1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 44
Текст из файла (страница 44)
ь з„.ь„~ < 1/и. Пусть задано - > О. Тогда из того, что 1пп 11/и) = О, следует сущестнонапие номера А!, такого, что для всех и > А! и для любого р Е А) будет выполняться неравенство 14). Следовательх 1 но, ряд 1 —,, сходится. А в=! П р и м е р 8. Доказать с помощью ьритерия Коши, что гармоничесх 1 кий ряд лэ — расходится. в-.= ! А Для любого к Е !!) возьмем и = й, р = 1ч Тогда 1 1 1 1 1 2 1 1 21 2' т, е, условие 15) ныполняется при с = 11!2. Следовательно, гармонический ряд расходится. А 2 13.
Свойства сходящ1ихся рядов 8) ~атс18 —, 1 1 1 1 3 4 4 5 (пЧ-2)(иЧ-3) 1 1 1 1.4 4 7 (Зп — 2)(Зп-';Ц 1 1 1 1 2 3 2 3.4 п)п-иЦ1п+2) 3 5 7 5 7.9 (2п+ Ц(2п+ ЗН2п 4-5) + ...; 5) 1 + 1 +... а(а + Ц (а + 2На + 3) (а ч- 1ИО + 2) (а ч- 3) (а + 4) ...+ 1 *1 а + пИ а + и -Ь 1 Иа -~- и + 2) (а + п + 3) +...
З.ЦУ,; 2)У ~ 16по — 8п — 3 ' йв 25по-Ь 5п — 6 ' п=-1 и=1 3) У 2 ' .; 4) ~" х-я 361Р— 24п — 5 ' х-я 49ио + 7п — 12 п=1 п=1 4. Ц 2 , ; 2) 2 , ; 3) о с-~ и' — 1 ' йя 4по + 4и — 3 ' йя 16по — 8п — 15 ' п=о и=1 и=1 4) 7 ~-~ 36ив и-12п — 35 п=1 5. 1) ~~ Зи — 1 ~-~ п(п Ч- Ц (п Ч- 2Ип Ч- 3Ип -~- 4) ' 2п 4-9 2п+ 1 ~-~ п1п и'- Ц1п+ 2Ип+3)1п Ч-4)(11 Ч- ос) ' ~-Я ио(и-> Цо' ~-~ (2п — Ц2(2п+ Цо ' ~ /ц б) ~ (4п, + 2 — 2,/и, + 1+ тссп) . и =-1 6. 1) ~ ~1п (1 — —,); 2) ~~' !п (1 — ); 3) ~~~ 1п и=а п=2 п=2 4) ~1п; 5) ~ ~а1п — п соа — „; пп1 и=1 Зо ~ 1 б\ 7 сйп сов; 7) У 2п ' Зи+' ' ' ~-~ иДп Ч- 2) ' и=1 и=о п=1 1 7.
ДОКаЗатЬ, Чта ЕСЛИ ая =, ГдЕ и„и2, ..., ип, ... илиям,.ияст последовательные члены арифметической прогрессии с разностью 11, Гл.4. Числовые ряды 292 пРичелс 71 ~ О, ия ф 0 (1 Е Рд), то РЯд ~~) а! сходитсн и Ь=т 1 1 илпл, ! ...ил с», тпдисив ..ил, л=1 Найти сумму ряда 18 "10). ~-~ тс(»+2)(»+3) ' Л-с 71(71+1)(»+3) ' ».=1 »=1 1 Зп -'» 4 х-с ~п -7- 1)(п + 2) (2л -Ь 1)(2п + 5) ' ~-с п(п -7- Ц (и + 4) ' (1 — 1) с ), ~ ~11-';1)" ».=1 л=-1 с!+ 2+ стс т и ~-е »4п Ч-1)1п -Ь 2) ' ~-~ 11 — 1)л »=с л=! 10.
1) ~ ~а»совпо, о Е Й, а Е Й, ~а~ < 1; »=1 2) ~ ал зшпо, о Е Й, а Е Й, /а! < 1. »=1 ) ~(- )" 2",„", п+2 тет2 »=.1 к(,"."..') 1 Г7А оо 12. 1) ~~)~ 7 и; 2) ~~) 171 + 2) 1п 3) 7 177 + 1)атсс8 — ; 4) ~~ »=1 л=1 Е »:1))» 171+ 1)тс)» пн-4 2) С Зп-' 4 1)) оп л-1 л=! 4) ~ ~/0,02; 5) ~ ( ) »=1 »,=! и л-1 ) п-' 1 агсв!и лд Ч- 2 ' 13. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда ~ а„, если: Доказать расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости 111, 12).
213. Свойства сходящихся рядов 3) Яп= "" п' доказать расходимость рнда 3) а„ = 1 гги(п! -!- 1) 15. Доказать, что если ряды ~~ п=! 16. Доказать, что: 1) если ряд ~ ~хп сходится, то при любом пп сходится его т-й остаток; п=1 2) если какой-лиоо остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. При этом справедливо равенство Я = Бгп + гвп где Я и Я соответственно сумма и иг-я частичная сумма исходного ряда, г„, сумма его т-го остатка. 17. Доказать, что если ряд ~ ~хп сходится и его сумма равна Я, п=1 то сходится и ряд ~ юг, где Ю! — — Хг + СЗ+ ...
+ ХЬ„Юг = Хь,+, + ХЬ,+а+ ... + Хв„ ю! = зя,, г-г + хя,, ч-з + ". + хя, (1яд) - - строго возрастаюШая последовательность натуральных чисел) и при этом ~~ юв = Я. 1=1 и 18. Доказать, что если ряд 2 а„, где ап Е Я (и Е Ос п=1 х )ап~ то сходится и ряд х! и п=г 19. Выяснить, что можно сказать о сходимости где сп = оп + гг„(п Е гг)), если известна, что: 1) ряд ~ ап сходится, а ряд ~ гг„ расходится; И), сходится, ряда ~п сп, п=! п=-1 п=! сов их 2) соп по 2гг ' "' п!п Ч-1) ' сов пх — сов(п + 1) х оп— п 14. Пользуясь критерием Коши, Е ° ап, если: п=! 4) ап = 1п(1+ 1гги). соответственно равны в и сг, то и ря сходится при любых комплексных Л, и ~ ~ю„сходятся и их суммы и=1 д ~ Ьп, Где Сгг = Лхп + 1гюп, п=1 и, и его сумма равна Лв+ рго.
Гл. 4. Числовые ряди 2) оба эти ряда расходятся 20. Доказать, что если ряды ~ а,', и ~ Ьзг где ап Е Я, Ьо Е Я о=-! и=-1 (и Е IЧ), сходятся, то сходятся и ряды: 1) ~ ~~апЬ„~; 2) ~~~ (а +6„)'. 3 4' 1 3 3) Я„= 4) о„= 5) Я„= + 2) 3 4 12п+1 2п+Зl' 3 1 1/ 1 3) Я„=- — — -( + ), Я=- —, 12 8 14п — 1 4пЬЗ)' 12' 32 4(и -Ь Ц(п -Ь 2Ип -Ь 3)(п -Ь 4) ' 23 ои -ь 23 1200 10(п 4- Ц(п -Ь 2) (и -Ь Зни -Ь 4) 1п -Ь 5) 1 32 ' 23 1200 ОТВЕТЫ 1. 1) Яи 3) Яп= 4) Я„= 5) Я„= 2. Ц 5о 3 1 1 3 4 2 3" 4 5"' 4' 51 3 ( — Ц" ' 51 — —,л= —; 8 2" ' 8 3" '' 8' 3 п+3' 3' " 3 Х Зп-с1Г' 1Г1 1 ~ 1 2 1, 2 (и+ Ц(п+ 2)! ' 4 ' 111 1 ~ 1 4 1, 15 (2п -Ь ЗИ2п+ 5) (' 60 ' 1/ 1 1 3 1, а(а+ Ц(а+ 2) (а+ пНа+ п+ Ц(а+ п+ 2) ) ' 1 Я= За(а+ Ц(а 4 ц. Ряды с неотрицательными членами 3) 8„=1 — ', 8=1; 1пж Це 5) 8п=,, 8=1; у пц-1' 6) 8 = 1 — ч/2+, 8 = 1 — ч/2.
ч/11 + 1 + ч/гь + 2 6. 1) 8„= 1п ', 8 = — 1п 2; 2) 8п = 1п, 8 = — 1п 3; 2п Зп 3) сп =1 21п +и+1) с 1 2 4) 8„=1 2п+1 Зп111+ 1) ' 3' пц-1 ' 5) 8„= — (з1п2 — аш ~ — )), 8 = — еш2; 2 1 1,2п '))' 2 6) 8„= — (соа — „— соя о), В = зшз ( — ): 7) оп=1 —,. 8=1; 8) 8„=агс18 —, 8= —. 1п+2)! ' ' 11+1' 4 8. 1) 5/36; 2) — 1/36; 3) 1/90; 4) 31/18. 9. 1) ( — 1+1)/4; 2) 11+21)/5; 3) 1+1/2; 4) — 1+1.
10 1) ~ ) . 2) 1 — 2асоео ж од ' 1 — 2а сочи Ц-ае 19. 1) Расходится; 2) может как сходиться, так и расходиться. 3 14. Ряды с неотрицательными членами СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Ряд ~~1 о„с неотрицательными членами 1а„> О, п Е И) сходится п=1 тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху, т. е существует число ЛХ > 0 такое, что для каждого и Е И выполняется неравенство и ая < Л1. Ь=.1 2. Признак сравнении. Если существует номер пе такой, что Дла всех и > по выполнЯ1отса неРавенства 0 < ап < Ьп, то из сходимости ряда ~пЬп следует сходимость ряда ~ оп а из п=1 оо п=1 расходимости ряда ~ ап следует расходимость ряда ~ Ьп.
о=1 п=1 Гл. 4. Числовые ряды заб Если ап > О, Ьп > 0 для всех и ) по и существует конечный и отличный от нуля предел ап 1гп! п — !со Ьп то рнды ~ ап и л! Ь„ сходятся или расходятся одновременно. и=! и=! В частности, если и„ > О, Ь„ > 0 при и > пе и а„ вЂ” Ь„ при и -~ со, то ряды ~~! ап и ~~~ Ь„ либо оба сходятся, либо оба расходятся. и=! и=-! 3. Интегральный признак сходимости ряда.
Если функция Г"(т) неотрицатсльпа и убынает на промежутке (1, +ос), то СЮ .!-ее ряд ~! 1(и) и интограл ( д (з) !!з сходятся или расходятсн одное=! ! временно. 4. Метод выделении главной части. При исследовании сходи- мости ряда ~ ~оп с неотрицательными членами иногда удается поп=! лучить с помощью формулы Тейлора асимптотическую формулу вида а„с(н" (и — ! оо, с > 0). В этом случае ряд ~ ап сходится при а > 1 и расходится при о < 1.
и=! 5. Признаки Даламбера и Коши. Признак Даламбера. Если для ряда ~оп, ап > О (я, б !Ч)), и=-! существует такое число Ч, 0 < Ч < 1, и такой номер не, что для всех и > не выполняется неравенство оп+!/а, < Ч, то этот рнд сходится; если же для всех н > по имеет место неравенство оп.!.г,!ап ) 1, то ряд расходится. На практике удобно пользоваться признаком Даламбера в предельной форме; если а„> 0 (и Е ре) и существует 1гт и-пое Вп дЦ. Ряды с неотрицательными членами то при Л < 1 ряд ~~ аи сходится, а при Л > 1 расходится.
При Л = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, для рядов лу — и ау —,, число Л равно 1, однако первый из этих и, ие и=-1 и,=1 рядов расходится, а второй сходится. Признак Коши. Если для ряда аи, аи >О 1пс Й), и=1 существует такое число д, 0 < ц < 1., и такой номер по, что для всех и, > по вьшолняетсн неравенство Оча„< д., тО Этат РЯД СХОДИтеп; ЕСЛИ жЕ ДЛЯ ВСЕХ П > По ИМЕЕТ Л1ЕСта НЕРавенство лиГа„ > 1, то ряд расходится. На практике обычно применяют признак Коши в предельной форме; если аи > 0 1и б И) и существует 1пп "/а„= Л, то при Л < 1 ряд сходится, а при Л > 1 расходится. При Л = 1 ряд может как сходитьсн, так и расходиться.
6. Признаки Раабе и Гаусса. Признак Ра або. Если аи > 0 1и б Рд) и существует 1пп и( — 1) = 11, то при д > 1 ряд ~~ аи сходится, а при д < 1 расходится. и=1 ПРИЗНаК ГаУССа. ЕСЛИ аи > 0 111 б В) И ни 1д 1и — =о+ — + —, аи11 И и'"" где ~у„~ < г, б > О, то: а) при о > 1 ряд ~~ аи сходится, а при о < 1 расходится; и=1 б) при о = 1 этот ряд сходится в случае, когда Р > 1, и расходится в случае, когда 3 < 1. Гл. 4. Числовые ряды 2аз ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ сов и П р и м с р 1. Исследовать на сходимость ряд ~ иЛи -!- 1) п=1 п < сов й 1 1 1 ч-~ сов- й < йЛй + 1) йЛй + 1) й й + 1 ' ~-' Л Лй + 1) ~-(' "-~',й йд-1/ и-!-1 < / ( — — 1 = 1 — < 1, поэтому ряд сходится.
й В=в п=1 п=1 П р и м е р 3. Исследонать на сходимость ряд ~ ап, если: п=з 2и ч-би+ ! /Е гвб и г ее+и 1) оп= .,; 2) оп= Зп Ч- !и'(и Ч- Ц й 1) Из асимптотических формул еп+и~ — е", Зп+!пзЛи+ 1) Зп при /етп е следует, что а„~ — ), где — < 1. Поэтому ряд Лз) ' 3 ап сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
