1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Заметим,что если у характеристического многочлена матрицы А нет кратных корней,тоне существует многочлена степени ниже и, обращающегося в нуль при подстановке в него матрицы А (см. следующее упражнение). У п р а ж н е н и е. Пусть А диагональная матрица вида А Олл" О где все числа Л, различны, Найти многочлен РЯ возможно более низкой степени, для которого Р(А) = О.
(См. пример в 19, п. 3.) О 11. Линейное преобразование, сопряженное к данному 1. Связь между линейными преобразованиями и билинейными формами в евклидовом пространстве. Мы рассматривали ранее в аффинном пространстве отдельно линейные преобразования и отдельно билинейные формы. В случае евклидова пространства между билинейными формами и линейными преобразованиями существует тесная связь *). Всякому .линейному преобразованию А отвечает, в евкяидовом пространстве билинейная форма А(ш;д), Так как в данном базисе как линейные преобразования, так н билинейные формы задаются матрицами, то можно быю бы попытаться в аффинном пространстве поставить друг другу в соответствие линейное преобразование и билинейную форму, задаваемые одной н той же матрицей. Однако это соответствие было бы случайным. Действительно, если в одном базисе матрицы билинейной формы и линейного преобразования совпадают, то в другом базисе они будут уже, вообще говоря, различны, так как х 11)линнйное НРНОН|'лзОВлнив, сопряжвннов к длнномк 145 задаваемая формулой А(х; у) =— (Ах, у).
Действительно, функция А(х; у) = (Ах, у) удовлетворяет условиям, определяющим билинейную форму. Имеем: 1' (А(х1+хз),у) = (Ах|+Ата,у) = (Ах|,д)+(Ахз,у), (АЛх, .д) = (ЛАх, у) = Л(Ах, у). 2 (х, А(у1+уг)) = (х, Ау|+Ада) = (х, Ау|)+(х, Ауз), (х, А)|у) = (х,)|Ау) = )т(х, Ау). Покажем, что преобразование А определяется соответствующей билинейной формой А(х; у) однозначно. Пусть А(х; у) = (Ах, у) А(х; у) = (Вх, у). Тогда (Ах, у) Р— е (Вх, у), т.
е. (Ах — Вх,у) = О при переходе к другому базису матрица А билинейной формы переходит в С'АС (С' -- матрица, транспонированная к матрице С) (см. з4), а матрица линейного преобразования — — в С' 'АС (см. З9). Внимательный читатель сможет заметить, что устанавливаемое ниже соответствие между билинейными формами и линейными преобразованиями в евклндовом пространстве состоит в том, что сопоставляются друг другу линейные преобразования и билинейные формы, матрицы которых в нормированном ортогональном базисе получаются одна из другой транспонированием; это соответствио, как следует из дальной|пего, уже не зависит от выбора базиса.
14б ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ !гл. и для любого вектора у; но это значит, что Ат — Вх = О. Таким образом, Ах = Вх для любого х, т.е. А = В. Однозначность доказана. Имеет место и обратное. Пусть л! комплексное евклидово пространство и пусть А(х; у) --" билинейная форма в нем. Выберем в Л какой-либо ортогональный нормированный базис е1, Е2,..., Еп.
ЕСЛИ х =(ТЕ!+(2с2+...+~иеи и у = Т11е1+Т12е2+...+Т!пеи, то А(х; у) можно записать в виде А!тхз; д) = а11~1тй + а12(!у2+... + НЛД!у„+ + а21(2Т!! + ГЛ22~2112 +... + П2и~2ТТ + + ап1епт!! + ап2ьпт12 + . + атпг пЧ!и (1) Постараемся представить это выражение в виде некоторого скалярного произведения. Для этого перепишем его следующим образом: А!тх; У) = !апс1 + а21с2 +... + Пи!о„)У1 + + !Н12С! + Н22(2 + ° ° ° + аи2Ст~)т12 + + (а1п(! + П2пСЕ + ° + аип(п)ТТп. Введем в рассмотрение вектор я с координатами ~1 = ап6+а216+" +а 1Ст, Ь2 а!21! + П22(2 + ° + ап2(п Еи = а1п11 + а2пС2 + ° ° ° + а~т1п ° Вектор е получается из вектора х линейным преобразованием с матрицей, транспонированной к матрице ((а,ь)! билинейной формы А(хз; у).
Это преобразование мы обозначим буквой А, т.е. положим е = Ах. Мы г 11)линейное НРНОВРАЗОКАнин, СОКР»»жкннок к»»АхномУ 147 получаем, следовательно, что А(х'у) = ».»6» + Нг + +»мЧ, = (г у) = (Ах у) Итак, всякой билинейной форме А(х;у) в евклидовом пространстве отвечает такое линейное преобразование А, что А(х; у) = (Ах, у).
Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема 1. Формула А(х; у) = (Ах, у) (2) А(х; у) = (х, А*у). Для зтого в формуле (1) А(х; у) = а»1(»»7» + а»г~лг +... + а»„С»»1„+ + аЫг5» + аЫяг +... + пгниг»»„+ + ап»С 6» + ангбЛг + ... + а. ЬЛ мы будем выносить за скобки координаты с»,сг,..., с„ вектора х. Повторяя снова прежние рассуждения, мы устанавливает в евклидовом пространстве взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и линейными преобразованиями.
Из однозначности соответствия, устанавливаемого формулой (2), следует, что оно не зависит от выбора базиса. Связь между билинейными формами и линейными преобразованиями можно установить и другим способом. А именно, каждую билинейную форму можно представить также в виде ~гл. и 148 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ получаем: А(х; у) = С1(и11Ч1+ а12Ч2+...
+ а1„Чп) + + 6(а21Ч1+ аггуг+ + игиЧи) + + сп1ии1Ч1 + ип2Ч2 + + аипЧН) = С111111Ч1 + а12ЧЙ +... + а1НЧН) + + ~2(иг!Ч1 + иггЧ2 + + агпЧп) + + Си1аи1Ч1 + апгЧ2+... + оп дуп) = 1х, А*у). При этом матрица преобразования А* получается из матрицы преобразования А в любом оргпогональном базисе переходом к транспонированной и заменой ее элементов комплексно сопряженными. Заметим, что в неортогонельном базисе связь между матрицами преобразований А и А* более сложна. 2. Операция перехода от преобразования А к сопряженному (операция *). О и р е деление 1. Пусть А линейное преобразование комплексного евклидова пространс1пва.
Преобразование А*, определенное условием (Ах, у) = (х,, А*у), называется сопряженным к А. Т е о р е м а 2. В евклидовом простринстве киждому линейному преобразованию отвечает сопряженное преобразование и притом только одно. Д о к аз а тельство. Линейному преобразованию А однозначно соответствует согласно теореме 1 этого параграфа билинейная форма А(х;у) = (Ах,у). Эту билинейную форму согласно сказанному в конце п.1 можно представить, и притом однозначно, в виде з 11)линейное НРНОВРАзОВАниБ, <'ОВРяженное к длхномУ 149 (х, А*у). Окончательно мы имеем: (Ах, д) = А(х; у) = (х, А" у). Матрица сопряженного преобразования А* получается из матрицы преобразования А в ортогональном базисе переходол> к трансп<>нировпнн<>й и кол>пленен<> сопряженной матрице, как это доказано в п.1 этого параграфа. Переход от А к А* можно выразить в виде правила; если в выражении (Ах, д) мы желаем А перебросить на второе место, то к нему нужно приписать *.
Операция перехода от преобразования А к сопряженному преобразованию А' («операция *«) связана с определенными выше (Й 9) операциями сложения и умножения линейных преобразований следующими соотношениями: 1' (АВ)* = В*А*. 2' (А*)' = А. 3' (А + В)* = А* + В*. 4' (ЛА)* = ЛА*. 5' Е* =Е. Докажем, например, два первых из этих свойств. 1' (АВх, у) = (Вх, А*у) = (х, В*А*у). Но, с другой стороны, по определению (АВ)* имеем: (АВх, у) = (х, (АВ)*у). Сравнивая правые части этих двух равенств и вспомнив, что линейное преобразование однозначно определяется соответствующсй билинейной формой, получаем: (АВ)* = В*А .
2' По определению А' имеем: (Ах, у) = (х, А'д). (гл. и 150 линейные пгеовгазовавия Обозначим временно А* через С. Тогда (Ах,у) = (хтСу), откуда (у.,Ах) = (Су,т). Заменив у через х, а х через у и поменяв местами пра- вую и левуто части этого равенства, получим: (Сх, у) = (х, Ау). Но это равенство и означает, что С* = А, и так как С=А*, то (А')' = А. У п р аж не н и я. 1.
Доказать таким же способом свойства 3' — 5'. 2. Доказать свойства 1' — 5', пользуясь тем,что матрица преобразования А* получается из матрицы преобразования А в ортогональном базисе транспонированием и заменой всех элементов комплексно сопряженными. 3. Самосопряженныет унитарные и нормальные линейные преобразования.
Операция * в известной мере аналогична операции перехода от данного комплексного числа о к сопряженному ст. Эта аналогия не случайна. Действительно, для матриц первого порядка над комплексным полем, т.е. для комплексных чисел, операция * как раз и состоит в замене данного числа комплексно сопряженным.
Среди всех комплексных чисел действительные числа характеризуются тем свойством, что ст = ст. Для линейных преобразований аналогичное понятие является весьма существенным. О п ре деление 2. Линейное преобразование А наэываетпся самосопрявженным (или эрмитповым), если А* = А. 2 111линкЙИОК ИРКОВРДЗОВЛНИК, СОНРЯЖКННОК К ДАННОМУ 151 Покажем, что для того, чтобы линейное преобразование А было самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы билинейная форма (Ах,у) бьта эрмитовой. В самом деле., эрмитовость формы (Ах,у) означает, что (Ах, у) = (Ау, х). (а) Самосопряженность преобразования А означает, что (Ах, у) = (х, Ау).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
