1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 50
Текст из файла (страница 50)
1) и > 10в; 2) и > 6; 3) и > 7; 4) п > 5. 13. 1) ти 1/(2пз): 2) тв 1/(4п4); 3) та !/1а — 1)пе 14. и„= 1 п !п(зз -'е Ц 1и ! и -~- 2) 15. 1) Сходится; 2) расходится; 3) сходится. 17. 1) ез > 2; 2) о > 2. ) 1/п, если и ф т, т Е IЧ, ~ 1/по если и, = пг, т, Е Й. 22. 1) Нет, аа = 1/и; 2) да; 3) иет, а„= п. 2 чз' 2 2 4з2 К2 3 4~3 3 ч/3 3 1/3 ч/3 1 1 1 ...— — —...— — + — +... »зз з зч п аай — з 2~ зй 21, 1~ 2йд-1' 2' 1 / в1пйп+ ЦВ/2) ) 2(зз+ Ц ч сдп(В/2) 1 д е1п(п -р 2)д — сип О 1 д 2 2 4(п+ Ца1пз(В/2) ' 2 2 ГЛАВА 5 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ я 17. Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1.
Сходимость последовательности функций. Пусть фушсции 1,(х), и Е й, определены на множестве Е., 1"„(х) Е С, х Е Е и пУсть хо Е Е. Если числонал послецовательность (1о(хо)) схоДится, то говорят, что последовательность функций (1,(х)) сходится в точке хе. Последовательность (1„(х)), сходящуюся в каждой точке х Е Е, называют сходящейся на множестве Е.
В этолс случае на множестве Е определена функция 1, значение которой в точке хо Е Е равно пределу последовательности ((„(хо)). Эту функцию называют предельной функцией последовательности (1„(х)) и пишут !пп (о(х) = Р(х), т 6 Е, (1) или („(х) -~ ((х), х Е Е, или, короче н По определению предела запись (1) означает, что Ие > 0 5У = М,(х) 'Уп > Х: У„(х) — У(х)~ < е.
2. Равномерная сходимость функциональной последовательности. Последовательность фушсций (1„(х)) называют равномерно сходящвйсл к функции 1(х) на множестве Е, осли для люйого е > 0 существует номер Х, такой, что для всех п > Хл и для всех х Е Е выполняется неравенство ~(„(х) — ((х)~ < В этом определении существенно, что номер Аз не зависит от х. С помощью символов К В определение равномерно сходящейся к ((х) последовательности (уо(х)) можно записать так: 'де > О Здс = М, Мп ) су Чх Е Е: ф,(х) — т"(х)~ < е. (2) Последовательность ((„(х)) называют равномерно сходящейся на 417.
Гходимоете и равномерная еходимоете множестве Ь', если существует функция 1(х), к которой эта последовательность сходится равномерно на множестве Е. Для обозначения равномерной сходимости последовательности (1н(х)) к 1(х) на множестве Е использУют символическУю запись ~„(х):1 з (х), х с Е, или 1' =~1 и 3. Достаточное условие равномерной сходимости последовательности. Если существуют числовая последовательность !а„) и помер но такие, что для всех а > по и для всех х Е Е выполняетсн неравенство ~)„(х) — )(х)~ < и„, причем !пп а„= О, то н-эее ~„(х):$ Д(х), х Е Е. 4.
Неравномернан сходимость последовательности функ- ций. Если условие (2) не выполняется, т. е. Две > О Ы Е Й Лп > Й Лху б Е: ~~н(х) — )(х)~ > во, то последовательность 11"„(х)) нв сходится равномерно и 1(х) на мно- жестве Е. В этом случае пишут 1н(х) Р~ )(х), х Е Е, или 1е Рз ~.
Е Если 1н †-~ 1, но 1„ Р~ 1, то говоРЯт, что послеДовательность и 11н(х)) сходитсЯ к !'(х) на множестве Е неРавномеРно. В частности, если )„ †г и и Две Дпо Е lЧ 'Уп ~ Зно Дхп Е Е: ~Уе(хн) — У(хп)~ ~ Зво, (3) то последовательность (г'„(х)) сходится к 1(х) на множестве Е не- равномерно. 5. Критерии равномерной сходимости последовательности функций. Е Для того чтобы последовательность функций (1н(х)), опреде- ленных на множестве Е, равномерно сходилась на этом множестве к функции !'(х), необходимо и достаточно, чтобы !!ш эпр ~~н(х) — )(х)~ = О.
(4) ~еехвя 2. Для того чтобы последовательность функций 11„(х)), опреде- ленных на множестве Е, равномерно сходилась на этом множестве. необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши: длЯ любого в > 0 сУществУет такой номеР Дт„что длн всех и > Хе, для всех р е Й и для всех точек х е Е выполняется норавенство ~У ж,(х) — Хн(хН < в Гл. 5. Фрнниианальные иаеледаеательнаети и ряды Если условие Коши не выполняется, т.
о. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Найти предельную функцию 7"(х) последовательности (Ях)) на множестве Е, если: 1) уп(*)=х 7 Е=(0;1]; 2) У„()= ',, Е=я; 3) („(х) = , , Е = й; 4) (п(х) = п а!п — , Е = (О; +со); и 5) (п(х) = 1п (3+ л ',„), Е = (О;+со). а 1) Если х Е (О; 1), то 1пп хп = О, а если х = 1, то 1пп хп = 1.
77 — 7 ПП П вЂ” 7СП Следовательно, ) О, если О < х < 1, 1, если х=1. 2) Если х ф О, то ](77(х)] <, ',, = — — ~ 0 при и — 7 со, еьх пх а если Х= О, то Гп(х) =0 для 7!77Е И. Следовательно, Дх) =О, х Е й. 7 3) Таь как 1п(х) = 1 — „,, то !пп 1„(х) = 1, т. е, 1(х) = 1, и- -~- х7 и — 77п хаий. 4) Пользуясь тем, что ащ1-1 при ! — > О, получаем 1 1 и, а!п — и — (77 — > оо, х у'.
-0). пт, пх Следовательно, Дх) = 17Х, х Е (О;+со). 5) Так как ('„(х) = !пз+ !и (1+, ', ) и !п(1+ 1) - ! при ! — 7 О, то !'„(Х) !п 3+ !и 3 3(п' + е7и) откуда находим е* + —, при и — 7 со, 3п7 !(Х) = 1п3, х Е (О;+ос). д7 Вео 'й 6 И Вп ) Й Вр Е И Лх Е Е: ](пл-р(х) —,(п(х1)] ~) ео (5) то последовательность (1„(х)) не является равномерно сходящейся на множестве Е. В частности, если ЛЕО ЗПО Е И ьдя ~ )ПО ВР б И ЗХп Е Е: ]У77Лр(Хп) — 177(Х77)] 3 ЕО7 то последовательность не является равномерно сходящейся на множестве Е.
417. Сходииоств и равнол2ерная сходилность Пример 2. Доказать, что последовательность 11„[х)) сходится равномерно на множество Е, если: 1) ~о[х) = . .. Е = [ — 1; Ц; 2) ~„[х) = ', Е = [О; +со); 3) ~„[х) = 2/х + Цп — ь2х, Е = [О;+со); 4) 1„[х) = па1п(122[ох)), Е = [1;+со). Л Ц В этом случае 1(х) = 1 [пример 1, 3)), и поэтому так как [х[ < 1. Следовательно, :$ 1, т Е [ — 1; 1). п2 л-х2 2) Заметив, что для всех х Е Е и для всех п Е И выполннются неравенства 0 < атаги пх < я/2, ъ "п+ х > ьlй, получаем агсФа пх 2г < 22п+ х 22/п Следовательно, :4 О, х Е [О; + ).
3) Так как при х > 0 и и Е И справедливо неравенство х+ 1/и < [с2х+ 1(,/п)2, то 0 <;/хх+1(п, — балх < [/х+1(~п)2 — тлх = Цьп, откуда получаем ЬУх+ 1/22 ':1 ь2х, х б [О;+со). 4) В этом случае предельная функция 1[х) = 1/х [пример 1, 4)). Для оценки разности 1„[х) — 1[х) воспользуемся неравенством [яп8 — 1[< — 1, ссй, 2 которое следует из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции аш1, т.
е, из формулы яп1 = 1+ — [яп1)[2 ~, 1 Е 2С. 2 Применяя это неравенство, получаем 1 1 и 1 1 [1„[х) — 1[х)[ = п яп — — — « —, —, пх пх 2 (их)2 2п ' так как х > 1. Следовательно, 1 1 пзш —:4 —, х Е [1;+со). А пх х Рл. оп Фрннциональньье последовательности и ряды Пример 3. Доказать неравномерную сходимость последовательности ( 7'„(х)) на множестве Е, если: 1) Гп(х) = х'", Е = [О;1); 2) 7п(х) = '...
Е = [О;2]; 3) („(х) = 1п [ 3 + , „ы ), Е = [О; +ос). А !) В этом случае 1п(х) -г О, х е Е (пример 1, 1)). Покажем, что выполняется условие (3). Возьмем хп = 1/ К2; тогда х с [О; 1) при п й 1Ч, [(п(хп) — ~(хп)[ =:г"„= 1/2 = ео, и поэтому последовательность (х„) сходится к 7(х) = 0 па множестве [0,1) неравномерно. 2) Полагая х„= 1/и и учитывая, что 1(х) = 0 (пример 1, 2)), получаем и 11п 1 [лп(хп) л (хо)[— 1 Ч- гьл - 11'пе 2 Условие (3) выполняется при ео = 1/2, и поэтому последовательность ( г'„(х)) сходится к 7" (х) = 0 на множестве Е = [О; 2) неравномерно.
3) Так как предельная функция г(х) = 1п3 (пример 1, 5)), то, взяв х„= 21пп, получаем е еьп 1„(хп) — 1"(хп) = 1п (3+ „и„',) — 1пЗ = п 1 7 7 = 1п [3 + — ) — 1п 3 = 1п — — 1п 3 = 1п —. 2п) 2 6 Таким образом, егь Е "г1 условие (3) выполняется при ео = 1п(7/6), и поэтому последовательность (гп(х)) сходится к г(х) = 1п3 на множестве [О; +со) неравномерно. а Заметим, что на множестве Е~ — — [О; а) последовательность (рп(х)) сходится равномерно.
В самом деле, используя неравенство 1п(1 + 1) < < 1, 1 > О, получаем е л л е л а 3(сел Ч- пл) ) 3(сел ж и') Зп' Зпе ' откуда следует, что 7п(х):Ф 1п3, х б [О; гл~). Пример 4. Исследовать на равномерную сходимость последовательность (1,(х)) на указанных множествах: 1) („(х) = х' — х"ть, Е = [О; 1); 2) тльь(х) = хьлГпье пл, Ег = [О;+со), Ез = [б:+со), д > 0; 3) Гп(х) = и агсс13(гь1'хз), Е = [1;+со). А 1) В этом случае предельная функция г'(х) = 0 (пример 1, 1)).
Покажем, что выполняется условие (4). С этой целью найдем точки экстремума функции г"„(х) на множестве Е. Уравнение Д(х) = 41 б Схвдиивств и равнвхяерная схадижвств = пхи ' — (и+ 1)х" = 0 имеет внутри отрезка [О; 1] единственный корень х = х„= п](п -~- 1), причем ,п 1а(хи) = хн(1 — хн) = ( ) ' — < Чп Е И. Заметим, что если;г й (О;х„), то Д(х) > О, а если х е (х„; 1), то 1„'(х) < О. ПоэтомУ зпР1и(х) = 1и(хи).
Следовательно, хен Ч ]Л.(х) — Пх)] = з р1.(х) < хан хен Условие (4) выполняетсн, и поэтому 1„(х) =1 О, х Е [0,1]. 2) В этом случае предельная функция г(х) = О, так как Ппг 1ие щ = 0 Чо б Я,,В > О. 1 — л-~-хх Броме того, („(х) > 0 Чп с Я,. Чх е Еы и поэтому ](,(х) — Д(х)] = г„(х). Вычислим зпр га(х). С этой целью найдем экстремумы хене функции 1„(х). Уравнение Д(х) =,/пе "* (1 — 2пхз) = 0 1 имеет на множестве Ее единственный корень х = хи =, причем Яи (а(х„) = — е х/2 Так как Д(х) > 0 при х Е [О;х„) и )„'(х) < 0 при х > ха, то функ- ция г' (х) возрастает на промежутке [О; х„) и убывает на промежутке (х„; +со).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
