1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Е ° п=1 2) Так как 2 +5 ~1-2., Я+т +2- 2 то ап —, и поэтому ряд ~~~ ап расходится. А Пример 4. Исследовать па сходимость ряд ~ ~а„, если: п=1 1 е 1 1) оп= —; 2) ап=изс "; 3) оп=,, и>2. ио и!и и А 1) При о > О функция /Лх) = 1Лхп нсотрицательна и убывает П р и м е р 2. Исследовать па сходимость ряд ~ а„, если: п=1 ив й 1) Так как при всех и Е ЛЧ выполняются неравенства 2 < 1 х 1 < 5+ 3Л вЂ” 1)п < 8, то О < ап < — „,, и из сходимости рида ~- 5+ 3(-1)и следует сходимость ряда т 2пэо и=1 2) Тан как оп > !'/и, то из расходимости гармонического ряда Е 1 х и-!-1 — следует расходимость ряда лз , А и п,е гЦ.
Ряды с неанзрицательными членами ' ею г дз на промежутке [1, +со). Интеграл д1 — сходится при о > 1 и расяа 1 \ 1 ходится при О < ез < 1. Поэтому ряд з —, сходится при о > 1 и и=з расходится при О < и < 1 (интегральный признан). х 1 Если о < О, то ряд 2 — расходится, так как в атом случае и=-1 ои = 1(11 ~ь О при и — ь сс. 1 Итак, ряд з — „сходится при ез > 1 и расходится при О < о < 1. и" п=1 2) Функция Д(х) = лге ' неотрицательна и убывает при л > 1.
Несобственный интеграл хе ~ 11х 1 сходится, так как существует конечный предел 11п1 Р(х), Š— 1 — Ь ИЬ з з где Г(х) = — е ' /3 -- первообразная функции хге ' . Позтому 2 — п ряд 2 и е. '" сходится, п=1 3) Рассмотрим при х > 2 функцию Д(т) = 1Дх 1п х). Эта функция принимает положительные значения на промежутке [2, +ос), а ее производная равна ~'(') = — ',",",„' Если 1пх+(з, т. е. л > е 'ч, то ги(х) < О. Следовательно, функция 1 положительна и убывает на промежутке [а,+со), где а = = тпах(2; е Д). Так как интеграл -~- х дп л 1пдл 1 сходится при,З > 1 и расходится при О -" 1 Я 12, пример 13), то ряд Е„„„ 1 и 1пди и=.2 сходитсн при Д > 1 и расходится при Д < 1. л П р и м е р 5.
Исследовать на сходимость ряд ~ аи, если: Ц пи = 1 — соа .; 2) аи = [1 — 1 — ) Гл. 4. Числовые ряди 300 3 =1 1 -~- агс1311/ытп) й 1) Так как созз = 1 — Зз/2+ 01сз) при г — ~ О, то откуда а„п'(12пл~з). Следовательно, ряд ~ ~(1 — соа, 1 схоъ~пе ) дится. о=1 и — 1 1 — 1(п 2) Заметив, что , и применив асимптотическую п ж1 1-ь1/п ' формулу 11 + 1) д = 1 + ~Й + 011), 1 -э О, при )) = 1/3 и 3 = — 1/3 получим о„( — ) Следовательно, ряд сходится при а > 1 и расходится при а < 1. 3) Используя разложения 1п11 + с) = 1 — — + — + о1з ), 16з = 1+ — + о1з ), з з з 2 3 ' 3 атстдз = 1 — — + о11 ), т -в О, з находим 1п11+ФКг) = 1 — — + — т +о(т ), 2 3 1п11+ вгсгя1) = 1 — — ' + 011з), 1 -~ О. 2 Следовательно, т. е.
а„ 2(Зпзсз, и поэтому ряд сходится. А Пример 6. Исследовать на сходимость ряд ~~ а„с помощью признака Даламбера, если: и=! 1) а„= а"/п!, а > О; 2) а„= 3"пЦти"'. й Ц Так как апьз/а„= а()п+ 1), то для любого а > О существует и — ко аи и поэтому ряд сходится. 414. Ряды с неотрицательными членами 301 3 а м е ч а н и е. Используя необходимое условие сходимости ряда, пол чаем у п 1пп — = О. п — !си и! 2) Так как апг ! = и!Зие1,1(п+ 1)", то оп! 3 аи 11 -!- 1/п) ! откуда получаем ап 3 и — и ап е и поэтому ряд расходится.
А Зп -!- 2 и 1пп фпь = 1, то 4п -!- 3 и — !си 1ш1 ногаи = 3/4, п — ! пи и поэтому ряд сходится. 2) В этом случае Зп (1 ц-2!и')п п + 5 ! 1 + 3!ч п / ' инпьс и поэтому ряд расходится. 3) Используя асимптотичеснрт формулу Стирлннга / и '! и п! ~ — ) чг2яп при п -+ оо, е получаем -Г -112 -)1Дг )П!Да 1 — 1/Оп„ Ф ап Оса„= — ) 1 3 е п — и — > со, е откуда следует, .что ряд расходитсн. А Пример 8. Исследовать на сходилюсть ряд ~~! ап с помощью признака Раабе, если и=1 (2и — Ц!! !2и)" А Так как 12п -ь Ц!! 12п — Ц!!12п -ь Ц 2п -> 1 (2(п -!- 1ф! (2п)!!(2п + 2) 2п -!- 2 ' то и поэтоьлу ряд сходится. А Пример 7.
Исследовать признака Коши, если; 1) ап =па( ); 2) и.' 3) оп= й Ц Так как ига = пь7и на сходимость ряд ~ ап с помощью и=! "- = (Л)" (Б) Гл. 4. Числовые ряди 302 а Заметим, что ап/ап71 = 1/!2 — "'77)а), где Следовательно, ап 1 !па —, — 1+— апг) 1 — у!и о)/п — уп/пд п 'уп пе где ~ уп~ < с. )'7) + —., пг где ~у„! < ЛХ. Если !па > 1, т. е.
а > е, то ряд сходится. Если гке а < е, то ряд расходится. а ЗАДАЧИ 1. Доказать сходимость ряда ~ ~а„, установив ограниченность п=1 сверху последовательности его частичных сумм: втв1 2п )г — агс!8 п (и-!-1)!п-Ь2) ' " (и-!-1Яп-Ь2Яп-!-3) ' 3)а„=(1+ 1Ч", 0<71<1; 4)ап= в изп+ 4 Используя признак сравнении, исследовать ряд ~ а„ на сходимость !2, 3). п=1 2 1) а = ) ) . 2) а = ~ 3) а 2" ' " ив+1 ' в1/и сов!7г/4п) г . 3 + ( — Ц, !и 77 -!- вьв 71 4 а =,' '; 5) оп=аш 6) а„= Лв' — 1 ' пе ' пд 4-2 !пп ' 7) а„= и 72 иП4+ 3 в!п(ви/3)) ' !п(1 -г (3 -'г ! — 1)пагс78 2п)/п) 8) ап— 1 !пе п агсв!и!Гв — 1)/!и+ 1)) асс!8 !иг + 2п) 3. 1) с)п = 2) ап= пт/п(п -7- 1) Зп 4- пе сов !2п/!71+1)) ) вв(ъ/22+в!п,/п) 1/пе 7-4 — 7/ив+ 1 2" -Ь ив !п)'1 -Ь !п п) — 2 — п ог) ап =, ', ',' 6) ап =п"е Е 77 '7)В') 7) Пример 9. Исследовать на сходимость ряд ~~) ап с помощью признака Гаусса, если п=1 ап = 12 —;/а) (2 — 7/а)...
12 — -",/а), а > О. 4 ц. Ряды с неотрицательными членаии 303 (3 — 2 сон-'(ни/3))ен 7) с3„= 13и -Ь из) е "" 1пи: 8) ан = 262п Исследовать сходнмость ряда ~он, получив аснмптотнческую е=1 формулу вида ан с/и" прн и — > со 14-6). 3.1) „=; 2) „=1— 1 2н 22 + ~222 + 33 1 3 +1 1 . 1 1 6) а.„= —, ахсв1п —,; 7) аи = (епн — 1) вш /и:Ь! ' ив +Зи + 5 8 а„= »3и'нСУМ 2и+ 1 и+2 5. 1) а„= вш; 2) а„= п18 ие+Зи+3 и2+3 1,333и ч- 2 1 !2211 + в!п11/и)) 3) а =ехр( 2 х — 1: 4) а„= 3. ие -~-3 3 ' 33+ 1п и 5) ан=1п 2; 6) ан=1п 2; 7) ае=ихи(с11( — ) — 1); 8) а„= ахеян хг3+ Зи+ 2 6.1) а„=1п; 2) а„= 1п(1+-)1п, и>2; сое!2н/и) ' и,/и ч- 1 /и — 1 334-1 2иЧ-1 3) а„= /, ахс18,; 4) а„= и!и — 1; )! из 4-1 3322и3+4 2и — 1 5) а„= (1 — ); 6) ае = 1о82„(1+ — ),: 7) ае =; 8) а„= т/и+1!пс!х ( — ). 1/и+ 2 и Найти все значения а, прн которых сходится ряд ~ ~ае 17 13).
п=.1 7. 1) ае = 11 — и в!п11/и)); 2) а„= 1в!х11/и) — в!п(1/и)) 3) а„= /ива !1/и) — с!3 !1/и)); 4) а„= ! — сов!1/и) + с11 (1/и)) 5) а, = (вхс18(1/и,) — !п11+ 1/и));. 6) ае = 1е'ей~"! — 1) 7) а„= (ехр( — сов — ) — 1 — — ) 8.1) а, =и яп ( — — вес!8 — ); 2) а„= (ехр( —,) — сов — ) и и 2ие и а 3) ан = (!пв!2 — — 1п — ); 4) а„= !пи+ 1пЯпв и и и 304 Гл. Е'. Уиелввые ряды 5) а„= (ехр(1 — сов — ! — 1) яп —; и и-'г1 2 6) а„= 1п — — —, п > 2: и — 1 и — 1 7) а„= "в+/яи и в!п1~/й + 1 — ~в/и) 8) а„= !и+1Ие'в!" ЯЯ и/ — Ц'* 1 1 9) а, = (пвш — — сов ); 10) а„= и !!п!ив+ Ц вЂ” 2 !пи'); й 9.
Ц а„= (е'~2" — (1+ в!г — ) ) 1 1 О 2) а„=! — сов — ); 3) ая = !пагс18 — — 1п18— (и в!п(1/и) п и и 6) а„= ((' ) — 1); 7) а, = (ъ/п+ 1 — хгп) 1п 8) а„= (1 — (сов — ) ) ц а ~ в+ ц! ~ вв!1/и) 2) !е — !1+1/и)я) вт(1!г/) (1 — сов!1/и))в в,,=(ь;Р—,;;т 1,'./') ., /).„=! ' ф."+'), вм 5) а„= 1а~: 6) а„= ( сов!1/и) ' п 1 . 11о 7) ао = 1п сов (вш — — агсяп — ) и и 1ии г 11.Ц а„=а и", о>0; 2) а„=(1+ ) и 1 3) а„= п — (ехр (и агсвш —,, ! — 1); и" 1 \ 4) а„= схр(пасс!8 —, ! — 1 — п 1 5) а„= ехр(п вш —,, ! — и~; 6) а„= — — !п (1+яп — ):, и вп / / ,П 7) а„= (и асса!и — ) — 1; 8) а„= 1 — (и!псов — + 1) и 2я 12. Ц а„= о> — 1; (п л о)я~в(п + 2)Я"в ~ 1 1 1 2) а„= и 1п (1 -1- — ) + асс!8 — 1; /ва ) 2ио 214.
Рядн с неотричательннми членами 305 3) а„= ехр ~ ) — (1+в!п ( )) ,и и 5) а„= 1п (1+15 —,л! — 1псов —, о > О; иеа иа ( сЬ(Ц'и,) )" сов(1/и) 7) а„= 1п (1+ 1псЬ вЂ” ! —,, о > О; 1 т 1 иа 2иеа ' 8! . =,кчегечй — ч. 13. Ц а„=! — (1п (1 — -1) + е'~") и- 1 во 2) а„= 1п (сов — +15 ия1 и и 2 1 1 а 3) а„= 1п ( — (атосов — + впт — )) 4) а„= — (ехр( ) — 1); 5)а = 1 а=(п: и+ 1 .~)и"-+и)2+ „Гие — и72 ~ 6) а„= о'~" +о '~и — 2, о > О; 7) а„= оч" — ог~!"'"1), о > О.
14. Исследовать на сходимость ряд ~а„, получив асимптотис и=.1 ческую формулу вида ат при и, — ! оо: иа 1пн и 1) — ~ + Ц . 2) г — г' 1 3) — Ф 1. ,4+1 ° ~ ' а. ° )Ч ° то+1)' и 1па 15 !1/и) ч и + 1! чуйе Ч- 2 и е -'1п'( +Ц' " "Г! ! Ч-Ц' !п(2/и — !п(1 -Ь 1/и)') 1п!ие + и) 15. Найти все значения оь при которых сходится ряд ~а„: Ца„= „; 2)а„= !п~ сЬ (17 и) 1 и=1 1и ! и + Ц и 1п (1 + гга ) 3) а = — ~1п(чг'и-'+1 — )~а 4) и 1151 + п + и ) агггл !е — !1 Ч- 1/и)") 1п!и' — и Л- Ц (1+ и ) (агав!и!е'!ч" — Ц)а Гл.
4. Числовые рядн 306 !п(и' ж п -!- 2) агсв!п((п и Ц7(2п)) — и/6 7) ап= '; 8) а„= Гпеч 1 и)о' 1п (п+Ц 9) а„= (п~~! "г! — 1); 10) а„= и 11) а = п(с!1 ~ — сое 1; 12) ап = ((и+1)" — пп)'с "; п п ч-1/ 14-пе в!п(17(и~+и' о)) 13) ав (и+ х/пйщ~~ п)о !и е 14) 16) ап =,, и, > 1; (и, — себ (1/и)) Лпи ( омп — Цо п>1; чг!и и (1 — ",/соя(1/и)) п>1; !п~ и (в — (1 + 1!-е)"е) 15) ап = 17) а„= 18) ап = е 1п и 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
