1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ортогональным базисом в тммерном комплексном евклидовом пространстве называется совокупность н попарно ортогональных не равных нулю векторов ем ее,..., е„. Так же, как в 33, доказывается, что векторы ем е2,..., ев линейно независимы, т. е. образуют базис. Существование ортогонального базиса в комплексном н-мерном евклидовом пространстве доказывается процессом ортогонализации, в точности совпадающим с приведенным в 3 3.
Выразим скалярное произведение двух векторов х. и у через их координаты См~в,...,~„и т,у2,...,О„в 88) коъп!8!ексно!! в-мвгное пгостглнство !о! ортогональном нормированном базисе. Мы имеем; ж = (!е!+(зез+...+~„е„и У = и!е!+!1зез+...+п„е„. Тогда (х,у) = Яе!+~зев+...+~„ев, !!!е!+ц2ез+...+г1„ев) = = 66!+гвму+ +4 !1„ (Ср. пример 1 этого параграфа.) Выразим координаты ~! вектора т в ортогональном нормированном базисе через векторы базиса и сам вектор аь Имеем: и = С!е!+ ~2ез+... + ~ве„. Умножая скалярно обе части равенства на еб получим: (т., е;) = 6(е!, е,)+брег, е!)+ ° ° +1г(е! ег)+ ° ° ° +сп(еп, гг) или (т, е!) = (! Так же, как и в 8 3, доказывается, что все комплексные евклидовы пространства данного числа измерений в изоморфны между собой. 4.
Билинейные и квадратичные формы. Все определения (линейной функции, квадратичной формы и т.д.), введенные в 84 (за исключением понятия положительной определенности), имеют смысл для линейного пространства над любым полем, в том числе и над полем комплексных чисел. Однако в случае комплексного линейного пространства можно еще по-другому ввести эти понятия; для нас именно этот второй способ будет даже более существенным. Линейные функции первого и втор о г о р о д а.
Функция, ставящая в соответствие каждому вектору комплексное число, называется линейной !рунк!!ие!! первого родц если она удовлетворяет (гл. ~ 102 и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО следующим условиям: й + у) = 1(х) + 1(у): У(Лх) = ЛУ(х). 1о 2о Это совпадает с определонием линейной функции в 0 4. Линейной функцией второго рода называется функция, удовлетворяющая условиям П +у) =Их)+У(у), У(Лх) = ЛУ(х).
1о 2о Так же, как и в 0 4, можно доказать, что всякая линейная функпия первого рода может быть записана в виде 1(х) = а~ ~~ + аз6 +... + О„Сн, где ~1 координаты вектора х в базисе е1, ео,..., е„, а а, -постоянные, а, = )(е,). Всякая же линейная функция второго рода может быть записана в виде У(*) = бА + ЬА +...
+ б.~о. Очевидно, что если у(х) — линейная функция первого рода, то 1(х) ---линейная функция второго рода. Как было определено выше (п.2, 04), билинейной функцией называется функция двух векторов А(х; у), линейная по каждому из аргументов. Наличие в комплексном пространстве двух типов линейных функций приводит к существованию целых четырех типов билинейных функций."-линейных первого рода и по х и по у, первого рода по х и второго рода по у, второго рода по х и первого по у и второго рода по обоим аргументам. Но третий и четвертый типы комплексно сопряжены соответственно ко второму и первому, а билинейные функции первого типа опредоляются в комплексном пространстве буквально так же, как и в вещественном. Поэтому мы остановимся подробнее лишь 28) КОЫНЛЕКСНОН и-МНРНОН НР()С'!'РЛНСТВО 1ОЗ на билинейных формах второго типа.
Для краткости будем называть их просто билинейными. Итак, введем следующее определение: О и р е д е л е н и е 1. Будем говорить, что А(х:, у) естпь билинейная функция (форма) от веко!оров х и д, если 1' при фиксларованном у А(х; у) есть линейная функция первого рода от х,. 2' при фиксированном х А(х;у) есть линейная функция второго рода от у.
Или, иначе: Г А(х1+ х2, у) = А(х1, д) + А(т2, у), А(Лх; у) = ЛА(х; у)., 2' А(х;у!+ у2) = А(х;у1) +А(х:уг), А(х; ((д) = 1!А(х; у). Примером билинейной функции является скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве А(х; у) = (х, у), рассматриваемое как функция векторов х и у.
Другим примером билинейной формы в комплексном пространстве является выражение А(х:,у) = ~~ а(ь~,(1ы ьь=! рассматриваемое как функция векторов 41Е1+(2Е2+ ° +спвп и У 91Е1+д12Е2+ ° ° +дпеп. Легко проверить, что условия, определя(ощие билинейную функцию, при зтом выполнены.
Пусть е1, ег....., еп некоторый базис в и-мерном комплексном пространстве. Пусть А(х; у) ---билинейная форма, х и у можно записать в виде С1Е! + ~2Е2+ ° + ~пвп д 91Е1 + Ч2Е2+ ' ' '+ дпсп' (гл. ! п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Тогда А(хг у) = А(бег+чзез+. +боен! Т)!е!+Т)Вез+ .+Т)поп) и бг)ВА(е;; ея). ьй=! Матрица ))а,ь(( из чисел агь = А(е,; еь) называется матриией билинейной формы А(х;у) в базисе е! г ез,..., е . Если в билинейной форме А(х;у) положить у = х, то получится функция А(х:, х), называемая квадратичной формой (в комплексном пространстве). Справедливо следующее утверждение: Всякая билинейная форма однозначно определяется своей квадратичной формой *). Д о к аз а тел ь с т в о. Пусть А(х;х) квадратичная форма, а х и у---произвольные векторы.
Легко проверить, что имеет место тождество **) А(х;у) = — (А(х+у;х+у) + !А(х+ !у;х+!у)— 1 — А(х — у; х — у) — гА(х — ггу; х — 1у)1. (1) Выражение, стоящее справа в формуле (1), представляет собой комбинацию значений квадратичной формы для векторов х + у, х — у, х + гу и х — гу. Слева стон~ значение билинейной формы для произвольных векторов х и у. Таким образом, билинейная форма однозначно определяется своей квадратичной формой.
В отличие от определенных в В 4 форм в вещественном пространстве, длл которых соответствующее утверждение справедливо лишь для симметрических билинейных форм. Читатель должен помнить, что А(х; Лу) = ЛА(х; у) и, следовательно, в частности, А(х; гу) = — гА(х; у). з 8) КОМПЛККСНОК п-МЬРНОР ПРОСТРАНСТВО 105 О и р е д е л е н и е 2. Билинейная форма называется, эрмитовой, если А(х; у) = А(у; х). Это понятие является аналогом понятия симметрической билинейной формы в вещественном евклидовом пространстве.
Для того чтобы форма А(х; у) была эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы ее матрица 0а,ь~~ в каком- либо базисе удовлетворяла условию а,ь = аяь Действительно, если форма А(х; у) эрмитова, то а1ь = А(е;; еь) = А(ек; е1) = ая1. Обратно, если акь = аы, то А(х; у) = ~) агА4Р1ь — ~~) аытр-~. = А(у; х). 3 а м е ч а н и е. Если в каком-либо базисе матрица билинейной формы удовлетворяет условию а;ь = аы, то это жс условие выполнено для матрицы этой билинейной формы и в любом другом базисе. В самом деле, если в каком-либо базисе равенство а,ь = аы имеет место, то А(х; у) является эрмитовой билинейной формой; но тогда и в любом другом базисе а,я = аы. Если билинейная форма эрмитова, то соответствующая ей квадратичная форма тоже называется эрмитовой.
Для того чтобы билинейная форма А(х; у) была эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы А(х; х) было веи1ественно для любоео вентпора х. Доказательство. Пусть форма А(х;у) эрмитова, т. е. А(х; у) = А(у; х). Тогда, полагая х = у, получаем: А(х; х) = А(х; х), 100 (гл. ~ П-ЫЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО т. е. число А(х; х) равно своему сопряженному и, значит, вещественно. Обратно, пусть А(х; х) вещественно для любого вектора х.
Тогда А(х+ у;х+ у), А(х+ гу;х+ ту), А(х — у,:х — у), .А(х — гу;х — гу) вещественны, и поэтому из формулы (1) непосредственно видно, что выражения А(х: у) и А(у; х) являются комплексно сопряженными. Сл е д с т в ие. Квадратичная форьча эрмитова в тол а только в тол с ьучас, когда она пранияаегп только веи1ественные значения. Действительно, только что было доказано, что для эрмитовости билинейной формы А(х; у) необходимо и достаточно, чтобы А(х:, х) была вещественна для всех х. Примером эрмитовой квадратичной формы является форма А(х:х) = (х,х), где (х, х) означает скалярное произведение вектора х с самим собой. Действительно, аксиомы 1' — 3' скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве означают, что (х, у) есть эрмитова билинейная форма, и поэтому (х, х) есть эрмитова квадратичная форма.
Если, как и в 04, назвать положительно определенной квадратичную форму, удовлетворяющую условию А(х;х) >0 при хфО, то комплексное евклидова пространство можно определить как комплексное линейное пространство, в котором задана положительно определенная эрмитова квадратичная форма. Аналогично тому, как это сделано в вещественном пространстве, можно показать, что если А и В суть матрицы билинейной формы А(х;у) соответственно в базисах ем ез,..., еп и 1"1, (з,..., 1"„, то В = С*АС, ~8) комплвкснов и-мвенов пеостелнство ~от где С матрица перехода от базиса еы еь,..., е„к базису 1п ~я,...,~в, а С вЂ ..матрица,транспонированная и комплексно-сопряженная к матрице С. 5.
Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Теорем а 1. Пусть А(х;х) — эрмитова квадратичная форма в комплексном аффинном пространстве Л. Товда в Л существует, базис выем,...,е„, в котором эта квадратичная форма имеет вид А(х; х) = Л1~~~, + Лз~з~з +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
