1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 63
Текст из файла (страница 63)
п=1 5) 1п2+~ (1+ ! ) )(х Ц2п,+и~~(* ) п=1 п=о цпьп б) !п4+ ~~~ С" ~ (х+ Ц", Л = 4; и — — 1 и — ' 8) 1+ 1п — »х — 2) + ~~~ ! — „— — „) »х — 2)п»', 3 ! 1)и Ои 2 п1п+ ц 3" 2п и=1 ! Ци 1 »2 п 1 9) 2+1П9. (Х вЂ” Ц+ ~и (-) (Х вЂ” Цаи+', В= п12п+ Ц 9 и=1 ( — Цп 1 (1 -1- — -1- + — ) хп ии1 ж (1 1, +, )хп д л=о 421. Ряд тейлора ЕО П й 1 3) ~~, ' (~, ( ) )(22п — 1 +2.2п) Д п=1 А=1 4) ~1 2(1+ — +... + — ) ', Л= 1; п=1 оо 2п 3) ~~~( 1)п — 1(1+1+ + 1 )~ д 24. 1) ~ ~( — 1)п2п(2п — 1)т "' 2, Л = 1; п=1 ) ~-~ (2п -~ 1)!!(2п+ 1) 2пп! п.=о 3) Е (2п+3)"22п (и+1), ' Л 1 п1(2п -~- Ц ' 4 п.=о 25.
1) — + ~( — Цп''1 ', В = 1; п=о 22п" 1 2) — — + 7 ( — 1)п'1 кап' ', Л = —; 4 ~-~ 2п+1 ' 2' п=о п=о 2п22 4) агс132+ ~~ (-1)п"' ', В = 1. п=о п=о 1 22п21 лпл2 3 п=о п,=о 1п ' 2 4) агс1д2+ р ( — 1)п ',, Л = 2223; п=о (-1) и-'3'"" 3) (.гсц, ), +~(-),п+, Л= п=о цп1 Епо п=о 440 Лл. 5. Функциональные последовательности и ряды и ~ь '12п)! х'п" 1 4 ~-~ 1п1)112п+ Ц ' 2 ' п=в к 1 — Ц"' 2) — +~ ~, х", Л=1; п=о 3) Е(- ) (;„'",",,*„'",",), п=о 4) хв+~п ~2"-Ц" * Л=1 12п)!! 2п+ 1 ' гг=1 п,=в ;Г ~ 1211 — Ци Хопт ) т к <2п — ЦО2"'' 4п 2 ~-г 12п 4- Цп.' п=1 к х ~"г (2п — Ц!! х "" 2 2 ~-~ 2гг"ги! 12п 4- Ц ' 29 Ц~ ~ ) хап", Л=1; 2п 4-1 и=о 3)1,~( Цп( ) ' ' Л п=о ( — цп4п '*'""' 2п 4- 1 ьУ2 п=о 2 1211 — Ц1' х (2п)!! 2п -Ь 1 ' п=1 21п — 1 + ~~, г цп-1-1 лп 1 Л 16 2и+ 1 п=о ппо п=о 1 п,г 4) +'~ ( — ) ' 2+г Л 3 2 л-л (2п+ ЦЗеп ' п=о 1 2' 421.
Ряд Тейлора З 2( — Ц ~1 ел+4 + ~2„, (2 + цЗглгг П=О гг 1 ~ (2п+ Ц!! 2 ~-л 2П 'и! п=1 1 и 31. ц ~ ~( ) хглг~, 21=по; пг(2п+ Ц п=о л-л (2п+ Ц(2п+ Ц! ' п=о глег 2~-~ 2(п 4- 2) (2п 4- Ц! ' гл ,гл-1 л=-1 п=о ог 2л. -, *2 агс1а 2 В=5 2 л-л (2п+ Ц(2п+ З)52П-' ' п=о З2.1) ~'( ') '," Л=-'; 2) ~ ' '*, Л=1; п' ' 4' (2п";Цг' п=1 п=о (2п Цп (2п)6 (4п 4 Ц ' хг ~-~ ( — Ц" (2п — Ц!! + ~ 2П+ги! (2 + Ц П=1 2п22 6) 10 1п2 — 5 1п3 — х )пЗ вЂ” ~ ...
14 = 3; П=О 2 (2П+Ц(2и+4)22"'' ' П=О п=1 -1 гпе1 1 2 ~ 1 2п -(-1 (4п+ Ц(2п 4- Ц! 3 П=О Гл. 5. Функциональные последовательности и ряды 45. Ц ~хьвп — ~хы"ц~, В = 1; 2) ~хияпись П=О п=о п=2 3) ~~ха совпав Д = 1 4) — 2 ~~ ха Д = 1. П=1 2П~ 1 5) 2ярпх(х+ ~~ „' ', Л = 1; а=1 6) 5~~~ (П!) 2п ла (2п+ 2)! а,=о .-О '" 2П22 яи(пп224) п! п=о оо ° и 3) ~ сонно 2 4) ~~- совпо и Вьип и И! и! п=-О п=о 55. 1) — 1п, !х~ < 1; 2) — 1п(1 — х2), ~х~ < 1. 2 1 — х' 2) ~ ~( — 1)п —, П=О 22п -1 И) 2, +~(-1)"(' — — ") '"+" Л= -'. п=-1 ЗЗ.
1) !п2+ — + — — — ' + ...; 2) 1+хе — — + — хе+ ...; 2 8 192 3 б 2 3) х + — — — + — + ...; 4) 1 + х + — — — + ...;. 4 36 96 2 8 х2 х2 хе 5) 1+х+ — + — +,,.! 6) 1+х+ — + — +... 2 2 2 3 а еп.2 40. 1) у = ~~~ —, = е""; 2) у = ~ ( — 1)п = агс18х; П=О П=О 3) у = Е( — 1)",Л,ап"' = ! Л: п —.-О ,2 ,Е 2 4) у — 1 — + — + 2.3 2 3 5 6 2.3.5 6 8.9 (2п) ~ ьа ~1 22П(и') л л 22П(и!)2 2и-!-1 (2и)! п=о П=О 1 в 1, 1 41. у = 1+ — У, + — х + — хв + ... 6 24 40 42. у = 1 '- — (х — 1)2+ (х 1)з ! — (т.
— Це+ ... 2 6 8 43. у=1+я+х +хе+ — х +... 5 В=1; 491. Ряд Тейлора 56. 1) (1+ х)/(1 — х)л, ~х~ < 1; 2) (1+ 2хл)е" . 57.1) т,, х>0;. 2) 1/„гх, х>0; 3)!п(1/(1 — х)), — 1<х<1; 4) х'/(1 — х)', ~х~ < 1; 5) (1 + х)/(1 — х), ~х~ < 1; 6) (аггс8 х)/х — 1, ~х~ < 1. 58.
1) х(3 — х)/(1 — х)яз ~х~ < 1; 2) 2т/(1+х)л, ~:т~ < 1; 3) (1+ Зхл)ел, 4) (1 — хл/2) соех — (х/2) япх; 5) е."1'(х'/4+х/2+1); 6) (ха+1+1/т)е ' — 1/х. 59 1) (1 — т) г1л — 1<х<1. 2) (1 — т/2) г1з — 1 — 2<х<2; 3) 1+ ' 1п(1 — х)з ~х~ < 1: 4) 2хагсгцх — 1п(1+ хл), ~х~ < 1; 5) — агс182х+ — 1п, (х! < —; 6), )х) < 1. 1 1 1+2х 1 х(1+4х-рх ) 2 4 1 — 2х' 2' (1 — х)з 60.
1) х(х+1Их +16х+ц Ц < 1 2) — — — — , 1п(1 — х), ~х~ < 1; (1 — х) з 2х 2х' 1 1-Г-х 1 2х — 1 зг 3) -з ° з .з — .зз +, — з *(з: з,, Гз,з з,з' 4) — 1п(1 + х) + — / — ' — х — — + 1п(1+ х)), — 1 < х < 1; 3 Зхзз 2 3 5) сое-огх, если х > 0; сЬ|/ — х, если х < 0,: 6) — ( лЬ ~/х — сЬ ~(х), если х > О, 1 /х-~-1 — зя — с езгГЛ)г * п. 4(, Я 61. Ц 2(агсяпх)-'з (х) < 1: 2) ео"'яп(ешх). 62. 1) (1 — х — ха — хл) ', (х) < 1.
63. 1) 2е, 2) Зол; 3) — (соя 1 — вгп1); 4) —; 5) —; 6) 2 2' 2',,г2 64. 1) лл/3 — 3; 2) лл/4 — 39,116; 3) 2 1п2 — 1; 4) 1п2 — 1/2; 5) 2(1 — 1п2); 6) (2/З)1п2 — 5/18. 65. 1) 2 1п2; 2) — — 1п2; 3) — — — 1п2; 4) — 1п2+ —; зг 8 2 1 зг~ГЗ 2 ' 9 3 ' 3 18 5) 3 — — — — 1пЗ; 6) 3 — — — 2 1п2. лаз/3 3 зг~ГЗ 6 2 ' 6 66. аг/х. 67.
х/(1 — х) при ~х~ < 1 и 1/(1 — х) при ~х~ > 1. 68. хл/(х — 1)~ при ~х~ < 1 и х/(х — 1)й при ~х~ > 1. 69 1/(х — 1) х > 1 70 1) 1 2) 2 — лг/6 3) 1/24; 4) хз'/12. 71. 1) 0,9998; 2) 0,9848:, 3) 0,1736; 4) 0,0175; 5) 5,0658; 5) 0,1823. 72. 1) 0,158, 2) 7,937, 3) 0,304; 4) 4,082, 5) 1з609, 6) 0,340. 73. 1) 0,30903, 2) 2,71828. 1л. б. Фуннцианальньге ааследааательнасти и рядьг 74.
3,1416. 75. 3,141592654. 76. 1) 0,946;. 2) 0,608;. 3) 0,905; 4) 1,057;. 5) 0,310; 6) 0,927. 77. 1) 3,057, 2) 2,835; 3) 0,488; 4) 0,337; 5) 0,384; 6) 0,507; 7) 0,119; 8) 0,783. 79. 1) Да; 2) нет. 81. Нет. 3 22. Тригонометрические ряды Фурье СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд вида ао+ ,') [а„совгьх+Ь„ьбпгьх) [1) а=1 называется триганометричеснил рядом. Его частичныли сулмали 5„(х) = ао+ а, совх+ Ьг япх+ ...
+ а„совпх+ бавшпх являются последовательные конечные линейные комбинации тригоно- метрической систелчы функций 1, совх, вшх,...,сових, вшпх, ... [2) Система функций [2) обладает свойстоом ортогональности: сових совгпхг1х = О, и ф т, яппх яп тх йх = О, и ф т, л сових в1ппьх.г)х = О, п,т. = 0,1,2,... Отметим также следующие равенства: а а 1г1х = 2л, / сов ггхйх = г0 ~ яп гьхг1х = л, и Е И. Г, г — л — л — л В этом параграфе будут рассматриваться фу-нкции 7, определен- ные на некотором отрезке [а; Ь1, кроме, быть мо'кет, конечного мно- жества его точек, которое может быть пустым, и интегрируемые по Риману на любом отрезке, содержащемся в отрезке [а: 51 и не содер- жащем точек указанного конечного множества.
Для таких функций определено понятие несобственного интеграла. Если сходится иптегь рал / [1[х)[г1х, то функция 1 называется абсолютно интегрируемой на отрезке [а;51 З 22. Тригонометрические ряды Фурье 2 Ь„= — / Д(х) зги их с!х, и Е И. о ап = О, и = 0,1,2,..., Коэффициенты Фурье любой абсолютно интегрируемой функции стремятся к нулю при п — 1 со: (5) 11ш ап лл !ш1 Ь„= О. п — ~по и-плп Функция называется кусочно непрерывной ца отрезке !а,6], если она непрерывна во всех точках этого отрезка, крол1е конечного числа точек, в которых существуют ее конечные односторонние пределы.
Функция называется кусочно гладкой на некотором отрезке, если она сама и ее производная кусочно непрерывны. Теорема 1. Рлд Фурье кусочно гладкой на отрезке ( — я;к) функции / сходится в каждой точке интервала ( — л; к) к значению Д(х -Ь О) -Ь 1(х — О) 2 (в частности, в точке непрерывности функции 1' к ве значению в этой точке), а в точках х = — я и х = я к значению )(-к + О) -л г(л — О) 2 Теорема 2. Если функция / имеет на отрезке ( — к;я) !с — 1 непрерывных производных, Ь > О, причем /110( — я! = 1®(я), у = О, 1, ...
Если функция / абсолютно интсгрируема на отрезке ( — я; я), то тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого (называемые коэффициентами Фурье функции 1) определяются по формулам ао = — / /(х) йх, ап лл — / /(х) соа пх дх, (з) Ьп = — / Д(х) яппхдх, п Е И, 1 г называется рядом Фурье функции /, или, подробнее, ее тригономет- рическим рядолч Фурье. В этом случае пишут ао + ~(ап соа пх + Ьп яп пх), (4) п=1 Частичные суммы Я„(х) ряда Фурье функции / обозначают так- те оп(х; Д.
Если функции / четная, то л л 1 г 2 г ао = — / /(х)йх,. ап = — / /(х)совгьзгдх, Ь„= О, и Е И; о о а если — почетная, то Рл. б. Функциональньсе последовательности и рядьс где 1 . 1 со = ао со, = — (а„— Ь„1), с „= — [по+ 6,1), и ь И, откуда видно, что Г п=еп Если ряд [1) является рядокг Фурье функции 1, то сп = — .1(х)е 'плдх, п Е л. 2я,/ [8) Ряд [7) с коэффициентами [8) называют рядом Фурье в комплексной форлсе функции 7' и пишут сне"*. (9) Если функция 1" (х), — л < х < л, приниъгает комплексные значения, Д[х) = и(х) + гг[х)1, где функции и[х) и о(х) абсолютно интегрирусмы на отрезке [ — к;к), то ряд [7), коэффициенты которого определяются по формулам (8), называетсп рядом Фурье функции 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
