1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 61
Текст из файла (страница 61)
о а Используя разложение (11), получаем 71+ ) ~ 1)п-1, и — 1 х и 1л. д. Фуннциональные последовательности и ряды я Используя разложения (11) и (12), находим и=о (53) (о2) име м и=-О 1пЗ ге 1п2+ 2 ~~,„„1,09861. я и=о При мер 13. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл 2 ,7= /е *с)х. о я Используя формулу (3), получаем 2 ( — Ц х" и! откуда находим с= (-Ц" л-л пд (2гь ж Ц »=о Полученный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница 1Я 15). Позтому для его пь-го остатка "-= Е ( — ци п! (2п+ Ц и=.т;ь справедливо неравенство 1 (т -р Ц! 12пь -р 3) Так как цсравеиство ~ги,~ < 0,001 выполняется при гп > 4, то н (-Ц" 1 1 1 1 ,7= ~ =1 — -+ — — — + —, и! (2п ~ Ц 3 10 42 216 ' и=-О откуда,1 — О, 747.
А откуда при х = 1Д2т+ 1) получаем равенство (52). Обозначим П„~ ) и=р и воспользуемся при х > 0 неравенством 2хея ' (2р-'и Ц(1 — хе) Отсюда, при т = 1/3 (гп = 1) получаем Лр < 10 ь при всех р > 5, а при х = 1/5 (гп = 2) иаходим Лр < 10 ь для всех р > 3.
По формуле г е 4 21. Рлд Тейлора здддчи 1. Используя разложения 13) — 17) доказать, что: 1) е" = лг е"*" —,1х — хо)", х 6 Й; п=о 2) ах=~~», х"., О,>0, хб1г; п=е еп 3) гйах=~~ т", хбй; ~-~ 12п)1 иио гиен 4) янах = 5 1 — 1)" х''"+', х Е й. 12п+ 1)! п=о 2. Используя разложения 18), 134), 136), 137), доказать, что: а=о 2) = ~ х'", )т( < )а( а Ф О. и=о 1 1 1 — 1) и(2 п — 1)!! п=| 4) +*'= + — +Е ~ ) "*'" И < >О 2а 12п)!!Оеи и=-з 3. Использун разложения 111), 112), доказать, что; СЮ п и 1) 1п1а+Ьх) =1па+~( — 1)п '( — ) —, (т) < —, а>0, ЬфО; 2) 1п = ~ ( - ) , )т( < а, а > О.
а=.о Разлоягить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости Л полученного ряда 14 12). 4. 1) е *; 2) '; 3),; 4) 11 — хз) '~гз; е 5) яп —; 6) ейных,Г2); 7); 8) ьг1 — хз. ~/1 — 2т 5. 1) езе+2е е; 2) 11+ х)е *; 3) хз1п14+хз); 4) 11 — х) 1п11 — т); 5) 1п,' '; 6) 11 + хз)агс18 т; 1 — х 1 7) — 1з1гх+япт); 8) агссозх. 2 1л.
5. Функциональные последовательности и ряды 6. ц ох — 4 2),; 3), 1, 1) Зхж4 х+2' хе — 2х — 3 ' 2хе -~- бх — 3 ' хе + х 5) , ' ; 6) „ ,; 7) , ; 8) хе — 5х ж 6 ' (хе ж 2)е ' (х ж 1)(хз — Ц ' 5 — 4хе — х' ' 9) о Зх ; 10) 2хе -~- 5х — 3 ' 6 — 5х — бхе 7. 1) ь ; 2) ь , 3) Зх'-~-10хе+3' 2хь+5хе+2' (1 — хеДхе+4) ' 2х +х+3 ) 1 6) 1 11 — х)е12 ж х) ' 1 — х — хе ' 1+х+ хе 8. 1),,; 2),,; 3) хз -ухе + Зх -Ь 3 ' хз + хе — 4х — 4 ' хз -Ьхе -Ь 2х + 2 ' 4) :е'+ хе+ хе+ х -Ь 1 2+, 2 , е 9. 1) !п ; 2) 1п(12 — х — тз); 3) 1п ; 4) 1п 2-~-Зх ' Л вЂ” 2хе х + 1 5) 1и; 6) (хе+5)1п 2х+ 1 2) 1 х- — 8х ж 16 3) 1 10+ Зх — х хе — 4х -~-4 ' х ж 8 ' 4 — Зх С1 из —.ьь: -2е; ь)и,; 6)ь Зле Ч-х — 10 ' 4хо — 4х — 3 11.
Ц совах; 2) вшЗтяп5х; 3) япхсовзх; 4) хв1п2хсовЗх; 5) вшз х; 6) хсовз 2х. 12. 1) хзсЬзх; 2) хвЬзх: 3) сЬзх; 4) япвх. 13. Доказать, что если а > О, то — 1 "2 — 1н 1п(х+ тгсаз+ха) =1па+ — -'; ь ~ ), ~ )" хзи+'. а ~-~ (2те)!1ази+1Г2Н + 1) Найти радиус сходимости этого ряда. Разложить в ряд Маклорена функцию и найти радиус сходимости Л этого ряда (14 — 16). 14.
1) х1п(х+ тстз+2); 2) х1п(хи+ т/9+хе); 3) 1гз1хз + уг9+ хь) 4) 1п(тз + у 64+ хе); 5) (хз — 1) агсвш2хз; 6) хз агсгов2х; 7) 1п(е'+з'(хз + тУГ+ хл)). 15. 1) х агсяпх+ тсТ вЂ” хз; 2) х агссовх — тсТ вЂ” хз; 3) 2хагс18х — 1п(1+х ); 4) — — + '— исТ вЂ” х' + — агсяпт; 3 х з 1 1 1+х 1 / Г2+х1 Х 5) — 1п + — агсгях; 6) 1п р)1 ) + агсгя —. 4 1 — х 2 1/2 — х( 2 16.
1) х 1п(х + Л + хз) — Л + хз; 2) ( — +х)~е з' — ( — — т)езе; 3) 1пЦ2+х)зь')+1пН2 — х)з е); 4) х~/х'+ 4+ 41п(х+ ъГхз + 4); Гл. д, Функциональные последовательности и ряды 23. П помощью дифференцирования ряда (9) доказать, что; Ц ~ (п+ Ц(п+ 2)хи = „, ~х~ ( 1; (1 — х) ' п=о ) Е (и ж Ц(п ж 2Пп ж 3) 1 3! (1 — х)' ' о=о 24. Разложить в ряд Маклорена функцию /®(х) и найти радиус сходимости полученного ряда, если: Ц /(х) = агсС6 х; 2) /(х) = агсвшх; 3) Д(х) = — х" агсып4х. 8 Разложить в ряд Маклорена данную функцию, используя ряд Маклорена для ее производной.
Найти радиус сходимости полученного ря- да (25 — 32) х ж 1/2 2х — 3 2) агсгя ': 3) агсгя х — 1/2 ' х+6 25. Ц агсга 1-~- х 4) агсСя 1 ж2х 2-~- х 3 — 4х 2 — 2хе 26. Ц агсгй „; 2) агсга,; 3) агсгя 2 — хе ' 6-ь 2хе ' 1 ж 4хе ' 6+х 1/3 ц- зхе з 2 — х~/2 4) агсга ,; 5) хзагсгй ,, ; 6) хзагсС8 3 — 2хе ' хе — 1 1+ хз 27. Ц тсСр,)/; 2) агсгя(х+ т/Г+ хв); 3) — агсгя /1 — 2х 1 ь/2х ~/1- 2х ь/2 1 — хе ' 4) х~агсгя Я вЂ” хе 2хе х 28. Ц агссСя ',; 2) агссгй ,; 3) агссгя /Г: 4хе ' 4) агссгя 1+,/à — .'-' 2х х 29.
Ц агсяп,: 2) агсяп 1-Ь хе ' 1+хе 4) 2хагсяп '; 5) агсяп(2хт/1 — хв). 1 4х хе хе 30. Ц вЂ” атосов ; 2) х атосов ' ; 3) атосов х/1+ 1бх' х/4+ хл Л6+ хл 4) х агссов ; 5) хз агссов ,; 6);г агссов(2хт/1 - хв). 9 ж хе 9-Ь хе ' 3) 1+ агсяп Яб+х' ' 9) 2+ 1 1п(21 — 41+ 1Ц сгг, хо = 1. 22. Перемножив соответствующие рнды, разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости полученного ряда: 481.
Ряд Тейлора 31 1) ~е — с <11. 2) 1 <41. 3) ~Го з1<Г<41 ,г о о о о о о Ж, 2) < 1п — —; 3) / 1 — С С' о о о ') У,—,",' —, ') У '— ;".'-,. ') Г"='~"': х ;с <2 7) ~Ген<сей Ж; 8) 1<<(х+ чГЗ+ха) +х 1 <П; 1-Ь 4 у о о х' х Зх -~- 1 Г 1 — соя г х г е1<с 9) агссд + х/ й; 10) гцссоз + х ( <И. Зх — 1 С с«1 Ч- хс о о 33. Найти первые четыре (отличные от нуля) члена ряда Маклорена данной функции: 1) 1<<(1+ е'); 2) (1+ х)"'; 3) ~ '; 4) е"''; 5) ем". 141 ,/ 1в(1-ЬС) ' О) пссип х о 34.
Показать, что функция у = сх * является решением диф- ~-~ 2пи! и:=О ференциального уравнения у' — хр = О. п-с 35. Показать, что функция у = 7 является решением диф— и'. п=о ференциального уравнения ху' = (х+ Цр. и 36. Показать, что функция у = у — „является решением дифл (и!)-" п=.о ференциального уравнения ссдп + у' — р = О. 37. Показать, что функция у = У '' „является решением дифс-< Г2<с)п. п=о ференциального уравнения уп — ху' — у = О. 38. Показать, что фу'нкция х с < 1)п с<с 2е 2е 4е бе Ц2и)!!)е удовлетворяет дифференциальному уравнению хуп+ 1<'+ ху = О. ,сп 39.
Показать, что функция р = ~~ удовлетворяет диффе- ~-' (4и)! п=.о рснциальному уравнению ус~с — у = О. Рл. д. Функциональные последовательности и ряды пза 40. Найти разложение в ряд Маклорена решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям: 1) у' — д = О, у(0) = 1: 2) (1 + хз)у' — 1 = О, у(0) = О,. 3) ун + Лзд = О, у(О) = О, у'(О) = Л; 4) ун + хд = О, д(0) = 1, д'(О) = 0: 5) (1 — ха)ун — ху' = О, у(0) = О, у'(0) = 1; 6) (1 — хз)ун — 5ху' — 4у = О, д(0) = 1, у'(0) = О.
41. Найти первые четыре (отличные от нуля) члена ряда и у= лллапХ |г=а сумма которого удонлетворяет дифференциальному уравнению див — ху'+ у = е* и начальным условиям у(0) = 1, у'(0) = О. 42. Найти первые четыре (отличные от нуля) члена ряда у = ~ ~ан(х — 1)", сумма которого удовлетворнет дифференциальному уравнению ун = (у')з + ху и начальным условиям у(1) = 1, у'(1) = О.
43. Найти первые пять (отличных от нуля) членов ряда у = ~а„х", п=а сумма которого удовлетворяет дифференциальному уравнению у' = = хз -(- уз и начальному условию у(0) = 1. агсяа х 44. Пользуясь тем, что функция у = удовлетворяет диф- ъ~Т вЂ” хе ференциальному уравнению (1 — х~)у' — хд = 1 и условию у(0) = О, доказать, что агсяи х ~ (2п)!! ,~1 — хг л-~ (2п -Ь 1)!! п.=о 45. Разложить в ряд Маклорена функцию и найти радиус сходи- мости Л полученного ряда: 1) 2) (1 Ф х)(1+ хе)(1 + х)(1+ хь) ' 1 — 2х сока + ха ' 3) ь; 4) !п(1 — 2х, сола+ха); 5) агссоз(1 — 2хз): 1 — 2х сои о+ хе ' ( агсяи х ) з 46. Пусть !'(х) = аг1!гх — — функция, обратная к функции 1!гх = = з!гх/с!тх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
