1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Однако может случиться, Запись Ах ф Н~ означает, что вектор Ах нс принадлежит подпространству Ль ~ 1Е) ИНВАРИАНТНЫН НОДНРОСТРАНСТВА ТЗ1 что некоторыс подпространства переходят сами в себя при линейном преобразовании А. Введем следующие определения. О пред ел е ни е 1.
Пусть А линейное преобразование пространства ТТ.,Линейное Надпространство Л1 называется инвариантным относительно А, если для каждого вектоора и из Л1 вектор Ат тоакже принадлежит Лы При изучении линейного преобразования А в инвариантном подпространстве Л1 можно, таким образом, рассматривать это преобразование только в Ль Тривиальными инвариантными подпространствами являются подпространство, состоящее лишь из нуля, и все пространство. П р и м е р ы.
1. Пусть В--- трехмерноепространство и А поворот вокруг некоторой оси, проходящей через нуль. Инвариантными подпространствами при этом являкьтся: а) ось вращения (одномерное инвариантное подпространство), б) плоскость, проходящая через начало координат и ортогональная к этой оси (двумерное инвариантное подпространство).
2. Тт плоскость. Преобразование А заключается в растяжении плоскости в Л1 рзз вдоль оси Х и в Л2 раз вдоль оси У. Иначе говоря, если вектор з равен (1е1+ Сзеа, то Аз = Л~~1е1+ Л2С2е2, где еыеа единичные векторы на осях. Координатные оси Х и У являкьтся в этом случае одномерными инвариантными подпространствами. Если Л1 = Л2 = Л, то А является преобразованием подобия с коэффициентом подобия Л. В этом случае каждая прямая, проходящая через начало координат, является инвариантным подпространством. У п р а ж н е н и е. Показать, что если Л1 ф Лм то в примере 2 нет никаких других однОмЕрных инвариантных подпроетранств, кроме указанных выше.
линейные иееонеазования ~гл. п 132 3. 1с совокупность многочленов степени не выше п — 1. Линейное преобразование А --- дифференцирование, т.е. АР(2) = Р'(1). Совокупность многочленов, степень которых меньше или равна а, где й < и — 1, образует инвариантное подпространство. Действительно, дифференцируя много- член степени < й, мы получим многочлен, степень которого снова не превосходит Й. У п р а ж н е н и е.
Локазать, что в примере 3 никаких инвариантных подпространств, кроме указанных, нет. 4. Рь произвольное и-мерное пространство. Линейное преобразование А задается в некотором базисе еы е2,..., е, матрицеЙ вида . а1ь аць~-1 ... а1в оы . аьь аьье1 ... аь„ О ... О аьчз ьт1 ... аь.ьцв О ...
О ать+1 . а В этом случае подпространство 1сы порожденное векторами сы е2,...., сь, инвариантно. Доказательство этого мы предоставляем читателях Если, кроме того, а,ьь1 =... = а,„= О (1 < г < й), то подпространство, порожденное векторами сеем ЕЬ,2,..., Е„, такжЕ будЕт инвариантным. 5. В произвольное п-мерное пространство, А произвольное линейное преобразование в этом пространстве.
Тогда образ М и ядро Х преобразования А являются инвариантными подпростронствами. Действительно, пусть у Е М. Тогда Ау Е М в силу определения М. ~1П) ИНВАРИАНТНЫН ПОДПРОСТРАНСТВЛ Точно так же, если х е Х, то Ах = О е Д7. Этот простой факт будет использован в дальнейшем при приведении произвольного преобразования к простейшему виду. Пусть дано пространство Л и линейное преобразование А в этом пространстве. Предположим, что Л разложимо в прямую сумму двух инвариантных подпространств Л~ размерности Й и Лз размерности и — Й (см.
стр. 27). Тогда в базисе еы, .., е„, первые Й векторов которого лежат в Лм а последние (и — Й) в Лз, матрица преобразования А состоит из двух клеток размерностей Й и и — Й, стоящих на диагонали, а на остальных местах стоят нули, т.е. аы ... а~А О ... О асп ...
азь О ... О аы ... аль О ... О О ... О аь+~,А+1 ... аАР1„ О ... О ап,А-Р1 . ° атн 2. Собственные векторы и собственные значения. Особую роль в дальнейшем будут играть одномерные инвариантные подпространства. Пусть Л1 одномерное надпространство, порожденное вектором х ф О (т.е. совокупность векторов вида ах). Ясно, что для того чтобы Л1 было инвариантным, необходимо и достаточно, чтобы вектор Ах лежал в Лм т.е.
был кратен вектору х; Ах = Лх. Определение 2. Лектор х ~ О, рдовлетворяюший соотношению Ах = Лх, называется собственным векгпором, а соответстврюиАее число Л -. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ с"гл. и собственным значением (характерисспическим числом) линейного преобразования А. Итак, если х---собственный вектор, то векторы сух образуют одномерное инвариантное подпространство. Обратно, все отличные от нуля векторы одномерного инвариантного подпространства являются собственными. Те о ре ма 1. В комплексном пространстве *) ?? всякое линейное преобразование А слмеет хотя бьс один собственный вектор. Д о к аз атель с т в о. Выберем в Е? какой-либо базис ес, ег,..., еп. Линейному преобразованию А в этом базисе соответствует некоторая матрица ~~ась~~. Пусть т. = С1е1 + (гег +...
+ С ес произвольный вектор из Л. Тогда координаты ссс, С?2,..., С?п ВЕКтОра АХ ВЫражаЮтСя СЛЕдуЮщИМИ фОрМулами (см. п.2 '2'9)с С?1 = а1141 + а12(2 +... + СлсссСп, С?г = а21СС + аггС2 + + агпСпс С?п = апсС1+ апгс',2+ .. + а„„~„. Условие того, что вектор собственный, т. е. равенство Ах = Лх, Доказательство теоремы пригодно дяя пространства над любым алгебраическим замкнутым полем, так как используется яиспь существование решения у уравнения 12).
1 10] ИНВАРИАНТНЫК НОЛПРОСТРАНСТВА записывается в следующем виде: ам С1 + а12С2 + .. + а> ~А = ЛС1; аг>С1+ аЫ2+. + агвСВ = ЛС2., аА1С1 + апг(2 + ° ° ° + опяСА — Лсп (ап — Л)С> + а>2~2 +... + а1 Д, = О, а21~1 + (агг — Л)(2 +... + а2„,1А = О, (1) ав>с1+ авгсг+... + (а„„вЂ” Л)~„= О. Для доказательства теоремы нужно доказать, таким образом, что существуют число Л и числа С1, Сг,..., („, не все равные нулю, удовлетворяя>щие системе (1).
Условием существования ненулевого решения однородной системы (1) является равенство нулю се определителя ап — Л а>г .. а>„ а21 агг Л ° ° ° а2п (2) а„1 аиг ... а„„ — Л Мы получили уравнение степени п относительно Л. Это уравнение имеет хотя бы один (вообще говоря, комплексный) корень Ло. Подставив в систему (1) вместо Л корень Ло, мы получим однороднук> систему линейных уравнений, определитель которой равен нулю, и имеющую, следовательно, ненулевое решение С1, Сг,..., („. Тогда вектор (о) (о) (о) Х = ь1 е1 + ~ьг с2 + ° ° ° + ~~ 1В) 1о) <о) <о) будет собственным вектором, а Ло собственнь>м значением,так как Ах<о) Ло, (о) Теорема доказана. !Рл. и 136 1ИНКИНЫК НРЕОНРАЗОВАНИЯ 3 а м е ч а н и е.
Так как доказательство теоремы остается в силе, если преобразование А рассматривать не во всем пространстве, а в любом его инвариантном подпространстве, то в лнзбом инвориантном подпространстве существует хотя бы один собственный вектор преобразования А. Многочлен, стоящий в левой части уравнения (2), называется характеристическим А1ногочленоз1 матрицы преобразования А, а само уравнение (2) характгристическиз1 или вековым уравнением этой матрицы.
В процессе доказательства теоремы мы показали, что корни характеристического многочлена суть собственные значения преобразования А и, обратно, собственные значения преобразования А суть корни характеристического многочлена. Так как собственные значения преобразования определены независимо от выбора базиса, то, следовательно, и корни характеристического многочлена также не зависят от выбора базиса. Мы покажем далее несколько больше *), а именно, что сам характгристпический жногочлен не зависит от выбора базиса, и поэтому мы в дальнейшем будем называть его характеристическим хногочлгном преобразования А (а не характеристиче.- ским многочленом матрицы преобразования А).
3. Среди линейных преобразований в известном смысле простейшими являются те, которые имен1т и линейно независимых собственных векторов. Пусть А такое преобразование, а е1,ех,...,е„ его линейно независимые собственные векторы, т. е. Ае; = Л,е; (1 = 1.,2,...,п). Из того, что корни характеристического многоч.чена одни и те же дяя разных базисов, еше не следует, что сам многочяен но зависит от выбора базиса; априори возможно, что в разных базисах кратности зтих корней различны. ~1О~ ИННЛРИЛН"ГНЪ|К ПОДПРОСТРЛНСТВЛ 137 Примем е1, е2 ....., е„за базис в Л. Равенства Ае1 = Л1е1, Аег = Лгег, Аеп = Лпеп означают, что матрица преобразования А в этом базисе имеет вид Л О ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
