7'~ и еа, (у,е )=б, то (!'г ° еа) = дгтьга = дга )г Итак, если базис 7'~ биортогонален к базису е;, то (10) ег = дгЬУ к. где матрица д!ь вычисляется по формуле дгь = (е,;, еь).

ждествили тг и В,', иам врвпыось бы вместо (1, и) писать (р, т), гдо у, и Е тг, т. е. мы тем самым ввели бы в Л, скалвриое произведоиие. (гл. ьи 272 понятие о тензоРАх Отсюда, разрешив соотношение (10) относительно 7!! имеем: 7'! = д' еу„, (11) где д!~ матрица., обратная к доо т, е. Упражнение.

Показать, что д*я = (7' 1ь) 2 24. Тензоры 1. Полилинейные функции. В первой главе мы изучили линейные и билинейные функции в и-мерном аффинном пространстве. Их естественным обобщением являются полилинейные функции, зависящие от произвольного числа векторов. При этом мы будем рассматривать функции, зависящие как от векторов из Л, так и от векторов из Л'.

Определение 1. Полилинейной функиией ((х,у,"',У,д," )! завися~цей от р вектпоров х,у,... Е Л и, д векторов 1,д,... Е Л' (Л' пространство, сопряженное к Л), называется функиия, линейная относительно казкдого из аргументов, когда оси!альные аргументы фиксированы. Например, если зафиксированы все векторы, кроме первого,то !(х + хв, у,...; 7', д,...

) = =Ф',у, ";1,д, )+((х",!д,".;,1,д, ), !(Лх,у,...;Х,д,...) = Л!(х!у,...:~,д,...). 1 24) 273 тянзоеы Аналогично 1(х:у, ";1'+1":у, ") = = Цх,у,...; ~,у,...)+1(х,у,...;~',д,...), 1(х,у:";И,у:" ) =р1(х,у, ";1,у, ") То же самое и для других аргументов. Полилинейную функцию, зависящую от р векторов из Л (контравариантных векторов) и о векторов из Л' (ковариантных векторов) мы будем называть нолцлпнейной функцией типа (р,й).

Рассмотрим некоторые полилинейныс функции. Простейшие полилинейные функции.--это функции типа (1., 0) и типа (О., 1). Полилинейная функция типа (1, 0) —..это линейная функция от одного вектора в пространстве Л, т. е, вектор пространства Л (ковариантный вектор). Аналогично, как это было показано в п. 3 предыдущего параграфа, полилинейная функция типа (О, 1) задает вектор из Л (контравариантный вектор). Полилинейные функции, зависящие от двух векторов (билинейные функции), бывают трех типов: а) функции, зависящие от двух векторов из пространства Л, это введенные в 24 билинейные функции в пространстве Л; 11) функции, зависящие от двух векторов в пространстве Л', — — это билинейные функции в Л'; 1) функции, зависящие от одного вектора из Л и одного вектора из Л'. Функции третьего типа тесно связаны с линейными преобразованиями.

Действительно, пусть у = Ах линейное преобразование в Л. Построим билинейную (гл. Рк 274 понятие о тензогах функцию (1, Ах)., линейно зависящую от векторов х б Л и 7 е Л . Мы можем, таким образом, каждому линейному преобразованию в Л однозначно сопоставить билинейную функцию типа .у. Как и в 211 главы 11, можно доказать и обратное, т.е. что каждой билинейной функции типа 7 отвечает линейное преобразование в Й. 2. Выражения для полилинейной функции в данной системе координат.

Переход от одной системы координат к другой. Выясним, как выражается полилинейная функция через координаты тех векторов, от которых она зависит. Для того чтобы не писать слишком длинных формул, проведем рассмотрение на случае полилинейной функции 1(х,у;1), .зависящей от двух векторов из Л и одного вектора из Л' (функция типа (2, 1)). Выберем в Л некоторый базис е!, е2,, ев, а в Л'- взаимный с ним базис 1" 1, 1'2,...., уп, Пусть Тогда !(х.,у;1) = !(с'е!.,!7'ей.~ь~ ) = ~'ц7!ь!(еое7,7 ). Итак: при заданных в Л и соответственно в Л' базисах е1, ез, ..,, е„и 7'1, 1"2,...,7"и полияинейная функция 1(х, у; 1) записывается в виде 1(х, у; 7) = а! С'717~я, где С!, соответственно !17, соответственно ~ь координаты вектора х, соответственно у, соответственно 7.

Числа а;, определяющие функцию 1(х! у;7), задаются 2 24) 275 твнзогы формулой а,. = 1(ео е; ) ) и зависят, таким образом, от выбора базисов в В и В'. Аналогичная формула имеем место для полилинейной функции общего вида: Ця, р,...; (, д,... ) = а,". '" ~'и~1... л„р,,..., (1) где числа аг'", определяющие полилинейную функцию, вычисляются по формулам (2) а,"'"' = 1(е„е,...: ) ", (',... ). Выясним теперь, как изменяется система чисел., определяющая полилинейную форму, при изменении базиса. Пусть в В задан базис е1,ея..е и в В' взаимный с ним базис у1, г"2,..., г'".

Характеристики

Список файлов лекций