1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Таким образом, мы обратим в нуль все элементы второй строки и второго столбца, кроме диагонального. Полученный диагональный элемент (старший коэффициент которого также считаем равным единице) обозначим Еа(Л). Все элементы ст(Л) делятся на Е1(Л). Поэтому все дальнейшие элементарные преобразования всегда приводят нас к элементам, делящимся на Е1 (Л). В частности, Еа(л) делится на Е~(Л).
Мы пришли, таким образом, к матрице, у которой в первых двух строках и столбцах все элементы, кроме диагональных, равны нулю, а по диагонали стоят Е1(Л) и Еа(Л), причем Е2(Л) делится на Е1 (Л). Мы сможем продолжать этот процесс далее, пока не приведем всю матрицу к диагональному виду. Может, конечно, оказаться, что мы закончим процесс раньше, придя к матрице, состоящей сплошь из нулей. Итак, доказана следующая Т е о р е м а 1. Всякая Л-матрица может быть элементарныма преобразованиями приведена к виду е (л) о о ... о о е (л) о ... о О О Ез(Л) . . О , (4) О О О ... Ь'„(Л) где многочлены Еь(Л), с1аоя1цие по диагонали, имеют старшие коэффициенты, равные единице, много- член Е2(Л) делится на Е1(Л), Ез(Л) делит,ся на Е2(Л),.
246 кАноничнский ния линеЙных ИРКОИРАзонАниЙ ~Гл. Н1 Е41Л) на Ез(Л) и т. д. Этот вид называется нормальной диозональной формой Л-матрицы. Конечно, некоторое число последних многочленов ЕАЯ в матрице 14) может оказаться равным нулю: Е,, (Л)=Е„+ (Л)=...=б. Замечание. Мы привели матрицу А(Л) к нормальному диагональному виду, в котором каждый диагональный элемент делится на предшествующий. Если поставить себе цельн> приведение матрицы к какому- нибудь диагональному виду, отбросив требование делимости, то задача решается проще. Действительно, для того чтобы обратить в нуль все элементы первой строки и первого столбца кроме а44(Л), достаточно, чтобы эти элементы (а не все элементы матрицы) делились на а~1(Л).
Как видно из доказательства леммы, для того чтобы этого достигнуть, требуется гораздо меньшее число элементарных преобразований, чем для приведения к нормальной диагональной форме. Обратив в нуль все элементы первой строки и первого столбца, кроме диагонального, мы можем проделать то же самое с оставшейся матрицей (и — 1)-го порядка и т. д., пока матрица не будет приведена к диагональному виду. Этим путем можно привести матрицу к различным диагональным формам, т. е. диагональная форма не определена однозначно. В следующем пункте этого параграфа мы покажем, что норма.льная диагональная форма данной Л-матрицы определяется уже однозначно. У и р а ж н е н и е. Привести Л-матрицу ( Л Л" ), Л~Ле. к нормальной диагональной Форме.
2 22) Л - з! А т Р и и ы Отие еттт. ( о О (Л вЂ” Л )(Л вЂ” Лт)) ' 2. В этом пункте мы докажем, что нормальная диагональная форма данной матрицы определена однозначно. Для этого мы построим систему многочленов, связанных с данной Л-матрицей, которые не меняются при элементарных преобразованиях и которыми, как мы увидим, нормальная диагональная форма Л-матрицы вполне определяется.
Пусть дана произвольная Л-матрица. Наибольший общий делитель всех миноров й-го порядка данной Л-матрицы обозначим через Рь(Л). Так как наибольший общий делитель определен с точностью до постоянного множителя, то будем считать, что старший коэффициент у Рь)Л) равен единице. В частности, если общий наибольший делитель миноров Й-го порядка равен постоянной, то мы полагаем Рь(Л) = 1.
Докажем, что элементарные преобразования не меняют многочленов Рь'тЛ), т.е. что у эквивалентных Л-матриц многочлены Рь)Л) совпадают. Для элементарных преобразований вида 1', переставлятощих строки или столбцы, это очевидно, так как при них каждый минор й-го порядка либо вовсе не меняетсятлибо меняет знак, либо заменяется другим минором й-го порядка, что, конечно, не меняет общего наибольшего делителя всех таких миноров.
Аналогично, не меняют РА(Л) элементарные преобразования вида 3'т так как при этих преобразованиях миноры самое большее умножаются на постоянное. Рассмотрим теперь элементарное преобразование вида 2', например, прибавим к т-му столбцу )-йт умноженный на тд(Л). При этом минор й-го порядка вовсе не изменится, если он содержит и т-й и )-й столбцы либо если он не содержит ни одного из них. 248 кАноничвский нид линейных НРВОВРАзонАниЙ (гл.
1дд В случае же, если минор содержит г-й столбец и не содержит у-го столбца, то его можно представить как комбинацию двух миноров, которые имелись у исходной матрицы. Таким образом, наибольший общий делитель миноров к-го порядка и в этом случае не изменится. Если все миноры порядка й, а следовательно, и более высоких порядков, матрицы А(Л) равны нулю, то мы будем считать Еь(Л) = ВВ.Р~(Л) = ...
= П„(Л) = О. Заметим, что из совпадения у всех эквивалентных матриц многочленов ТДА(Л) следует, что эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Найдем многочлены Рь(Л) для матрицы, приведенной к нормальной диагональной форме: Е (Л) О ... О О Е2(Л) ... О (6) О О ... Е (Л) Заметим, что у диагональной матрицы отличны от нуля только главные миноры, т. е. миноры, в которые входят строки и столбцы с одинаковыми номерами.
Эти миноры имеют вид Е„(Л)Е,,(Л)... Е„,(Л). Так как Ез(Л) делится на Ед(Л), Ьз(Л) делится на Е2(Л) и т.д., то наибольший общий делитель миноров первого порядка АДд(Л) равен Ед(Л). Так как все многочлены Еь(Л) делятся на Е~(Л), а все многочлены, кроме Ед(Л), делятся на Ьз(Л), то произведение Е,(Л)Е (Л) (г ( у) всегда делится на минор Ед(Л)ЕВ(Л). Таким образом, ТДВ(Л) = Ед(Л)ЕВ(Л). Так как, кроме того, все ЕР(Л), кроме Ед(Л) и Ез(Л), делятся на Ез(Л), го Е.;(Л)Ед(Л)ЕА(Л) (д ( у ( Й) делится на минор Ед(Л)ЕВ(Л)ЕВ(Л) и, следовательно, 08(Л) = Ед(Л)ЕВ(Л)Ез(Л) Таким же образом для матрицы (4) Тдь(Л) = Ед(Л)ЕВ(Л)... Ед(Л) (й = 1,2,...,и).
(6) 249 Л-мятеицы в 22) Очевидно, что если, начиная с некоторого т, Е„ь! (Л) = = Е„ьг(Л) = ... = Е„,(Л) = О, то Р„ь!(Л) = Р„ьэ(Л) = =... =Р„(Л) =О. Отсюда получается, что для Л-матрицы, имеющей нормальную диагональную форму (5), диагональные элементы Еь(Л) вычисляются по формулам Е Л вЂ” Ря(Л) Р,,(Л) ' При этом, если Рг 4!(Л) = ... = Рн(Л) = О., то надо положить Е„4!(Л) =... = Е„(Л) = О. Много !лены Еь(Л) называются пнвариантпными множителями. В 920 мы уже определили их для матриц вида А — ЛЕ.
Т е о р е м а 2. Нормальная диагональная форма данной Л-матрицы А(Л) определяется по ней однозначно. Если Рь(Л) (к = 2., 3,..., г) наиболыаий оби4ий делитель миноров й-го порядка, мапьрицы А(Л), а Р„4!(Л) =... = Ро(Л) = О, то элементы нормальной диагональной формы (5) определячотся, по формулам Еь(Л) = л (к =1,2,...,!.), Рь-!(Л) Г„,! (Л) = Е,. ьг(Л) =... = Е„(Л) = О. Доказательство. Мы показали, что при элементарных преобразованиях многочлены Рь(Л) не меняются.
Поэтому., если матрица А(Л) эквивалентна диагональной нормальной матрице (5), то Рь(Л) у них совпадают. Так как для матрицы (5) мы получили, что Рь(Л) = Е!(Л)... Еь(Л) (к = 1,2!...,г; г < и) и что Р,4.!(Л) = Р„ьг(Л) =... = Р„(Л) = О, то теорема доказана. 250 кАноническиЙ нил линеЙных ИРНОЕРАзонАниЙ (Гл. И1 С л е д с т в ис. Для того чтобы две Л-матрицы А(Л) и В(Л) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы для них совпадали многочлены Р1(Л), Р2(Л),...,Р (Л). Действительно, если многочлены Рь(Л) у А(Л) и В(Л) совпадают, то эти матрицы эквивалентны одной и той же нормальной диагональной Л-матрице и, следовательно, эквивалентны между собой.
3. Назовем Л-матрицу Р(Л) обратимой, если матрица [Р(Л)[ с также есть Л-матрица. Если ПЕС Р(Л) равен постоянной, отличной от нуля, то Р(Л) обратима. Действительно, элементы обратной матрицы равны минорам (п — 1)-го порядка, деленным на РеС Р(Л), т.е. в нашем случае они будут много менами от Л и, значит [Р(Л)] ', будет Л-матрицей.
Обратно, если Р(Л) обратима, то ВЕС Р(Л) = соввС ф О. В самом деле, пусть [Р(Л)) с = Р1 (Л). Тогда ОЕСР(Л) РеСР1(Л) = 1, а произведение двух многочленов может быть тождественно равно единице лишь в том случае., если многочлены суть отличные от нуля постоянные. Таким образом, мы показали, что Л-матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель еслпь постоянная, отличная от нуля. Все обратимые матрицы эквивалентны единичной матрице. В самом деле, определитель обратимой матрицы равен постоянной, отличной от нуля,и значит, Р„(Л) = 1. Так как Р„(Л) делится на Рь(Л), то и Рь(Л) = 1 (й = 1,2,....,п). Поэтому все инвариантные множители ЕЙ(Л) обратимой матрицы равны 1, и нормальная диагональная форма для них будет совпадать с единичной матрицей.
Те о ре ма 3. Для того чтобы Л-матрицы А(Л) и В(Л) бы.ли эквива,лентны между собой, необходимо 2 22) Л-ь!Атгипы 251 и достаточно, чтобы суи!естеоеали обратимые Л-матрицы Р(Л) и Я(Л) такие, что А(Л) = Р(Л) В(Л) Я(Л). (7) Д о к аз а т ел ь с т в о. Докажем сначала, что если матрицы А(Л) и В(Л) эквивалентны, то можно подобрать обратимые матрицы Р(Л) и Ц(Л) так, чтобы выполнялось равенство (7). Для этого заметим, что каждое элементарное преобразование Л-матрицы А(Л) можно осуществить, умножая А(Л) слева или справа на некоторую обратимую Л-матрицу матрицу этого элементарного преобразования. Покажем это для всех трех типов элементарных преобразований.
Пусть дана Л-матрица аы(Л) агэ(Л) ... а!„(Л) а2!(Л) а22(Л) ... а2„(Л) а„г(Л) а„2(Л) ... а„„(Л) Чтобы поменять местами, например, первый и второй столбцы (соответственно строки) этой матрицы, надо умножить А(Л) справа (соответственно слева) на матрицу 010...0 100...0 001...0 000...1 полученную из единичной перестановкой тех же столбцов (или, что все равно, строк). Чтобы умножить второй столбец (соответственно строку) матрицы А(Л) на число о, нужно умножить 252 кАноничнский Вид линейных ИРВОВРАзонАний (Гл. И1 А(Л) справа (соответственно слева) на матрицу 100...0 Оао...о 001...0 000...1 полученную из единичной также умножением на а второго столбца (или, что все равно, второй строки). Наконец, чтобы прибавить к первому столбцу А(л) второй, умноженный на р(Л), надо умножить А(л) справа на матрицу 1 00...0 р(Л) 1 О ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
