1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е. /1Я стг = ~~' ап, х Е (хо — Л,:хо+ Л); *о п=о 420, Степенные ряды 997 Заметим, что ряд ~ ~гп сходится, если ф < 1, и расходится, если п=е ее ~1~ > 1. Следовательно, ряд ~ 5"зш' сходится, если бааз < 1, т, е. и=о Прн ~г~ < 1г!4о5, И раСХОднтея Прн ~З~ > 17!Я. ИтаК, радИуС СХОдИМОС- ти ряда В = 17!зУ5. Заметим, что В можно найти и по формуле (4). В самом деле, так как 1пп Яс„~ = 1пп 'згебп = з75 и,— !еа и — !ее то по формуле (4) получаем В = 1,11зо5. А П р и м е р 2. Найти область сходимости степенного ряда: и=! п=! п=! А 1) По формуле (5) находим радиус сходимости ряда В = 1.
Ряд сходится в интервале (О;2). При х = 2 ряд расходится, так как для его и-го члена ап спРаведлива асимптотическаЯ фоРмУла ап 2,г(Зп). При х = О получаем сходяшийся по признаку Лейбница ряд 2п-91 ( )п Зпе -г- 2 п=! Следовательно, область сходимости ряда полуинтервал О < х < 2. 2) Радиус сходимости ряда равен 1гг2 (формула (5И. При т = — Зг!2 и л = — 1гг2 ряд абсолютно сходится, так как по интегральному признаку сходится ряд Е 1 п,1пе(и -1- 1) Позтому область сходимости ряда — отрезок [ — 37!2; — 1гг2). 3) По формуле (4) находим, что радиус сходимостн ряда В = 1ггЗ.
При л = ~1!!3 ряд расходится (не выполняется необходимое условие сходимости). Следовательно, область сходимости ряда — интервал ( — 1ггЗ;1г!3). а Пример 3. Пользуясь формулой (9)., найти радиус сходилз!зсти В степенного ряда (8), для функции Г" (з): 1) Д(з)=,, а=З; 2) 1(з)=,е, а=1; а 1) Многочлен зг — 4 имеет корни з! — — 2, за = — 2, а наименьшее из чисел (зя — а! = (зь — 3(, 7е = 1,2, равно )2 — 3! = 1. Поэтоыгу В = 1.
2) Многочлен (г + 2)(за + 1) имеет коРни з! = — 2, зг = г, зз = — г, причеы! (з! — 1~ = 3, ~зг — Ц = ~зз — 1~ = згг2. Позтому В = ъ'2. Гл. 5. Функциональные иоеледоеотельноети и ряды п=1 А Рассмотрим ряд ~ х". Этот ряд сходится, если ~х~ < 1 (его п=1 радиус сходимости Л = 1), а сумма ряда равна х/11 — х). Дифференцируя почленно ряд получаем и — 1 !1 — х)е ' откуда пх" = „~х~ <1.
А п=1 Степенные ряды можно использовать при вычислении сумм числовых рядов. Если известно, что ряд ~ ап сходится, то его сумму можно найти по формуле и=-О ~оп= П ~ап ", 11 1) п=о п=о П р и м е р 5. Доказать, что; Ц ~- (-1)" и- ~-' 2п -!- 1 4 ' п=о 2) = 1п2. и (12) (13) и= ! ) п,еп !1 к ( — 1) х а 1) Рассмотрим степенной ряд ~ ' . Его сумма равна 2п+ 1 п=о агстбх (З 19, пример 2). Радиус сходиыости этого ряда равен 1, в точке х = 1 ряд сходится (признак Лейбница). Применив формулу (11), получаем равенство (12).
п к х 2) Рассмотрим ряд лз — = — 1п(1 — х), полученный в 2 19 а п=1 3) Из равенства Зел + 7ез + 2 = (Зхз + 1) (хз + 2) следует, что мно- гочлен Ззл+ 7хз+ 2 имеет корни е1 = !/т/3, х = — 1/т/3, хз = 11/2, ел — — — !т/2. Так как пьш !!еь — а! = шш !!х1;) = 1/т/3, 1<1<1 1<О<4 то В = 1/т/3. А П р и м е р 4. Найти сумму ряда р их". 400 Рл. 5. Функциональные последовательности и ряды 6. Найти интервал сходимости степенного ряда 1) ~ ~(егп(!!и+1 — Огп))(х+1)"; 2) ~ ~(вш —,)(х — 3)"; л=1 п=1 2ли Х 3) ~ ~— (х — 1)ап; 4) ~ ~(агсеш — )(х — 3)п; и=! и — — 1 5) ~ ~(агс16 ) (х — — ); 6) ~! —, ( — ) и=1 п=1 Найти радиус сходимости Н и интервал сходимости степенного ряда, исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость в ноннах интервала сходимости (7-11). Т.
1) ~ ( ) ; 2) ~ ( ) (х + 2)"; 3) ~ л,=! п=1 п=о ( — Цп '2п-ЬЗ ь хг х. 1 1'х — 1)п Зпец-4 ' ~ оп и!, 3 п=о п=1 п=1 5п Ц-( — 3)п п (х-!-1)п Зп — 2 со 3) ~ ~(х+3)"; 4) ,'! (О!а — 1)х", а > 0; 5) ~~ Зп(пи+2)(х — 1)2"; 6) ~ 4п (х+1)п . п=о п=1 . ) ~. ",""(х+ )"; ) ~ '*'„": п=1 и=! 3) ~л (1 — — ) х"' 4) ~~, ' (1+ ! ! )(х 1)п. л=! п=.! (2+ ( — 1)п)" )п ) ~.~ п(1+ 2 соя(яп/4))пхп и (' — )".
2) ~;~ ((21! — 1)0) и=1 3) ~ ~( — + —., )х', а > О, Ь > 0; п=1 4) ~ ь, а>0, 5>0; 5) ал+ и! л=1 л=1 520, Степенные ряды у Ци — 1( ( .) ) (, Цп и,=у 11.1) 2' ( — 1Г; е) 2 п=о 3) ~ ~( ) ; 4) 2 , ( — ) ух — 1)"; и,'и1 10 ' 5) ~~ 11 — х)", иуп) число цифр числа и. и=) 12. Найти область сходимости степенного ряда: ии п ии Ц ~2пх"; 2) ~ ', а>0; 3) ~ —:, х", а>1. и=у пи у и —.-1 13. Определить область сходимости гипергеометрического ряда о П оуо+ ЦУ353+ Ц 1 у 1.2. ууу+Ц ...+ оуо+ Ц...уо -~- п — Ц,ЗуП-ь Ц...53-ь п — Ц хи+... 1.2...уУу ж Ц...уу ни — Ц Исследонать ряд на сходимость и абсолютную сходимость в концах интервала сходимости.
14. Пайти область сходимости ряда: п=~ ') Е п= ~ 6) ~ 1вп х 3пуп+ Ц 5) ~ 2" сони х; ух — Цп 2п ' и=у Зеп1и!)е и. 13п)! и=! 15. Пусть радиус сходимости степенного ряда ~ оияи равен Л. Найти радиус сходимости степенного ряда: 1) ~~ с~я". 1 6 52; 2) ~ с„е~т, )е 5 ДУ; 3) ~~~ 1+ )еи( п=о п=о п=о 16. Пусть радиусы сходимостн степенных рядов 2 апхп и СЮ п.=О Е-' Ьпхи Равны Лу и ЛО соответственно. Найти Условие, котоРомУ п=о должен удовлетворить радиус сходимости Л степенного ряда: Рл. 5.
Фуннциональные последовательности и ряди 402 1) ~ ~(а„+ Ь„)х"; 2) ь1 аиЬ„х". =о 17. Доказать, что степенной ряд ~~~ а„(х — хо)" сходится равное=о мерно на любом отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости. 18. Пусть = 1пп ", 1,= 1пп е „„ап.1 ан 1 Л вЂ” радиус сходимости степенного ряда ~ аит", Доказать, что 1 < Л < А. п=о ае 19. ДОКаЗатЬ, Чта СтЕПЕНПЫС рядЫ ~~ а„лп, лт Ео~ 1 И СС п=о п=о Е па„е" имеют один и тот же радиус сходимости.
е=1 20. Доказать, что если функция г(з) представима в круге ~ив — ео~ < Л, где Л > О, сходящимся к ней степенным рядом 1(е) = = ~ с„(э — ео)", то: п=о 1) для и-го остатка этого ряда справедлива асимптотическая фор- мула оо ги(э) = ~~~ се(е ео) о((э ао) ), Ь=и-1-1 т.
е. — ьО при е ьее, г„(л) (е ео)п 2) коэффициенты с„степенного ряда определяются однозначно (единственность разложения регулярной функции в степенной ряд). 21. Найти радиус сходимости Л степенного ряда 1(э) = ~ си,.'", если: п=о Ц 1л(е) = 1,, а~О; 2) ~(е) = ~, а~О, тЕ (Ч; Зле Ч-10ее -Ь 3 ' ) ( ) 2ее — бее+ е — 3 22. Найти радиус сходимости Л степенного ряда 1 — = ~~', а (х — хо)", п=о нс находя коэффициентов ан, если: 1) Р(х)=хз — т — 2, хо=О; 2) Р(х)=х1+1, хо= — 1: 3) Р(х) = х~ — х — 6, хо = 1; 4) Р(х) = тз — х + 1,:со = 2; ряд. Степенные ряды 403 5) Р(х) = 2хз + 3х — 2, хо = — 1!2; 6) Р1х) хз 8, ха = — 3.
23. Доказать, что если степенной ряд ~п спзп сходится в точп=о ке зо, то он равномерно сходится на отрезке, соединя1ощем точку «=0 стачкой я=за. 24. Пусть сходится ряд ~пап и Я его сумма. Обозначим п=о Я = ао+ а1+ ... + а„(п = 0,1,2, ...), а = Яе+Я+" +5 и+1 Доказать, что: 1) для всех х Е (О: 1) сходится ряд ~ апх"; и=-О 2) для всех х таких, что (х! ( 1п1п(1; Л), где Л Л1ОСтИ РЯДа ~ ~апХ", ВЫПОЛНЯЮТСЯ РаВЕНСтВа радиус сходи- п.=а ~ апхп = (1 — х) ~ ~Я„х" Я вЂ” ~ апхп = (1 — х) ~~5 — Я„)хп п=а п=а п=а п=а ~ апхп = (1 — х) ~(п+ 1)апхп п=о п=а (н = О, 1, 2, ...) 25, Доказать, что если ряд ~ ап сходится и его сумма равна Я, то существует я=о 1пп "~ апхп = Я.
«,— «1 — О п=а Справедливо ли обратное утверлкдениер 26. Пусть ап > 0 (и = О, 1, 2, ...) и существует 1пп ~апхп = Я. -«я — о п=о Доказать, что ~~ апЛ" = 5. =О то ~ап = А. п=о 2Т. Доказать, что если Е (О; 1)., а1+2а +... 11п1 степенной ряд ~ апхп сходится при х Е п —.— О !пп ~а„х~ =А, -«1 — О Гл. б. Функциональные последовательности и ряды 28. Пусть радиус сходимости степенного ряда ~~! апхп равен 1 и ап > О (н = О, 1, 2, ...). Доказать, что: п=о 1) если су мма 1(х) этого ряда ограничена на промежутке (О; 1), то рнд ~~! а„сходится и 1пп 1(х) = ~ ~ап; — ьг — О ипо п=о 2) если ряд ~ ап расходится, то 1пп 7(х) = +со. к — ь! — 0 ип1 29. Пусть степенной ряд ~~ аихп сходится на интервале (О; 1), и=о а его сумма равна 7(х).
Если существует 1пп 1(х) = А, то говосо л-и1 — 0 рят, что ряд ~ ап суммируем методом Пуассона — Абеля, а число А и — -0 называют 'обобщенной (в смысле Пуассона-Абеля) суммой" данного числового ряда. Показать, что следующие ряды суммируемы по н!етоду Пуассона — Абеля, и найти соответствующие обобщенные суммы: 1) ~ ~( — 1)"; 2) — +~ соанд, — л<д<л; и=о п=1 3) ~ ~зги!!У, — г< У <гг. и=1 30. Доказать, что если ряд ~ ~ап суммируем по методу средних и =.0 арифметических (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
