1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 59
Текст из файла (страница 59)
задачу 47 из ц 16)., то он суммируем и по методу Пуассона-Абеля к той же сумме (теорема Фробениуса). 31. Доказать, что если ряды ~ а, и ~ Ь суммируемы по меп=о п=о тоду Пуассона Абеля к суммам А и В соответственно, то и ряд (аоЬп + агЬп-1 + ... + ап 1Ьп + апЬО), т. е. произведение данных ряи,=о дон, суммируем по методу Пуассона- Абеля к сумме АВ.
32. ПУсть ап > О, Ьп > О, Мгг Е гй. Доказать, что: 1) ЕСЛИ !Ьвг —" = А И ряд ~ ~ап раСХОднтея, тО иьиь Ьп и=! 1пп (~ апх~ 17 ~ ~Ьихи) = А; * — ь! — о п=1 п=1 4ед, Степенные ряды 405 и и 2) если 1ш1 — = .4, где Аи = ~~ ия, В„= ~~~ бя, и если рнд Аи и — Аии Ви й — — 1 а=-1 Е ° А, расходится, то и=-1 Н (А „." А 1 .')=А.
.и — А1 — 0 и=1 и=1 ОТВЕТЫ 1.ЦЛ=1; 2)В=1/3; 3)Л=2: 4)Л=4; 5)В=О; 6)В=ее. 2.1) Л=1; 2) В=ос; 3) Л=е: 4) В=со: 5) Л=1/4/2; 6) Л= ъ'3. 3. 1) Л = 4; 2) В = сс; 3) В = оо; 4) Л = й "; 5) Л = 1; 6) В = 1. 4. 1) Л = е; 2) В = 1/2; 3) Л = е; 4) Л = еа; 5) Л = 1/е; 6) В = 9. 5. 1) Л = 1/(41/2): 2) Л = 4'2:, 3) Л = 2 уе/2/3; 4) Л = 1 6. 1) — 2 < х < О; 2) 1 < х < 5; 3) 1 †,,~е/2 < х < 1 + у/е/2; 4) О < х < 6; 5) я/6 < х < л/2; 6) — 1 < х < 1. 7.1) В=1, 0<х<2, при х=О и я=2 абсолютносходится; 2) Л = 3/2, -7/2 < х < -1/2, при х = -7/2 и х = -1/2 расходится; 3) В = 1, -1 < х < 1, при х = 1 сходится условно, при х = -1 расходится; 4) В = 1, — 1 < т, < 1, при х = — 1 и х = 1 сходится условно; 5) В = 3, — 2 < х < 4, при х.
= — 2 сходится условно, при х = 4 расходится; 6) В = 1, — 3 < х < — 1, при х = — 3 и х = — 1 расходится. 8. 1) Л = 1/5, -1/5 < х < 1/5, при х = -1/5 сходится условно, при х = 1/5 расходится; 2) В = 1, — 2 < х < О, при х = — 2 и х = О сходится абсолютно; 3) Л = 1, — 4 < х < — 2, при х = — 4 и х = — 2 сходится абсолютно; 4) Л = 1, -1 < х < 1, при х = -1 сходится условно, при х = 1 расходится; 5) Л = 1/т/3, 1 — 1/ъ/3 < х < 1 + 1/./3, при х = 1 х 1/ъ'3 расходится; 6) Л = 1/4, -5/4 < х < -3/4, при т = -5/4 и х = -3/4 расходится. 9. Ц Л = 1/2, -5/2 < х < -3/2, при х = -5/2 и х = -3/2 расходится; 2) В = 1, — 4 < х < — 2, при х = — 4 и х = — 2 сходится абсолютно: 3) В=е, — е<х<е, при х=хе расходится; 4) В=1, 0<х<2, при х=О и х=2 расходится; 5) В= 1/3, — 4/3 < х < — 2/3, при х = — 4/3 и х = — 2/3 расходится; 6) Л = 1/3, -1/3 < х < 1/3, при х х 1/3 расходится.
406 Рл. ос. Фуннционильные последовательности и ряды 10. 1) Л = 1, 0 < х < 2, при х = 0 сходится абсолютно, если а > 1, и условно, если 0 < о < 1, при х = 2 сходится абсолютно, если о > 1, и расходится, если а < 1; 2) Л = 1, — 1 < х < 1, при х = — 1 сходится абсолютно, если о > 2, и условно, если 0 < о < 2, при х = 1 сходится абсолютно, если а > 2, и расходится, если а < 2; 3) В=ппп11/а;!/Ь), — В < х<Л, при х= — Л сходится абсолютно, если а < Ь, и условно, если а > Ь, при х = В сходится абсолютно, если а < Ь, и расходится, если а > Ь; 4) Л = таях(а; Ь), — Л < х < Л, при х = хВ расходится; 5) Л = 1, — 1 < х < 1, при х = — 1 сходитсн абсолютно, если а > О, и расходится, если а < О, при х = 1 сходится абсолютно, если а > О, и услонно, если -1 < а < 0; 6) Л= 2", — 2" + 1 < х < 2 +1, при х= — 2" +1 сходится абсольотно, если о > 2, и расходится, если о < 2, при т, = 2о + 1 сходитсн абсолютно, если а > 2, и условно, если 0 < а ( '2.
11. 1) Л = 1, 0 < х < 2, при х = 0 и х = 2 сходится абсолютно; 2) Л = 1, — 1 < х < 1, при х = х1 сходится условно; 3) Л=О., х=О; 4) В = 1, 0 < х < 2, при х = 0 расходится, а при х = 2 сходится условно; 5) Л = 1, 0 < х < 2, при х = 0 расходится, а при х = 2 сходится условно. 12. 1) — 1 < х < 1; 2) если а>1, то 0<с<2, аесли а<1, то 0<х<2; 3) — оо < х < +со. 13. Интервал сходимости — 1 < х < 1, при х = — 1 сходится абсолютно, если 7 — 1а+ Щ > О, и сходится условно, если — 1 < 7— — (а + Д) < О, при х = 1 сходится абсолютно, если 7 — (а + Д) > О, и расходитсн, если у — (а+ 6) < О. 14.1) е а<х(еа: 2) х>0; 3) ~х — 1~>1,12; 4) х> — 1; 5) и/3+ нй < х < 2н/3+ нй, й 6 Е; 6) ~х — лй~ < т~4, й 6 л. 15.
1) Л"'; 2) ьУЛ: 3) пьах(В; 1). 16. 1) Л > ппп(ЛИ Ла); 2) Л > ВьЛа. 21. 1) Л = ~а~; 2) Л = 'Да,~; 3) Л = 1/исЗ; 4) Л = 1/тсс2. 22 1) Л = 1; 2) В = иГ2; 3) Л = 2; 4) Л = тГЗ; 5) Л = 1; 6) В = ъ~7. 25. Нет. 29. 1) .4 = 1/2; / О, если д ф О, /11/2)с16(6/2), если д ф О, )+ос, если 0=0; ) О, если 0=0. Вей Ряд Тейлора 407 д 21. Ряд 'Гейлора ео б) в форме Лагранжа г (х) = ~ ) (х — х )и» '»и+ 1)! где 0 пРинадлежит интеРвалУ с концами хо и х; в) в форме Ловли То "1хе -~- В(х — хо)) ~1 и.' О < В < 1.
СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Понятие ряда Тейлора. Остаточный член ряда 'Гейлора. Если функция 1 определена в некоторой окрестности точки хо и имеет в точке хо производные всех порядков, то степенной ряд У ( е)~ )и (1) п=о называется рядом Тейлора функции Т в точке хо. В случае, когда хо = О, ряд (1) называют рядом Маклорена. Если функция 1 регулярна в точке хо, т. е. представляетсл в некоторой окрестности точки хо сходящимся к этой функции степенным рядом ~(х) = ~ ~а„(х — хо)", ~х — хо~ < р, р > О, п=о то функция 1 бесконечно дифферепцируема в окрестности точки хо и в этой окрестности равна сумме своего ряда Тейлора (1), и, следовательно, коэффициенты ап степенного ряда задаются формулами Г"'"' (хе) ао = У(хо), а.
= , , и Е М. Обратное неверно: существуют функции, бесконечно дифференцируемые в окрестности точки хо, ряд Тейлора (1) для которых не сходится при х ф хо к Т(х). Обозначим и ь ~п(Х) = ~ ~, ' (Х вЂ” ХО)", ГпФ = .~(Х) — ~п(Х) ь=о и назовем г »х) остаточным членом рлда Тейлора для функции Г' в окрестности точки то (или в точке хо). Тогда если фувкция 1"»"ьО(х) непРеРывна на интеРвале Ле = (хо — д,хо + д), то длл любого х Е Ь остаточный член можно представить: а) в интегральной форме „С) = —,1<Х вЂ” Г) Урп")Ядй 1л. зп Функииональньье последовательности и ряды 408 п,=е 2. Разложение основных элементарных функций в рнд Маклорена. 1.
Показательная функция: и (3) п=о 2. Гиперболические функции: еп (2гь)! ' лп ьь 2 1' % п:=0 3. Тригонометрические функции: ( — 1)пх " (2гь)! цп зпы а1пх = ~~ь (7) п=а Ряды (3) — (7) сходнтся для всех х й ( — сс; сс), т. е. радиус сходи- мости каждого из этих рндов равен +со. 4. Степенная функция: (1 + х) = 1 + Е Спх", (8) (4) (6) п=з где о1о — 1)..йсь — Оь — 1)) а и! Если о ~ О, о ф к, ()с Е У), то радиус сходимости ряда (8) равен 1.
Важные частные случаи формулы (8): (О) п=а ( 1)п и 1 + 3' п=е (10) Те о р е ма. Если функция 7' и все ее производные ограничены в совокупности на интервале зл = (хе — б;ха -ь б), т. е. существует такая постоянная М ) О, что для всех х Е Ь и для и = О, 1,2, ... выполняется неравенство ф"~(х)~ < М, то функция з" представляется в каждой точке х е Ь сходящимся к ней рядом Тейлора: Л.) = ~ ' '*"' (Х вЂ” )и (2) 921. Рид ТейлоРа 409 (12) и=1 полу.
чаем ряд (2 1) й 'И~и1 агсаго х = х + 7, н 2п)!! 2п 2; 1 ии1 радиус сходимости которого равен 1. 4. Элементарные функции комплексного переменного. Показательная, гиперболические и тригонометрические функции для комплексных з определя1отся соответственно формулами и е (14) и=о 2п сйз= ~ (2п)! ' п=о 2пе 1 ОЬз = ~~1 (16) п=о цп еп соаз = ~~ (2п)! п=о (15) (17) 5. Логарифмическан функция: п 1 и 1п(1 + х) = ~ (11) п=.1 1п(1 — х) = — ~~1 п=1 Радиус сходимости каекдого из рядов (9)-(12) равен 1.
3. Приемы и методы разложения функций в рнд Тейлора. Способы нахождения коэффициентов ряда Тейлора аналогичны рассмотренным в )1, 918). Отметим, что обычно коэффициенты ряда Тейлора находят с помощью формул (3) — (12), применяя различные приемы: представление данной функции в виде суммы более простых функций, замена переменной, почленное дифференцирование и интегрирование рида, метод неопределенных коэффициентов и др. Например, формулу (11) можно получить почленпым интегрированием ряда (10). В 919 (пример 2) было доказано с помощью почлен- 1 ного интегрирования ряда, = 7 ( — 1)их ", что 1 и'- хе п=о и Еии1 агстях = ~~ (13) п=о Радиус сходимости ряда (13) равен 1.
Аналогично, почленно интегрируя ряд ос ХЗ) -2Т2 1+ ~ Си ~ цикеп — 1/З 1л. ой Функциональные пооледоеательноети и ряды 410 цп ап-,~ япз=~ (18) п=о Ряды (14)-(18) сходятся во всей комплексной плоскости (радиус сходимости каждого из этих рядов равен +со). Заменяя в равенстве (14) з сначала на 1з, а затем на — 1з, получаем е" = —, е "=Е п! и! п=а п=а Так как ьзк ( 1)У азу-ь~ ( 1)а, (1а о Ц то 2 ~ (2п)! ' 21 п=е откуда, используя формулы (17) и (18), получаем е'"+е '" . е" — е созе =, япз = (19) 2 ' 2ь Из равенств (19) следует, что е'" = созз+1япз. (20) Отметим, что для любых комплексных зь и зз справедливо ра- венство Ы 'и ап';ь =Е(.
( — Ц' а (2н+ 1)! о=О е" е ' = елгь (21) Отсюда, используя формулу (20) при з = у, получаем е' = ел(соау+1япу). (22) Из равенства (22) следует, что е''зк' = е ) т. е. е' периодическая функция с периодом 2кг. Поэтому для каждого комплексного а,Е 0 уравнение е (23) имеет бесчисленное множество решений вида ю = юо + 12пп, где п Е л, а юо одно из решений уравнения (23). Если ю = в+ьн, то з = е" = еи(соя о + 1яп о), которое можно доказать с помощью почленного перемножения рядов. Из равенства (21), в частности, следует, что если з = ю+1д, где т, у действительные числа, то е = ел+Ю = е*е'".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
