1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Согласно лемме 2, (<> — 1)-мерное подпространство Л>, состоящее из всех векторов пространства Л, ортогональных к е>, инвариантно относительно У. Следовательно, в Л> имеется хотя бы один собственный вектор ез преобразования У. Через Лг обозначим инвариантное надпространство, состоящее из всех векторов, принадлежащих Л> и ортогональных к ег. В Лг содержится некоторый собственный вектор ез преобразования У и т. дц продолжая этот процесс, мы построим п попарно ортогональных собственных векторов е>, ег,..., е„преобразования Г. Согласно лемме 1 собственные значения, соответствующие собственным векторам е>, ег,..., е„> по модулю равны 1. Т е о р е м а 2.

Для каждого унии>арного преобро; зования Г в и-мерном пространстве Л существует нормированный ортогональный базис, в котором матрица преобразования, Г диагональна, т. е. имев<а ви<)< л о ... о о л ... о (7) О О ...

Л„ причем Л>, Лз,..., Л числа, по модулю равные единице. Доказательство. Пусть У- унитарное преобразование. Тогда и попарно ортогональных нормированных собственных векторов, построенных в предыдущей теореме, образуя>т искомый базис. Дейст- 11З) КНИТАРНЫВ ПРВОВРАЗОВАНИЯ вительно, Ге1 = Л1еы Геэ = Лэеэ., Ген = Л„е„ и, следовательно, матрица преобразования Г в базисе ес, е2,..., е„имеет вид (7). Числа Лы Л2,..., Л„по модулю равны 1 в силу леммы 1.

Теорема доказана. У п раж пения. 1. Доказать, что верно и обратное, т.е. если в некотором ортогональном базисе матрица преобразования Г имеет вид (7), то Г унитарно. 2. Доказать, что если А салсосопряженное преобразование, то преобразование (А — гЕ) '(А-РгЕ) существует и является унитарным. 3. Пусть Г унитарное преобразование. Доказать, что если преобразование и — Е обратимо, то преобразование А = Дà — Е) с РУ -Р Е) самосопряженное. Так как матрица перехода от одного ортогонального нормированного базиса к другому задается унитарной матрицсй, то полученный в этом параграфе результат мы можем в матричных терминах сформулировать следующим образом; Пусть Г ---заданная унитарная матрица.

Тогда существует такая унитарная матрица Р, что 7У предста- вима в виде сУ = Ъ' '0Р' где 1'.л -- диагональная матрица, у которой по диагонали стоят числа,по модулю равные 1. Аналогично,. основной результат в п. 1 2 12 в матричных терминах формулируется так: Пусть А заданная эрмитова матрица. Тогда А может быть представлена в виде '1'.У\ ~гл. п 168 ливвйныв пгеовглзовлния где 1' унитарная матрица, а лл диагональная матрица, у которой по диагонали стоят вещественные числа. 8 14. Перестановочные линейные преобразования. Нормальные преобразования 1. Перестановочные преобразования. Мы видели Я 12), что для всякого самосопряжснного линейного преобразования есть свой ортогональный нормированный базис, в котором его матрица диагональна. Может оказаться что для нескольких самосопряженных преобразований существует один общий базис, в котором матрицы всех этих преобразований диагональны. Мы выясним здесь, при каких условиях это возможно.

Разберем в первую очередь случай двух преобразований. Л е м м а 1. Пусть А и В два перестановочных лмнейных преобразования, т. е. АВ = ВА. Тогда совокупность всех собственных векторов преобразования А, отвечающих данному собственному значению Л, образует (вместе с нулевым вектором) подпространство Ля, инвариантное относительно преобразования В. Д о к аз а тел ь с т в о. Нам нужно показать, что если х Е Лх, т. е.

Ах = Лх, то и Вх Е ЛЛ, т. с, АВх = ЛВх. Но так как АВ = ВА, то АВх = ВАх = ВЛх = ЛВх, и лемма доказана. Л е м м а 2. Любые дво перестановочных преобразования имеют общий собственный вектор. 114) пвгвстьново ~ныв лвнгйныв пгвовгьзовяняя 169 Доказательство. Пусть АВ = ВА и Лх надпространство, состоящее из всех таких векторов х, что Ах = Лх, где Л собственное значение преобразования А. Согласно лемме 1, Лх инвариантно относительно В. Поэтому в нем существует вектор хо, собственный для В. Этот вектор является собственным и для А, так как все векторы из Лх являются собственными для А.

Заме чан ис. Если АВ = ВА, то, вообще говоря, не всякий вектор, собственный для А, является собственным и для В. Например, если А есть единичное преобразование Е, то для него любой вектор х является собственным. Однако х вовсе не будет собственным вектором для любого перестановочного с Е преобразования, так как с Е перестановочны все линейные преобразования. Т е о р е м а 1. Пусть А и В два самосопряженных линейных преобразования в комплексном и-мерном пространстве Л.

Для того чтобы в Л суи4ествовал ортогонольный базис, в котором преобразования А и В одновременно приводятся к диагональной форме, необходимо и достаточно, чтобы они бьти перестановомны (т.е. АВ = ВА). Доказательство. Достаточность. Пусть АВ = ВА. Тогда, в силу леммы 2, существует вектор ем собственный и для А, и для В, т. с. такой, что Ае1 = Л1ем Ве1 = раем (и — 1)-мерное подпространство Лм ортогональное к ем инвариантно как для А, так и для В (см.

лемму 2 6 12). Будем рассматривать преобразования А и В лишь в Ль Согласно лемме 2 в Л1 существует вектор еьз собственный и для А, и для В: Аег — — Лгег Вез = раег. 170 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ )г,п. и Совокупность векторов из В1, ортогональных к е2, образует (и — 2)-мерное пространство, инвариантное как относительно А, так и относительно В, и т. д. Продолжая этот процесс, мы получим и попарно ортогональных векторов е1., е2,..., Еп., собственных как для А, так и для В: Аее = Л;ем Ве, = 1з,е; (з = 1,... с и). Примем векторы е1,ез,...,е за базис в В.

Тогда оба преобразования А и В запишутся в диагональной форме. Достаточность условия АВ = ВА доказана. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть в некотором ортогональном базисе матрицы преобразований А и В диагональны. Любые диагональные матрицы, как зто легко проверить, перестановочны между собой. Но если матрицы преобразований в некотором базисе перестановочны, то перестановочны и сами преобразования. У и р а ж н е н и е.

Пусть Г1 и Га перестановочные унитарные преобразования. Доказать, что существует базис, в котором они одновременно записываются в диагональной форме. 3 а м е ч а н и е. Теорема 1 переносится на любое множество попарно перестановочных самосопряженных преобразований. Доказательство повторяется дословно, только вместо легимы 2 используется следующая Лемма 2'. У любава мналсестеа попарно перестанаеачный линейных преобразований есть общий собственный вектор. Д о к аз а т ель с т в о будем вести по индукции.

В одномерном пространстве (и = Ц лемма очевидна. Предположим, что для пространств размерности ( и лемма доказана и докажем ее для и-мерного пространства. Если каждый вектор из В является собственным для каждого из рассматриваемых преобразований *) А, В, С,, то все доказано. Предположим поэтому, что хотя бы один вектор не является собственным для какого-либо из наших преобразований, например для А.

Это означает, что каждое из преобразований А, В, С, кратно единичному преобразованию. з 141 ВВРВсг!'АВОВО'!нын линБЙнык ВРВОБРлзовлниз! 171 Обозначим через 77! совокупность всех собственных векторов преобразования А, отвечающих какому-нибудь собственному значению Л. Согласно лемме 1, 77! инвариантно относительно В, С,... (и, само собой разумеется, инвариантно относительно А1. При этом 77! есть подпространство, отличное от нулевого и от всего Л и имеющее, следовательно, размерность ( п — 1. Так как по предположению для пространств размерности, меньшей челси, теорема доказана, то в 77! преобразования А, В, С,... имеют общий собственный вектор, и лемма доказана.

2. Нормальные преобразования. В Я 12 и 13 мы ознакомились с двумя классами линейных преобразований, приводимых в некотором нормированном ортогональном базисе к диагональной форме. Сейчас мы выясним, каков общий вид всех таких преобразований. Т е о р е м а 2. Для того чтобы существовал ортогональный базис, в котором .линейное преобразование А приводится к диагональной форме, необходимо а достаточно, ппобы АА' = А*А. (,Такие преобразования мы назвали в ~11 нормальными.) Доказательство. Необходимость. Пусть в некотором ортогональном нормированном базисе матрица преобразования А диагональна, т. е. имеет вид л, о ...

о о л ... о О О ...Л„ Так как базис ортогональный и нормированный, то матрица преобразования А* имеет вид л о ... о о л ... о О О ...Л„ линейные НРеоБРазования ~гл. и 172 Матрицы преобразований А и А* диагональны и, значит, перестановочны между собой. Следовательно, перестановочны и сами преобразования А и А*. Достаточность. Пусть А и А* перестановочны. Тогда, согласно лемме 2 зтого параграфа, у А и А* существует общий собственный вектор е1, т. е.

АН1 = А1е1, А*е1 = р1е1 *). '1п — 1)-мерное подпространство Л1, состоящее из векторов, ортогональных к е1, инвариантно как относительно А, так и относительно А*. Действительно, пусть т Е Л1, т. е. (т, е1) = О. Тогда (Аж, е1) = (л, А*е1) = (л.,р1е1) = р1(и, е1) = О, т.е. х Е Л1. Инвариантность Л1 относительно А доказана. Аналогично доказывается инвариантность Л1 относительно А'. Применяя к Л» ту же лемму 2, получим, что в Л1 существует вектор е2, собственный одновременно и для А, и для А*. Через Л2 обозначим (и — 2)-мерное подпространство, состоящее из векторов подпространства Л1, ортогональных к е2, и т.д.

Продолжая таким образом, мы построим п попарно ортогональных векторов е1, е2,..., еп, каждый из которых является собственным как для А, так и для А*. Векторы е1, е2,..., е„образуют ортогональный базис., в котором как А, так и А' приводятся к диагональной форме. Другое доказательство достаточности. Положим А+ А* 1= А 2 21 Преобразования А1 и А2 самосопряженные.

Если А и А* перестановочны,то А1 и А2 также перестановоч- Упражнение: доказать, что п1 = Аь 3 15) РАзлОжение линкйнОГО ВРВОВРязовлния 173 ны. В силу теоремы 1 настоящего параграфа преобразования А1 и Аз могут быть одновременно приведены к диагональной форме. Но тогда и А = А1+ гА2 также записывается в диагональной форме. Если А самосопряженное преобразование, то АА* = А*А = А2, т.е.

А нормально. Нормальным является также всякое унитарное преобразование,так как в этом случае с7с7* = Г*с7 = Е. Поэтому теорема 2 этого параграфа содержит как частный случай результаты 3 12 (и. 1) и 3 13. У' п р а ж н е н и я. 1. Доказать, что любое множество попарно перестановочных нормальных преобразований приводится одновременно к диагональной форме. 2. Доказать,что всякое нормальное преобразование А может быть записано в виде А= НУ= БН, где Н вЂ” самосопряженное преобразование, а à — унитарное, причем Н и Г перестановочны.

Характеристики

Список файлов лекций