1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 12
Текст из файла (страница 12)
А((1:. ~л) А(12,'11) А(12,12) ... А(1'2,.)ь) ) ~ь = А(1В,11) А((ь;~2) ... А(уь;~Д,) тогда одна из строк этого определителя есть линейная комбинация остальных, т. е. 121АЦ1, Я + р2А(Ь~ .~1) +... + рьАЦ~; ~1) = О, г = 1,2,..., к, где не все р равны нулю. Но тогда А(р.1~1 + д212+... + рь)ь, ~,) = О (1 = 1,2,..., й), а следовательно, А(р111+ р212+. + рь1ь~ р1 11+ Ц212+ .. + рь1ь) = О~ в то время как р1у1 + р2~2+... + р,~, ~ О, что противоречит определению положительно определенной квадратичной формы. Следовательно, согласно теореме 1, А(х;х) можно привести к виду А(т.; Рл) = л142 +...
+ Л„(2, где Л ь= Так как для положительно определенной квадратичной формы все Ль > О, то и все Ьь > О. (Напомним, что 2хо = 1) (гл. ь п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Итак, нами доказана Т е о р е м а 3. Пусть А(х,у) — симметрическая билинейная форма и (Ода,..., дн --. базис в и-мерном пространстве Л. Для того чтобы квадратичная форма А(х:, х) была пололсительно определенной, необходимо и достаточно, чгпобы Эта теорема называется условием Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Мы могли бы взять вместо Т'ы Тг,..., У какой-либо другой базис и написать условия положительной определенности формы А(х;х) через векторы этого нового базиса.
В частности, если мы в качестве нового базиса возьмем те же самые векторы О, 6г,..., т"„, но только в другом порядке, то новыми минорами ЛО сьг,..., 'л„будут различные главные миноры ) матрицы 'Ьа,ь 'Ь'. Отсюда вытекает интересноо СлЕдствие. Если все главныс. миноры ььМЛз,...,гл матрицы ~ба,ьц' квадрагвнчной формы А(х; х) в данном базисе положительны, то вообще все главные миноры этой матрицы положитсльньь В самом деле, если все миноры ььь матрицы ~Уьаэ' положительны, то форма А(х; х) поюжительно определенная. Пусть гз какой-либо главный минор матрицы ьа ь й и пусть ры рг ....., рь.
номера входящих в него строк и столбцов этой матрицы (твк как минор главный, то эти номера для строк и столбцов одни и те жо). Переставив в исходногл базисе векторы с номерами ры рз,..., рь на первое, второе и т. д., к-е место и записав в этом новом базисе условия положительной определенности формы, получим Л > О. 3. Определители Грама. Результаты этого параграфа мы изложим сейчас для случая, когда в качестве квадратичной формы выбрано скалярное произведение в евклидовом пространстве,т.е. А(х;х) = (х,х).
Главными минорами называются те, при составлении которых выделяются столбцы с теми же номерами, что и строки. ~ 6) пеиввление к сумме КВАДРАТОВ 89 Мы знаем, что скалярное произведение вектора с собой есть положительно определенная квадратичная форма, и обратно, каждая симметрическая билинейная форма, которой соответствует положительно определенная квадратичная форма, .может быть принята за скалярное произведение.
Поэтому всякая теорема о положительно определенных квадратичных формах является одновременно некоторой теоремой о векторах в евклидовом пространстве. Пусть еы ез,..., еь векторы в евклидовом пространстве. Определитель (еы е~) (е, ег) (е, еь) (е2, е1) (еэ, ег) ...
(е2, ел) (ел, е1) (еы ез) ... (еь, еь) называется определителем Грома этой системы векторов. Т е о р е м а 4. Определитель Грама любой системы векгаоров всегда больше или равен нулю. Он равен нулю тогда и только тогда, когда векторы еы ез,..., еь линейно зависимы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы еы ез,..., еь линейно независимы. Рассмотрим билинейную форму А(х; у) = (х, у), где (х, у) скалярное произведение векторов х и у. Тогда определитель Грама есть определитель Ьы рассмотренный в этом параграфе [см. формулу (7)).
Так как А(х;х) положительно определенная квадратичная форма, то, в силу теоремы 3, Ьь ) О. Докажем, что в случае линейно зависимых векторов определитель Грама равен нулю. Действительно, если ем ез,..., еь линейно зависимы, то хоть один из них, на- 1гл. ь 90 П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО пример еь, есть линейная комбинация остальных: еь = Л1е1+ Лзез +... + Ль 1еь Поэтому последняя строка в определителе Грама есть линейная комбинация остальных. Значит, он равен нулю. Теорема полностью доказана. В качестве примера рассмотрим определитель Грама двух векторов х и у: Утверждение, что ьз2 > О, превращается в этом случае в неравенство Коши — Буняковского. П р и м е р ы. 1.
В евклидовом трехмерном пространстве (или на плоскости) определитель Ос,х) 1х,у)) Ь х) Ь у)~ имеет следующий геомотрический смысл: з1з равно квадрату плошади параллелограмма, построенного на векторах х и у. В самом доле, по определению скалярного произведения (х, у) = (у, х) = )хбу! соя Зз, где р угол между векторами х и у. Поэтому Ьз = !х! )у) — )х! (у) соз Зз = )х! )у! (1 — соз Зз) = (х! )у( аш Зз, т.е. з1з равно квадрату площади параллелограмма, построенного на векторах х и у. 2. В трехмерном пространстве объем параллелепипеда, построенного на векторах х, у, х, как показывается в аналитической геометрии, равен абсолютной величине определителя хз хз хз уз уз уз зз где х„у„з, ---координаты векторов х, у,з в ортогональном базисе.
Вычислим квадрат етого определителя, умножая строки на ~б) НРИВВДВНИЕ К ОУММВ КВАДРАТОВ строки.гь1ы получим: 91 хг-Рхг-Ь хзс хгуг Ьхгрг+хзуз х121 Рх гг+хзгз Угхг-Ругхг+узхз уз+у +Уз у121+угзг+Узхз 2 г 2 ггхг+згхг+ззхз 21У1 Ь2202-Ь22Уз 21 Ьгг+22 2 2 2 (х,х) (х, у) (х, 2) (У,х) (У,У) (У,з) (2,Х) (2, У) (2.,2) Таким образоьг, определитель Грама векторов х., у, равен квадрату объема паратлелепнпеда, построенного на зтих векторах. Аналогично можно показать, что определитель Грама к векторов х,у,...,ю в й-мерном пространстве *) равен квадрату опре- делителя Х1 Х2 ..
ХЬ У1 Уг - Уь (9) Шгшг...ЮЬ где х,, соответственно у, и т.д. — координаты вектора х, соответственно у и т.д.в каком-нибудь ортогональном базисе. По аналогии с трехмерным пространством модуль определителя (9) называют объемом Й-мерного параллелепипеда, определяемого векторами х, у,..., нг. 3. В пространстве функций (пример 4 з 2) определитель Грама пишется так: ~Ь (~)Ь (2)бь ~ИМИ(2)а ~Л(2) 22 Для нас, конечно, несущественно, что размерность пространства равна к. В действительности пространство гс может иметь произвольное (даже бесконечное) число измерений, поскольку наши рассуждения могут быть отнесены к подпространству, порожденному векторами х, у,..., .иг.
ь / Уг(С) бс / гг«)11(2)оз ь ь УЕ)(2«)а ... ~У,(С)Уь(2) 22 12 (2) ~~~ / гг(2)22«) оь (ГЛ. 1 92 пь Л1ВГНОЕ Преетг яяСтне и доказанная нами теорема означает: Определитель Грома системы бгунниий ) О. Длл линейной зависимости сггстемы гйуннгЛий необходимо и достапгочно, чтобы их определитель Грома был равен нулю. 9 7. Закон инерции 1. Закон инерции. Приводя квадратичнун1 форму А(х: х) к сумме квадратов, можно по-разному выбирать тот базис, в котором зта форма приводится к сумме квадратов, т.е.
к виду А(х;х) = ~~» А,,~~. г=! Все те Лб которые отличны от нуля, можно., заменяя векторы базиса им пропорциональными, сделать равными х1. Таким образом, канонический вид формы А(х; х) в некотором соответствующим образом подобранном базисе вполне можно характеризовать количеством коэффициентов, равных соответственно нулю, +1 и — 1.
Так как мы можем по-разному выбирать тот базис, в котором квадратичная форма записывается в виде суммы квадратов, то возникает вопрос, зависит ли количество коэффициентов, равных нулю, +1 и — 1, от выбора базиса или же эти числа зависят лишь от квадратичной формы А(х; х) (являются ее инвариантами). Например, если квадратичная форма А(:г: х) в некотором базисе е1, е2,...
г еп имеет матрицу '9а,й'9, где агу = А(егг еу) и все определители а11 а12 ... алп г121 а22 ° ° а2п аы а12 2л1 а11 г гл2 ° ° г гмп а21 а22 ап1 ап2 ° ° ° апп 93 закон инвгции отличны от нуля, то, как мы показали в п. 2 предыдущего параграфа, все Л, в формуле (1) отличны от нуля и при приведении А(х;х) к сумме квадратов по описанному там способу число отрицательных коэффициентов равно числу перемен знака в ряду определителей 1~ '-111'->2~ ° ° ° ~ ~~>п ° Но мы могли взять другой исходный базис е>, е!2,...
..., е'„(например, хотя бы взять те же самые векторы, но в другом порядке); при этом получается другая матрица ~Оа', 3 и другие определители ~1~ ~2~ ' ' ~ ~п~ и заранее совершенно неясно, почему число перемен знака в обоих случаях должно быть одно и то же. В этом параграфе будет доказана следующая теорема, называемая законом инерции квадратичной формы: Т е о р е м а 1. Если квадратичная форма приведена двумя, различными способами, (т. е. в двух различных базисах) к сумме квадратов, то число положительных коэффициентов, так же как и число отрицательных, в обоих случаях одно и то же.
Так как общее число коэффициентов Л, в каноничоском виде квадратичной формы равно и, то отек>да непосредственно следует., что число коэффициентов Л;, равных нулю, также есть инвариант квадратичной формы. Д о к аз а т ел ь с т в о. Пусть в базисе е>,е2,...,еп квадратичная форма А(х; х) имеет вид ') А(х;х) = с>+ с2+... + сиз — срл> —... — срлд, (2) Коэффициенты Л, в формуле (1) можно, как мы знаем, сделать равными ж1 или О. Те члены, д.чя которых Л, = О, мы в формулах (2) и (3) опускаем. (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
