1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Сходится при а < О, абсолютно сходится при а < О. Сходится при любом а, абсолютно сходится при а > 1. р12. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования 283 1 2 1 206. Сходится абсолготно при — < гг < —, условно при О < сг < —. 3 3' 3' 214. 1п(Н,Ггг). 215. (тгг2) 1п(гг/гд). 216. 1гг(1+ )3,Го) 1гг 2. 217. — (1гг 2)гг2. 219. О.
220. 1п(г3гго). 221. огд!п(13,Ггг). ггг. ~,[акт: г' ~Гг). гг4. г, „,г„„; „,г„„е, Л ) = 227. Не следует; в качестве г" (х) можно взять непрерывную функцию, РавнУю нУлю вне отРезков (гг — 1ггггз;и+1)ггг), и = 2,3,4, ..., равную единице при х = 2,3,4, ... и линейную на отрезках ги — 1ггпз; п) и (и: п + 11гпз). 228. В качестве 1(х) можно взять, например, сумму функции е и функции, построенной в ответе к задаче 227.
229. Например, 1 (х) = х соз х4. 230. В качестве Г" (х) можно взять непрерывную функцию, равную нулю вне отрезков [и — 1ггпз; и+ 1гпгг], п = 2,3,4, ..., равную и при х = п и линейную на отрезках (п — 1/пз; и) и ггг; и + 1ггпз). 231. Не следует, например: 1(х) = (сйп х)ггх, р(х) = вгйп ((сйп х)Гх). 232. Сходится, но признак Дирихле неприменим. г 235.
сг = — — 1г Г" (1) гй. 248. О. 249. Не существует. 1 т 1' а 250. О. 251. л. 252. 13л,гчгсГ7. 253. О. 254. О. 255. — 1п 2. ГЛАВА 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ З 13. Свойства сходящихся рядов СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ а1 + аз + .. + а„-1- .. или, что то же самое, называют числовым рядом, а числа а„аз,,.пап,,.. — членами ряда. Сумму п первых членов ряда называют и-й частичной суммой ряда и обозначают Я„, т. е. и Я„=а1+аз+...+а„= ~аж Ь=1 Если существует конечный предел 1пп о'и = о', то ряд ~ ~ап называют сходящимся, а число о — его суммой и пишут ~ап = о'. п=1 Если последовательность (Яп) не говорят,что ряд ~ ~ап расходится.
пп и=' Ряд ~ ап, полученный из ряда п=тЧ 1 имеет конечного придела, то ап отбрасыванием первых п=1 его п1 членов, называют щ-м остатном Рада ~ ап. п=.1 Если ряд сходится, то любой его остаток сходится. Если сходится хотя бы один остаток ряда, то сходится и ряд. Иначе говоря, отбрасывание конечного множества членов ряда нс влияет па ого сходимость. 1. Сходящийся ряд и его сумма. Пусть дана последовательность действительных чисел (а„).
Выражение 818, Свойства сходящихся рядов 285 2. Необходимый признак сходнмости рида. Если ряд ~~ о сходится, то и=! 1пп оп = О. Отсюда следует, что если 11ш ап не су!цествует или существует, но и — !со отличен от нулн, то ряд ~ а„ расходится. п=! 3. Ряды с комплексными членами. Пусть задана последовательность коъ|плексных чисел (з,,). Эта последовательность называется сходящейся, если существует такое комплексное число з, что (2) 1пп (зп — с( = О. и — !оо В этом случае пишут 1ш! з„= х или хп -+ с при п — > оо. Если зп = х„+ срп, с = х + су, где !с„с Й, у„с Й, х с Й, у с Во то условие (2) выполняется тогда и только тогда, когда 1нп хп=т, и 1пп рп=р. и — !с! и — !оо и Пусть ~ хп рнд с комплексными членами, Яп = ~ зп его и=! ь=! и-я частичная сумма.
Тогда этот ряд называется сходящимся, если существует конечный 1пп Яп = 5. Комплексное число Я называют суммой ряда и пишут зп — В. и=! Если зп = хп + сд„, Я = А+ сВ, то равенство 2 зп = Я выпол- няется в том и только том случае, когда хп = А и ~ рп = В. п.=. ! =1 Пусть о . комплексное число и ~д~ < 1. Тогда и!! Вп=~дь= — — —, 1 — д 1 — д' ь=! откуда 1пп Яп и — ! оо т. е. (3) и=! Гл. 4. Числовые ряди 2ва ее 4.
Критерий Коши сходнмости ряда. Ряд ~~ зп сходится тоги,=1 да и только тогда, когда для него выполняется условие Боши: для каждого е > О существует номер 2Че такой, что для любого и > Хе и для любого р Е И справедливо неравенство ~зп~-1 + зи;12 +" + еп -р~ < Е. С помоШью символов в', 5 условие Коши записывается в виде ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Пусть ~у~ < 1.
Доказать, что ряды: 1) ~~,' п — 1 2) ~ и п=1 и,=1 сходятся, и найти их суммы. л 1) Используя формулу для суммы п первых членов геометрической прогрессии, получаем  — 1 "— У 1 — у Ь=1 откуда следует, что 1пп Бп = 1 п -зсо 1 — у так как 1пп уп = О, если ~у~ < 1. Итак, из х — )у) < 1. п,=1 2) Так как Ч„= ~ йу1', то Л=1 Бп — Бпу = (11 + 2уз + ...
+ пуп) — (у~ + 2уз + ... + (11 — 1)уп + пупч ~) = 12 + + 1п Пупе-1 откуда и-1 оп(1 — у) = У У вЂ” пуп", 1-у Если ~у~ < 1, то !пп уп' = О, и — 1 со у у пу ив 1пп пу"+~ = О, и-зев 'ев > О 32тв О11 д 2яе 12Р Е 1У1 ~зпе-1 + зп-1-2+" + зпе-р~ < В. (4) Если условие 14) не выполняется, т. е. ЛЕ > О тй Е 0 лв ~ )Й 3Р Е И: ~зпе-1 + япч-2 +" + япв-р~ ~ 3В~ 1о) то ряд ~ си расходитсл. 213, Свойства сходяо1ихся рядов 287 и поэтому существует 1пп 5„= п — 1со (1 — я)в т. е.
ицп=,, ~ц~(1. А п=1 а„= ~~~ (Ьпг1 — Ь,) = Ь вЂ” Ь1. (6) п=1 й Здесь п п З„= ~ 111 = 'Ь <Ь,ес - Ь,) = 1=-1 Я=1 = (Ь вЂ” Ь1) + (Ьз — Ь ) + ... + (Ьи — Ь„1) + (Ь„г1 — Ь„), т. е Я„= Ьп, — Ь,. ТаК КаК 1ПП Ь„.с1 = Ь, тО ОтСЮда ПОЛуЧаЕМ и — ~ос 1ьп1 Яп = Ь вЂ” Ь1, т. е. справедлива формула (6). а Пример 3. Доказать, что ряд ~~ оп сходится, и найти его сум- п=1 му, если: 1 п(п~;Ц 1 3) оп= п(и+ ип) Л, 1) Воспользуемся равенством 1 п(п ч-1Пп ч-2)(п-ь 3) ' т е И.
1 1 1 п(п+ Ц п п+ 1 ' Ьиэс — Ьи, 11 Е И, ПРИЧОМ Обозначим Ьп = — 1/п; тогда ап = 1пп Ьп = Ь = О. По формуле (6) находим и и со со Е 1 и(п -Ь Ц п=1 2) Так как 1 п(и ч-1Пи ч-2)(п ч-3) (и и'- 3) — п Зп(и ч- Ц(и-ь 2Пп-~-3) Зи(п+ Ц(п-ь 2) 37и -1- Ц(пч-2)7и -Ь 3) ' Пример 2.
Доказать, что если члены ряда ~ о„прсдставимы и=1 в виде оп = Ьп г1 — Ьп, и если существует конечный предел 1пп Ьп = Ь, и-~О3 то ряд сходится и его сумма равна Ь вЂ” Ь1, т. е. Гл. 4. Чиелоене рядн то, полагая 3п(п + 1) (и + 2) ' получаем аи = Ь„е1 — Ьи, причем 1!ш Ьи сс О. По формуле (6) находим п-псе Е 1 1 и(п + 1) (и+ 2) (и + 3) 18 п,=1 1 1/1 1 3) Используя равенства = — ( — — 1, получаем Й(й+ т) т Й Й -!- тп / ' п и и ° т и-~-ш откуда следует, что пс 1 1 1пп Я„= — ~~ и ~сс т, й Ьи1 = — (1+-+...+ — ). А и=~ т. е. Пример 4. Доказать, что ряд ~~ аи расходится, если: п,=з 3) ап = яп по, где о ф. ят 1т Е л ).
й 1) Последовательность 1олп) не имеет пРедела, так как 1пп азь = 1, а 1пп азлл 1 = — 1. Поэтому ряд расходится. й-псю й — >си (1 — 3/2п )и е '~е — з 2) аи сп ,, откуда 1ш1 аппп —, =е фО, и поэтому (1+ Ц2пс)п ппсп еЬсе ряд расходится. 3) Предположим, что ряд сходится. Тогда 1пп ашпсл = О и 1пп з!п(я+1)гл = О, имн ипсп т. е. что невозможно: яп па+ соз па = 1. Полученное противоречие показывает, что ряд ~ аш по, где о д! ят п=1 1пп !з!п па сова+ созпсляпо) = О, откуда следует, что 1ш1 соепо = О, так как а!па ф О (по условя~о ипсс а ~ ят, где т Е л). Итак, !пп аш па = оп сое по = О, 913.
Свойства сходящихся рядов 289 (т Е я), расходится. Заметим, что если о = гт (т Е я), то ряд сходится, и его сумма равна нулю. А п Ч- 2 П р и ме р 5. Доказать, что для ряда ~ выполняется 1п+ 1)17п и=1 необходимое условие сходимости7 но этот ряд расходитсн. А Здесь п-92 1 аи = — при п -+ со, И ПОЭтОМу 1Ш1 аи = О. ПОЛЬЗуяСЬ тЕМ, Чта Прн я = 1,2,...,П, СПранод- И вЂ” 7 со ливы неравенства й-'72 1 . 1 ~йч-ц% % Г' получаем и Дп = ~ ая ) П вЂ” = т,7т 1 Итан, 1Ш1 Дп = +СО, И ПОЭТОМУ РЯД ~ аи РаСХОДИтСЯ.
а п — 7 си Пример 6. Доказать, что ряд ~ хи сходится, и найти его сум- п=1 му, если; 1) хи=; 2) х„=аие'и", где О<а<1, 7рб17. 1 71 с 1'1п ' а 1) Так как числа х„= 17(1+ 1)", п Е 777', образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 77 = 1/(1+ 7), где ~77~ = 177у72, то по формуле (3) находим Е 1 д 1 (1Ч.7)п 1, 7 77=1 2) „= аие'"7' = (ае'")", где ~ае"'~ = ~а~ = а < 1.
Применяя формулу (3) при 71 = ае1т, получаем Е "'"' авив о1сов 97+ 7 в1п 97) апе7ПВ 1 — ое1 Я 1 — о сов 97 — еав1а 7р п=1 (соя 97-Ь 7 в1а 97)(1 — а сов 7р+ 7ав1п р) — а 11 — а сов 7р) 7 Ч- аз вш 97 а ,(соз97 — а+7зш97). А 1 — 2а сов -Ьа1 х 1 Пример 7. Доказать сходимость ряда ху — „, используя крите- 7Р ' рий Коши. Гл.4.
Числовые ряды 290 А Докажем, что для этого ряда выполняется условие Коши 14). Используя неравенства 1 1 Ы й(й — Ц при Й > 1 и замечая, что 1 1 1 1(й — Ц й — 1 й'" ЗАДАЧИ Найти и-ю частичную сумму Я„ряда и сумму Я этого ряда 11-6). +'- "' и 2 2 2 1 1 1 1 — Ц" 2) 1 — — + — — — + ... + + ...; 3 9 27 3" 3) ( + )- (, +.,)+...+( „+ „)+..., 4) (3+ — )+( )+( + )+... 2в — ! 1 2 ( 10" 10"+' ( ЦП вЂ” 1 2 3в — !) 10"+! ) получаем 0<,+, „+...+ 1 1 1 1 1 < — — + (и -~- 1Р 1и -~- 2)е '1и ж р)' и и и 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ..+ — < —. и-Ь1 и-Ь2 и+р — 1 и+р и п-~-р и Итак, для любых и Е Л1, р Е И выполняется неравенство ~з„.г! + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
