1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 24
Текст из файла (страница 24)
У'к аз ание, Выбрать базис, в котором А и А' приводятся к диагональной форме. 3. Доказать, что если А = НБ, где Н и Г перестановочны, Н вЂ” -зрмитово, Г унитарно, то А — нормальное преобразование. 3 15. Разложение линейного преобразования в произведение унитарного и эрмитова Всякое комплексное число можно разложить в произведение положительного числа и числа, по модулю равного единице (так называемая тригонометрическая форма комплексного числа). У1ы хотим получить для линейных преобразований аналог такого разложения. Аналогом чисел, по модулю равных единице, являются унитарные линейные преобразования.
Аналогом положительных действительных чисел являются так ;гл. и 174 ЛИННЙНЫЕ ПРЕОНРКЗОНАНИЯ называемые положительно определенные линейные преобразования. Определение 1. Линейное преобразование Н называется положительно определеннымь если Н самосопряженно и (Нх, х) > 0 для лгобоео х.
Т е о р е м а 1. Всякое невырожденное линейное преобразование А может. быть представлено в виде А = НУ (либо А = ЬгНг), где Н (соотв. Нг) невырожденное положипгельно определенное, а Г (соотв. Гг) —.-унитарное преобразование. Само доказательство мы проведем несколько позже: сейчас мы выясним, как по А найти соответствующие Н и Г, если указанное в теореме 1 разложение возможно; зто подскажет нам путь для доказательства теоремы. Пусть А = НБ, где Н положительно определенное невырожденное преобразование, а У ..унитарное преобразование.
Н легко выразить через А; в самом деле, А* = 17*Н* = Н 'Н, откуда АА"' = Нз Следовательно, для того чтобы найти Н, нужно гизвлечь квадратный кореньэ из АА*. Зная А и Н, легко получить и Г, полагая Г = Н гА. Доказательству теоремы 1 предпошлсм три леммы. Л е м м а 1. Каково бы, ни было линейное преобразование А, преобразование АА' положительно определенное. Если А не вырождено, то АА* также не вырождено. з 15) Рлзложвнив линвйного пековеязовяния 175 Д о к аз а т ел ь с т в о.
Преобразование АА* положительно определенное. Действительно: (АА'х, х) = (А'х, А*х) > О для любого х. Кроме того, (АА*)* = А**А* = АА*, т. е. АА* самосопряженное преобразование. Если преобразование А не вырождено, то детерминант матрицы 5а;ь'5 преобразования А в любом ортогональном базисе не равен нулю. Детерминант матрицы ~5а1ь'5 преобразования А' в том же базисе является комплексно сопряженным к детерминанту матрицы ~5а;ь5 и, следовательно, также нс равен нулю.
Позтому в данном случае детерминант матрицы, соответствующий преобразованию АА'., не равен нулю, а это означает, что преобразование АА*.-- невырожденное. Л е м м а 2. Если В положительно определенное преобразование, то его собственные .значения нсотрииатсльны.
Обратно, если все собственные значения сазлосопряжснного преобразования В нсотрииательны, пго В положительно определенное преобразование. Доказательство. Пусть В положительно определено и Ве = Ле. Тогда (Ве, е) = Л(е, е) и так как (Ве, е) > О и (е, е) > О, то Л > О. Обратно, пусть все собственные значения самосопряженного преобразования В неотрицательны, е1, ез,, .., е„нормированный ортогональный базис, состоящий из собственных векторов преобразования В. Пусть х = ~1е1+ свез +...
+ С„е„ (гл. и 176 ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ произвольный вектор из Н. Тогда (Вх,х) = = 1С1Ве1+СгВег+..+СВВеп, 6е1+Сгег+..+Сп .) = = ®Л>Е~+~глгсг+...+~плпЕп, С1Е1+Сгсг+...+СПЕп) = = Л1/(1!'+ Лг/(г/'+... + ЛВ~Кп~' (1) и так как все Л; неотрицательны, то (Вх, т) > О. 3 а м е ч а н и е. Из равенства (1) непосредственно видно, что если все Л; положительны, то преобразование В не вырождено и обратно.
Л е м м а 3. Если В положительно определенное преобразование, то существует такое положительно определенное преобразование Н, пто Нг = В (мы за- 1 пишем это тан: Н = Р7В = В-'). Нри этом, если В не вырождено, то и Н не вырождено. Доказательство. Выберем в Н ортогонвльный базис, в котором В записывается в диагональной фо1)ме: л о ... о ОЛ,...О О О ...
Л Л1, Лг,..., Лп ---собственные значения В. Согласно лемме 2 все Л,; > О. Положим л о ... о о л ... о о о ... л„ где числа ~/Л, выбираются неотрицательными. В силу той же леммы 2 преобразование Н положительно определено. При этом, если В не вырождено, то (см. замечание к лемме 2) Л,, > О, значит, и пГЛ; > О и, следовательно, Н не вырождено. з 1б) Рлзложкнив линейного пгкоеглзовлния 177 Перейдем теперь к доказательству теоремы 1.
Пусть А-.-любое невырожденное линейное преобразование. Положим Н = ъ'АА'. В силу доказанных лемм 1 и 3, Н есть невырожденное положительно определенное преобразование. Положим, далее, Н=Н 'А. (2) Преобразование Г унитарно. В самом деле, НН*=Н ~А(Н 'А)*=Н 1АА*Н 1=Н 1Н Н 1=Е. Из (2) следует,что А = НГ. Теорема доказана.
Операцию извлечения квадратного корня, примененную в этом параграфе, можно использовать для доказательства следующего предложения: Пусть А и В два самосопряженных преобразования, причем А . невырожденное положительно определенное. преобразование. Тоеда собственные значения преобразования АВ вещественны. Доказательство. Мы знаем, что характеристические многочлены (а значит, и собственные значения) преобразований Х=АВ и С 'ХС 1 совпадают. Положим С = Ат. Тогда С 'ХС = А '-'АВА' = А' ВА' .
Легко видеть, что полученное преобразование является самосопряженным: (АлВАЯ)* = ~Ал)'В (Ал)* = АзВАз. Утверждение доказано. У п р а ж н е н и е. Доказать, что ес.ти А и В - - положительно определенные преобразования, из которых одно не вырождено, то преобразование АВ имеет неотрицательные собственные знач Ения. ~гл. и 178 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРЛЗОНЛНИЯ 8 16. Линейные преобразования в вещественном евклидовом пространстве В этом параграфе мы будем заниматься линейными преобразованиями в вещественном пространстве.
Из материала, данной главы для этого достаточно знать содержание Я 9-11. 1. Все определения 810, а именно определения инвариантного подпространства, собственного вектора, собственного значения, были введены для линейного пространства над произвольным полем и поэтому имеют смысл также и для вещественного линейного пространства. Существенную роль во всей теории играла доказанная в 8 10 теорема о том, что в комплексном пространстве всякое линейное преобразование имеет собственный вектор (одномерное инвариантное подпространство).
В случае вещественного пространства эта теорема неверна. Например, поворот плоскости вокруг начала координат на угол, отличный от оя, представляет собой линейное преобразование, не имеющее ни одного одномерного инвариантного подпространства. Однако имеет место следующая теорема: Теорем а 1. У всяноео линейного преобразования А в оещсствснном линейном пространстве ЕЕ существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
Доказательство. Выберем в Л базис е1, ег,...,еп. Преобразованию А отвечает в этом базисе матрица ((а,ь)). рассмотрим систему уравнений апс1 + а1гсг + ... + а1нс = Лс1; аг1С1 + а гЬ + ... + агпС. = 1 Сг., ан1С1 + аогСг + .. + а б = Л( 2 16) НРкоьРАзоВАния В Вешвствьнном НРОстРАнствв 179 и будем искать для нее ненулевое решение С1,(2~,..., (~. Такое решение существует тогда и только тогда, когда определитель а11 — Л а12 ..
а1„ а21 а22 — Л ... а2П а„2 ... а„„вЂ” Л а„1 равен нулю. Приравняв его нулю, мы получим уравнение а-й степени относительно Л с вещественными коэффициентами. Пусть ЛВ есть корень этого уравнения. Возможны два случая: а) ЛВ есть вещественный корень этого уравнения. Тогда можно найти вещественные не все равные нулю 1ИСла ~ы (2,..., (.„, НВляющиеСН решением СИСТемь1 11). Считая их координатами некоторого вектора х в базисе е1, С2,...., е„, мы можем систему (1) переписать в виде Ах = Лох т.е. х порождает одномерное инвариантное подпространство. Ь) ЛВ = а+ Ц, т.е.
ЛВ комплексно. Пусть 6+171, 6+172, ": СВ+1'7В есть решение системы (1); подставляя эти числа вместо С1, С2,..., С„в (1) и отделяя вещественную часть от мнимой, мы получаем: а11С! + а1242 +... + а1ВС — ОС1 — ~Цп а216 + аЫ2+ + а2В(В = а6 — Р1ь (2) а Ж+а 2С2+ "+а.А =о( — Я1п (гл. и линвйныв пгвоьтдзования и соответственно а1191 + О!2У2 + ' ' + О1прп ОГ!1 + Я1; а21У! + а22Ц2 + ° ° ° + а2~1п Ст92 + Я2 (2') ап1У1 +ОпЯ2+ "+аппуп = Щп+Яп.
БУДЕМ ТЕПЕРЬ С1,(2,...,(и (СООтВ. Ц1,Ц2,..., Цп) СЧИ- тать координатами некоторого вектора х (соотв. у) в Л: тогда соотношения (2) и (2') можно записать следующим образом: Ах = ох — ~у:, Ау = сеу+ ~х. (3) Равенства (3) означают, что двумерное надпространство, порожденное векторами х и у, инвариантно относительно А. В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что в двумерном инвариантном подпространстве, отвечающем корню А = ст + Ц, преобразование имеет вид (3). У яр аж пение. Доказать, что в вещественном пространстве нечетного числа измерений (в частности в трехмерном) у каждого линейного преобразования есть одномерное инвариантное подпространство. 2. Самосопряженные преобразования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
