1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 53
Текст из файла (страница 53)
16. 1) Сходится равномерно на Ел и неравномерно на Ех к Дх) = =0; 2) сходитсн равномерно на Ел и неравномерно на Еа к Д(х) = х/2; 3) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Ьа к 7'(х) = 0; 4) сходится равномерно на Е~ и неравномерно на Еа к Д(х) = е 5) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Е к Д(х) = = (1пх)/2; 6) сходится равномерно на Ел и неравномерно на Е к Д(х) = 1, если 0 <х< 1, х, если х >1; 7) сходится неравномерно на Е1 и равномерно на Еа к функции Дх) = 1пяпх; Сл. оц Фуннциональньье последовательности и рядьь при о<2 к ((х) =1 (О, 1; при о < 1 к ((х) = ~ (О, 1/2; если о<2, сходится равноссли о = 2.
2) сходится мерно при о < 3) сходится если о<1, сходится равно- если о =1, мерно при о < 4) сходится о < 1/2; при любом о Е Й к ((х) = О, сходится равномерно при 8) сходится равномерно па Е, и неравномерно на Еа к функции ((х) = 1; 9) сходится неравномерно на Е» и равномерно на Е» к функции ((х) = 1!х; 10) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Е» к функции ((х) = — ха/2; 11) сходится равномерно на Еь и неравномерно на .Еа к функции У(х) = 17.
1) Сходится равномерно на Е, и неравномерно на Еа к функции 1(х) = 2"., 2) сходится равномерно па Ь", и неравномерно на Еа к функции ((х) = 0; 3) сходится равномерно на Еь и неравномерно на Еа к функции ((х) = 1((х+ 1); 4) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Е» к функции ((х) = 4хз 5) сходится равноьлерно на Е, и неравноллерно на Е к функции ((х) = яп пх; 6) сходится равномерно на Е1 и неравномерно на Еа к функции .((х) =; 7) сходится неравномерно на Е» и равномерно на Ед к функции ((х) = 1; 8) сходится неравномерно на Е» и равномерно на Еа к функции ((х) = 1!хе; 9) сходится неравномерно на Е, и равномерно на Ет к функции ((х) = 1!х; 10) сходится равномерно на Е, и неравномерно на Еа к функции ((х) = хе/6. 18.
Сходится на множество (О;+со) к О, если 0<я<1, ((х) = 1/2, если х = 1, 1, если х>1. На Еь и Е4 . равномерно, иа Ьто Еа, Ьа неравномерно. 19. 1) Сходится при о > 0 к ('(х) = О, сходится равномерно при о >1: т1В. Сходимость и равномерная схвдимость фуякаиока.)ьних рядов ЗЗЗ й 18. Сходимость и равномерная сходимость функциональных рядов СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1.
Сходимость, абсолютнан сходимость и область сходи- мости функционального ряда. Пусть функции и„(х) Е С, и Е М, определены на множество Е и хо Е Е. Ряд и„1х) (1) п=1 называется сходящимся в точке хв, если сходится числовой ряд Е- и„(хо), и называется абсолютно сходящимся в точке хо, если схоп=1 дится ряд Е ~и-(хоИ п=1 (2) Если рнд (1) сходитсн в каждой точке х Е Е, то этот ряд называют сходящимся ка множестве Е, а если в каждой точке х Е Е сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходящимся ыа мкожест)вв Е. Сумму и 5„(х) = ~ иь(х) Ь вЂ”.1 называют п-й частичной суммой ряда (1), а предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестве Е ряда 11) называют его суммой: 8(х) = 1гп1 Е„(х).
(4) 5) сходится при любом а Е Й к (1х) = О, сходитсн равномерно при о> — 1; ( О, если о<О, 6) сходится при а < О к 11х) = 1,' ' сходится рав~л,)2, если о = О, номерно при а < О; ( О, если а<1., 7)сходитсяпри а<1 к ((а))=11,' ' неравномерно; ) 1~'х, если о = 1, 8) сходится при а > О неранноморно; О, если а<1, ь) » ' ь Е у 1)*) ~ )2'- 1/ 2т1х), если а = 1, равномерно при а < 1))2. 20. Сходится неравномерно. !"л. 5.
Функциональные последовательности и ряди Множества всех значений х, при которых сходятся ряды (1) и (2), называют соответственно областью сходимости и областью абсолютной сходимости рядо (1). 2. Равномерная сходимость функционального ряда. Ряд (1), члены которого определены на множестве Е, называется равнолсерно сходящимся на множестве Е, если последовательность ого частичных сумм (3) равномерно сходится на этом мнолсестве, т. е. Я„(х):1 5(х), х б Е, г,!с'ст):л О, х с Е, где Я(х) . сумма ряда (1), а г„'! х) = Я(х) — Я„(х) = ~ ие (,х) и-й остаток ряда.
Для равномерной сходимости на множестве Е ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы зпр ~г„(х)~ †Πпри и, †оо. (5) ьен Необходимын| условием равномерной сходимости ряда (1) на мноясестве Е является условие и„(х) =1 О, х Е Е. 3. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Если для функционального ряда (1) можно указать такой сходящийся числовой ряд ~ а„, что для всех п, > по и и=! для всех х е Е выполняются неравенства (6) ~и„(х)~ < а„, то ряд !1) сходится абсолютно и равномерно на множестве Е. В случае, когда выполняется условие (6), говорят, что ряд ~ и„(х) оо п=! малсорируется рядом ~ ~ап.
п;=! 4. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Неравномерная сходимость. Для того чтобы ряд (1) равномерно сходился на множестве .Е, необходимо и достаточно, чтобы для этого ряда выполнялось условие Коши; для любого е > О существует номер Хе такой, что для всех п > Хе, для всех р Е сй и для всех х Е Е имеет место неравенство и-!-р (7) иь(х) < е. ! — --и-~-! у1д.
Сходимоспаь и равномврная сходимосгаь функииональнььх рядов зэт Если условие Коши не выполняется, т. с. пер Лво>0 УхпЕИ хп>т зрЕИ зххЕЕ: ~~ иь(х) )ао, (8) ь= и-~-1 то ряд (1) пе является равномерно сходящимся на множестве Е. В частности, если Лво > 0 Вяо Е И Чп > по Лхп Е Е: ~и„(хп)~ > во, (О) то ряд (1) не является равномерно сходящимся на множестве Е. 5. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости функциональных рядов.
Признак Дирихле. Ряд и„(х)Ь„(х) (10) п=ь сходится равномерно на множестве Е, если выполняются следующие условия: сс 1) последовательность частичных сумм ряда ~ Ь„(х) ограничена на множестве Е, т. е. п=1 ЗМ > 0 ьУп е И Чх е Е: ~Ьь(х) ( М; (11) а=1 2) последовательность 1а„(х)) монотонна при каждом х Е Е и равномерно стремится к нулю, т, с. ааль(х) < а„(х) или ап.ы(х) > а„(х), и Е И, х Е Е, (12) а„(х):40, О, хЕЕ. (13) П р и з на к А бел я.
Ряд (10) равномерно сходится па множестве Е, если выполняются следующие условия: 1) ряд ~ Ь„(х) равномерно сходится па множестве Е; п=1 2) последовательность (а„,(х)) ограничена на множестве Е и люнотонна при каждом х Е Е. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Найти область сходимости и абсолютной сходимости ряда ~ ~и„(х), если: п.=1 3) и„(х) = Гл. 5. Функциональные последовательности и ряды и А 1) Ряд лт — абсолютно сходится, если [д[ < 1, и расходится, Я и п=1 если [у[ > 1. При у = — 1 этот ряд сходится неабсолютно, а при д = 1 расходится. Поэтому ряд абсолютно сходится, если [!пл[ < 1, т.
е. если е 1 < Ф < е, и сходится неабсолютно, если !пх = — 1, т. е. при х = с '. При других значениях х этот ряд расходится. Итак, полуинтервал [с ',е) область сходимости, а интервал [е '; е) -- область абсолютной сходимости ряда п=1 2) По признаку Даламбера ряд Е. и 2о+ 1 !! и=-1 абсолютно сходится, если [у[ < 1, и расходится, если [у[ > 1. При д = 1 этот ряд сходится неабсолютно (признак Лейбница), а при у = — 1-- расходится. Поэтому ряд р и„(Ф) абсолютно сходится при тех зпап=1 чениях Ф, для которых выполняется неравенство [[1 — Ф)/(1+ л)[ < 1.
Решая это неравенство, получаем х > О. Следовательно, ряд ~ и„(х) п=1 абсолютно сходится при х > О. Если [[1 — х)/[1+ Ф)[ = 1, то х = О, 1лп[0) = 2п Ч-1 Поэтому ряд ~~ и„[0) сходится неабсолютно. Итак, область сходип=1 мости ряда ~ ~и„(ь1) промен1уток [О; -~-со), а область абсолютной п=1 сходимости -- интервал [О;+со). Хп 3) Пусть [Ф[ < 1; тогда,, < [Ф[", и поэтому ряд ~ ~и иш) аеп п=1 абсолютно сходится, если [х[ < 1. Пусть [Ф[ > 1.
Так как н„(1/Ф) = = и„[х), то, полагая 1/х = Г, получаем [и„[Ф)[ = [и„[1)[ < [1[", где [1[ < < 1. Следовательно, ряд ~ и„[Ф) абсолютно сходится, если [Ф[ > 1. п=1 у1д. Сходилоотв и равномерная еходилоете 4унняионаевн1ях рядов Ззэ Если ~х~ = 1, то ~и„(х) ~ = 1/2, и поэтому ряд расходится при х = 1 и х = — 1. Итак, область сходимости и область абсолютной сходимости ряда ~ ин(х) множество, полученное из Й удалением точек х = 1 о=1 их= — 1. А Пример 2. Доказать, что ряд ~ ~и„(х) равномерно сходится на множестве Е, если: и=1 1) ии(х) = хп 1, Е = ~ — 1/2; 1/2]; 3) ии(х) =, Е = ~О;+со).
'гг +,Г ' д 1) Если и„(х) = хи ', то и и Яи(Х) = ~не(Х) =, Я(Х) = У=1 ги(х) = Я(х) — Я„(х) = Так как — 1/2 < х < 1/2, то 1 — х > 1/2, и поэтому )~ . 112и— откуда следует, что г„(х) =1 О, х Е [-1/2;1/2), т, е, рнд равномерно сходится на множестве Е. 2) Заметив, что и„(х) = 1 1 1+ (п — 1)х 1+ пх получаем Я„(х) = 1— откуда Я(х) = 1, «„(х) = 1/(1 + пд). Так как х > Б > О, то пт.
> пд, О < г„(х) < 1Д1+ пд), откуда следует, что ряд равномерно сходится на множестве Е. 1 3) При каждом х > О последовательность имеет пре- 1,'Г +,'х ) дел, равный нулю, и монотонао убывает, так как функция Ф1) =, ,'Г+х 1 — — 41'3 Убывает пРи 1 > 1 длн каждого х Е Е Р'ф = — — (1+ игх) ' < О 3 360 Гл. 5. Функциональные поеледоеательноети и ряды при 1 > 1).
Позтому ряд ~~~ и,пх1) сходится на множестве Е (признак п=1 Лейбница) и при этом /т„1х) / < уп т+Х Так как х > О, то 1~,.М < .,--',—,, и позтому ряд равномерно сходится на множестве Е, д Пример 3. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать абсо- лютную и равномерную сходимость ряда ~ и„1х) на множестве Е, если: п,=1 атсья 1п'х) сое ппх ип1Х)— п,/п 2) и,1х) = 1п (1+,'' ), Е = ~0;2); 3) и„1х) = , аш втс1д )1 †, Е = 10; +ос); п -1-х~ пх 4) и„1х) = е п1* ж"пл1 Е = 11 +со). 5) и„1х) = и,, о>4, Е=11; 1+ п" хе ' 6) ип1х) = х~е "', Е = [О;+со). а 1) Так как для всех х е Я и для всех и е 1и' выполняются неравенства )атс13 пах) < л/2, ) соалеьх1 ( 1, то )ип1х)! < х)12пз1з).
Из х 1 сходимости ряда 1 , следует абсолютная и равномерная сходи- ~~ пМ п=1 мости Рнда ~ип1х) на Й. п=1 2) Пользуясь тем, что при 1 > 0 выполняются неравенства 0 < < 1п11+ 1) < 1, и учитывая, что 0 < х < 2, получаем 0(и„(х) < ., ( п1и'1п ж Ц п1ие1п+ Ц Из сходимости ряда Е 2 п!и~1п+ Ц следует абсолютнан и равномерная сходимости ряда р и„1х). п=1 3) Так как ъ~п+ хз > фх при х > О, а !61п1( < 1, 0 < атс131 < С при 1> О, то Г- ~и„1х)~ < — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
