1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В общем случае неосторожный выбор базиса может запутать картину. АЕтобы выбрать базис, в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, мы будем тянуть цепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав некоторый базис в подпространстве Л1Р1 и последовательно применяя к векторам этого базиса преобразование А. Введем предварительно некоторые понятия. удобные для дальнейшего.
О и р е д е л е н и е 4. Векторы из пространства ЕЕ называются относительно линейно независимыми над подпространством Е11, если никакая их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит Л1. О 19~ ИРивнлнник к нОРлмлльной ФОРМЕ 219 Заметим, что всякие линейно зависимые векторы из Л относительно линейно зависимы над любым подпространством. Определение 5. Базисом пространства Л относительно подпространсп1ва Л1 называегпся такая система е1,..., еь линейно независимых векторов из Л, которая после пополнения каким-нибудь базисом из Л1 образует базис во всем пространстве. Такой базис легко построить.
Для этого достаточно выбрать какой-нибудь базис в Л1, дополнить его до базиса во всем пространстве и затем отбросить векторы исходного базиса из Л1. ь1исло векторов в таком опгносительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства. Всякую систему относительно линейно независимых векторов над Л1 можно дополнить до относительного базиса. Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпространства Л1. Получится некоторая система векторов из Л, которые, как легко проверить, линейно независимы.
ь1тобы получить относительный базис, нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве Л, а затем отбросить базис подпространства. Итак, пусть преобразование А в пространстве Л имеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности, можно предположить, что оно равно нулю. Рассмотрим снова цепочку (5) подпространств, полученных в п. 1: уЖ д1(Р) д11,РЮ О ''' О О (Ь'1 где подпространство ХО есть ядро преобразования Аь. Так как преобразование А в пространстве Л не имеет отличных от нуля собственных значений,то, 220 кАнони'1еский Вил линеЙных НРеонРАЗОВАний )Гл.
И1 очевидно, Л11Р) совпадает при этом со всем пространством г1. Выберем в максимальном из этих подпространств ЛРН~ базис относительно содержащегося в нем подпро1р-1) странства Л1о~ . Пусть векторы этого базиса будут Е1,...,Ею Очевидно, что это будут присоединенные векторы (р — 1)-го порядка. Мы уже видели (см.
упражнение на стр.211), что АЛ'о~~ с Л'Р . Поэтому векторы Ае1,...., Ае„ Ьр — 1) лежат в Л'НР . Покажем, что эти векторы линейно ) — 1) независимы в Л1НР относительно лежащего в нем 1р — 2) подпространства Л1оР ). Действительно, пусть не все а1 = 0 и а1Ае1+... + ацАец — — А(ы1е1 +... + одея) Е Хе~ ТогДа вектоР ж = а1е1+...+оле б Л)е, аэто пРоти- 1 — 1) воречит предположению, что векторы е1,..., ел линейно 1р-1) независимы над Л1„ 1р — 1) Дополним векторы Ае1,...,Аел до базиса в Хо 1р — 2) относительно Л' Р . Мы получим тогда о+ я векторов Ае1,..., Аею у1,..., у,„ которые представляют собой максимальное число линейно независимых присоединенных векторов порядка р — 2. Снова применим к этим векторам преобразование А 1р — 2) и полученную систему векторов из Л',1 дополним, )р — ) (р — з) как и выше, до базиса в Л" Р относительно Л'НР НРИНЕЛЕНИН К НОРЛМЛЛЬНОЙ ФОРМЕ 221 Продолжая этот процесс, мы дойдем до подпространства Хо и выберем базис в этом пространстве, Ю состоящий из максимального числа линейно независимых собственных векторов.
Расположим полученные векторы в следующую таблицу Е1 ... Ея Ае1 ... Аея Азе1 ... Азея А11 ... А)", (12) АР 1е АР 1е АР 2)' АР 2~: Векторы нижней строчки образуют базис в подпро- П) странстве Хо . Векторы двух нижних строчек образу- (2) 12) ют базис в Хор, так как это есть базис Ко~ относитель- (1) (1) но Хо~ в соединении с базисом Хо~ . Векторы трех ниж- 1З) них строчек образуют базис в Хо и т. д.
Наконец все векторы таблицы образуют базис в Хо, т.е. во всем пространстве Л. Покажем, что в этом базисе матрица преобразования А имеет жорданову нормальную форму. Действительно, рассмотрим произвольный столбец таблицы (12), например, для определенности первый. Обозначим для удобства А" 1е1 через е1, АР зе1 через е2 и т.д. и рассмотрим действие преобразования А на каждый из этих векторов. Так как е1 собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значения),то АЕ1 = О. 222 канонический вил линейных пгвовглзовлний )гл. ш Дальше, по определению, Аез = АА" 2е2 = А" ~е~ = е2 и аналогично Аез = е2., Аер —— е„ Таким образом, преобразование А переводит векторы первого столбца снова в себя, т.
е. подпространство Лм натянутое на эти векторы, инвариантно относительно А. Матрица преобразования А в подпространстве В~ в базисе е~....., ер имеет вид 010...00 001 ... 00 (13) 000 ... 01 000...00 т. е. это есть жорданова клетка, отвечак2щая собственному значению Л = О. Аналогичное инвариантное подпространство отвечает каждому из столбцов таблицы (12), и размерность каждого такого подпространства равна числу векторов в соответствук2щем столбце.
Так как матрица преобразования А в базисе, состоящем из векторов какого-либо столбца таблицы (12), имеет вид (13), то матрица преобразования во всем пространстве Л в базисе, состоящем из всех векторов таблицы (12), состоит из жордановых клеток, число которых равно числу столбцов в этой таблице, а размер каждой клетки равен числу векторов соответствующего столбца. 220] <<гугов локлзлтвльство теоевмы о вгннвлвннн 223 Если вместо преобразования А рассмотреть преобразование А + Л<Е, то, так как матрица преобразования Л<Е диагональна, мы получим тот же результат для преобразования пространства Л, имеющего только одно собственное значение, равное произвольному числу Лы Соответствующие жордановы клетки матрицы преобразования А + Л1Е будут иметь вид: Л, 1 О ...
О О Л 1 ... О (14) о о о...л Вспоминая теперь,что для произвольного преобразования А мы можем разложить пространство Л в сумму инвариантных подпространств, в каждом из которых преобразование А имеет только одно собственное значение (см. формулу (11)), мы получаем отсюда полное доказательство теоремы 2 18. 2 20. Другое доказательство теоремы о приведении к нормальной форме Это доказательство мы будем вести по индукции, именно предположим, что для линейного преобразования в пространстве и измерений такой базис существует, и докажем, что мы можем найти нужный базис в пространстве и+ 1 измерений.
Для доказательства теоремы нам понадобится следующая Лемма. У всякого лине<1ного пре<>брпзования, А в и-мерном комплексном пространстве Л существует хотя бы одно (и — 1)-мерное инвариантное подпространствв Л'. 224 кАноничнский Вид линВйных ИРВОВРАзонАниЙ )Гл. Н1 Д о к аз а тел ь ство. Рассмотрим преобразование А', у него, как и у всякого преобразования, есть собственный вектор е А*с = Ле.
Покажем, что (и — 1)-мерное подпространство В', состоящее из векторов х, ортогональных ") е, т.е. для которых (х, е) = О, инвариантно относительно А. Действительно, пусть х Е гь~, т. е, (х, е) = О. Тогда (Ах, е) = (х, А*с) = (х, Ле) = О и, значит, Ах также принадлежит А'. Инвариантность подпространства 1ь' относительно преобразования А доказана. Докажем теперь сформулированную выше основную теорему этого параграфа.
Пусть А произвольное линейное преобразование в (и+ 1)-мерном пространстве Л. Согласно лемме, в В существует и-мерное подпространство Л', инвариантное относительно А. Так как в и-мерном пространстве мы предполагаем теорему доказанной, то в ть' существует базис, в котором линейное преобразование имеет нормальную форму. Обозначим этот базис в В' через ЕЫЕ2,...,Ер, 2М ~2,...,Д; ...: 6ЫЬ2,...,6з, где р+ д+... + В = п. В этом базисе линейное преобра- Мы здесь используем наличие в Л.
скалярного произведения, т.е. считаем пространство Н евклидовым. Незначительным изменением доказательства можно освободиться от этого предположЕния и на претяжении всЕй главы считать Л аффинным прастранством. 220) дгугов 11оклзлтвльство твогвмы о пгнввдвнин 225 зованио в п-мерном подпространстве г1' имеет вид Ас1 = Л1с1, Авз = с1+Л1е2, Аер — — ер 1+Л1ер, Ау"1 = А.6= Лзз'1 з1+Лззз, АА=Д 1+Л2)'о, А61= Лабы А62 = 61+ Ль62, А6,=6,,+Л 6,. Дополним этот базис каким-нибудь вектором е, который вместе с выез,...,ср, 2"1, )2,...,24; ...; 61,62,... ...,6, составляет базис в Л.
Применим к е преобразование А и разложим полученный вектор Ае по векторам базиса: Ас = о1с1+... + орср + Д121+... + Дяу +... ... + о161 +... + оаЬ, + те *). Мы можем считать, что т = О. В самом деле, если в некотором базисе А имеет нормальную форму, то А — ТЕ Линейное преобразование А имеет в (и + Ц-мерном пространстве 22 собственные значения Ль Ле,..., Ла и г. Действительно, напишем матрицу преобразования А в базисе ем ее,... ..., еаб 6, 1з,..., Уб...; йь аз,...,й„е. Она будет треугольной матрицей, в которой по диагонали стоят числа Ль Ле,..., Ле и г. Так как собственными значениями треугольной матрицы являются числа, стоящие по диагонали (см., например, з 10, п. 4), то Ль Лз,..., Ла и т будут собственными значениями А в (и + 1)- мерном пространстве. Таким образом, цри переходе от инвариантного и-мерного к (и -Ь 1)-мерному пространству добавилось одно собственное значение: г.
226 канонический вия линейных ягноврлзовлний (гл. ш также имеет в этом базисе нормальную форму. Поэтому, если т ~ О, то можно вместо преобразования А рассмотреть преобразование А — тЕ, причем А и А — тЕ, согласно сделанному замечанию, имеют нормальную форму в одном и том же базисе. Мы полагаем, следовательно, что Ае = о~с~ +... + орер+ ~я~, +... ... + 13я~я +...
+ 3~6н +... + б,6,. (1) Теперь постараемся заменить вектор е вектором е' так, чтобы после этой замены вектор Ае' стал возможно проще. Будем искать вектор е в виде / е = е — ы1е1 —... — Рсрер — р1 11 —... ... — ря~я —... — оп 6~ —... — ы 6,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
