1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Следовательно, исходный интеграл сходится условно. А ЗАДАЧИ Вычислить интеграл или установить его расходимость (1 — 16). 1 о 4 — 2 1 3 ,Б' ',/ (, -Ь1)К+1' ',/,/хч-х' о — ') о 2 2 з с/х 4. / . Ь. ~1 . 6. ~1 с/х х с/х хч/х — 2х 4- ч/х,/ '~~~ — Ц,/ ч/9 — хе о о о о,б 1 л 7. / , . 8. / , . 9. / 18 х с/х. о о о л/4 л е е!ах+созе / 11 )соех) / 12 с/х ФБ:ЁмЫ о о о о 1 1 хч,/ хе,/ — 1 -1 о 1 16. с/х и)) — ")""" Вычислить интеграл (17 — 36).
1 — 0,2б 2 17. ч, ' Нх. 18. /) . 19. ./ Хч/2Х+ 1 ./ (х — 1)~х- "— 2 о о,б ч) 2 2 1 20, 21. / ').'-гЫ:Т' ' ) )~ — )л) б 1 — 1 1 1 22. 1 ' ч. 23. / / (16 — хе) ч/Т вЂ” хе,/ (1 -Ь хе) ъТ вЂ” хе а 2ч. / ', О, ))О. )5. /, ° и.
с/х хн с/х .+»-л ' ' '/,г-,:' о 250 7'.3. е. Несобстееннеье интеграл)3 л72 )ь ль)4 26. /х, — 21х, 5 > а. 27. / т/сЯхН:с )) б — х 2 о 28. / т/СЗххдх. е 30. 31х , ь')ь — )) 29. / [хсйп — — — соя — ) дх. хг х х2 2 о хь агента х 1 31. /*/'"""*11. 32. /' 21п'~* нГà — хе 1 — х н)à — х2 о — 1 1 л)22 ЗЗ. /х" 1п" хс1х, а > — 1, и Е И.
34. / 1псояхбх. о о 3) л,)2 35. /х1пя)ахах. 36. / [1псоях) соя[2их) Йх, и Е М. о е Вычислить плошадь криволинейной трапеции, образованной гра- фином функции [37-44) 38. 9=, хб[ — 1;Ц, хфО х" 37. д =, х Е [О; 034). 39. 3=,:. ),Ь). ) — ))ь — *)' 33. 3 = , 3 )3;3). 33. 3 = , 3 (); ). )* — 3))3 — ) Хть)ГП Х ' 42. 9 = х1п, х Е [О; 1). 43. р =, х Е [О; 1). 44. 9 =, х 6 [О; 1). [1пх[ Найти площадь фигуры, ограниченной заданной кривой и ее асимптотой [45 — 49) 45.
хуз = 8 — 4х. 46. [х + 1)уз = х-', х ( О. 47. [4 — х)уз = хз. 48. [1 — хз)у = хз, х > О. 49. х = соя 21, у = соя21181, Г Е [л/4:,Зя/4[. 50. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными н полярных координатах; 1) г = ья))), г = 1/соя)е, )2) Е [О;гг/2); 2) г = 1/)р, г = 1/я)п)р, ))3 Е [О;тг/2). 51. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, получающей ся при вращении кривой [4 — х)уз — хз = 0 вокруг ее асимптоты Доказать неравенство [53-56). 2 10 Х (4 -)- нЯп х) г/4 — хе 8 о 3 ся при вращении кривой у = е ' и прямой у = 0 вокруг оси ординат. 52. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, получающей- 411.
Несобственные интегралы от неограниченных фуннциа 2Ы 81. 1 ' с)х. 2 сЬх — сов х о а/2 /' сов-2х — е ховлх о Г сЬ 1ох) — 1п11 Ч- х ) — 1 с1х. 85. ~ с1х фЯ хв 2 о 1п(2 + ъ'3) Г бх 1п12 + ъ'3) 11 (10 Ч- вш х) ~/х'-' — 1 10 в 1 О Исследовать на сходимость интеграл 157-77). в з 1 57. /,, ', 58. / ~/ ', с)х. 59. / о о о в в ве 1х — 2) Йх 61 1' в1пх Н 62 1' Нх 2 хв — Зхе+4' ',) хв ' 2 Кв1пх о о в е,се „/ (совх) игх,/ совх->в1пх — е/Ч в 1 65.. 66. .
/' 18 1хв — тхе -В 16х — 0) 1 1п(1+ х) '1 1 3 е 67. 6 . 1 чх 69. 3~ ""' — / ю'7 *:=*| о о о 1 1 70. ./ ;1. ) '"*"' 72. 1' '""' 4 1 чое е' о о о л л 1 73. / '. ' с4х. 74. ) осх. 75. / 1п ~1 — 4 вшв х~ с)х. Кх г' хи'вш х о о о 1 ч )' агсвш1х + х') г Нх .) х 1п-11 Ч-х) г вгссовх о о Найти все значения параметра сч, при которых сходится интеграл 178-96). в /' 1 — сов х Г 6х ~ -В 24 сов х — 13х — 30 4 хо в1п~ х о о 1 80. / еоге1совх)~гх дх, о 1 иве+хе — е"' ' о ег'в 84. ""' — „1 2 о чг сове х 252 Гл.
Х Несобстоенные интеералы 1 0,5 / 1п(ее -Ь х) — х /' 1пяц хе/х е/х. 1а Х (4Х Сая Х вЂ” Н 51П Х) а о о 1 / 1па сЬ(1/х) „ / 1п 5/Г+ 2х — хе Нх. 89. ( е/х. /пе(1 + х) / 1 — сояа х о о 1 2 90. / ( ) (2+ ),. 91. / М( — 1 ( я1п(яхся1пх -Ь х ) — х ( (1 — х)5/ е/х дх. 51П Х агсяя а(х — хе) о о 'а 1 94. ( 5(х.
95. ( . 96. / ел /(е "Д е/х. ./ х 1па(1 + х),/ 1п ~х — о~ о о о Определить, при каких значениях параметров о и 8 сходится интеграл (97-.102). 1 е/2 1 97. /ха(1 — х)яе(х. 98. / яп хсоя//хе(аь 99. /ха)п — е(х. а о о о 1 0,.5 100. /т" (1 — х)Д )пхе(х. 101. ( е/х. г 1и" (1/х) Яядх о о а — 1 / (1 -Ь Дсоях)а о Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл (103 106). 1 103. / ) . 104. / — соя ~ е/х. о ха -Ь 5/хе Ч- хе соя(1(х) / х5/х 5/х о 1 О,я 105. / (1 — е Уе еее(1/е/~ 106 / г/х / х- ,/ х/пх о о Исследовать на абсолютную и условную сходимости нри всех значспилх параметра ее интеграл (107 — 110). 1 1 е /(1 — х) яш — Нх. 108. /,, яш — е/х.
х, 1 1 — х ,/ хе+1 х о о 1 0,5 109. / соя ( — — 1) †. 110. / ( — ) соя — г/х. о о 1 е/1 соя(1/х)1/х (' . ( 1 1/х ~п. /, пх ( ( 112. ( яш ( х'(1,/х-ья|п(17х)) / 151пх) яшах о о 211. Несобственные интегралы от неограниченных фрннциа 252 1+х бх ВП1 (1 х2)а ' 113. / 18 хсовсСдхч/х. 114. / о — 1 ! 115. ~ вш — е(х. 116. ~ х х . 1 — 1 о о 1 / в!их о, 118 / в!и( /х) /' х- * /'(,Г; х)а о о 1 атсодх сов — е(х. х 1 с(х. 119.
21 ' ' вш — дх. г (1 — т) х х о 120. Исследовать на абсол1отную и условну1о сходимости при всех значениях параметров о и Д интеграл 1 сов(1/х) ,, е(х. Ха (1 Х2),2 о 121. Найти все значения параметра о, при которых сходится ин- Г (са (ч/х — х) )'" о теграл Исследовать на абсолютную и услонную сходимости при всех значениях параметра о интеграл (122-128). 1/2 122. / " ""('/') Нх. 123. / о о х ( — ее'/" — 1пх) 1 .
а 1 124 2~ тих совх с(х 123 / и ( +х ) х о о е/2 г (ахсобт, )а . 1 1' „. 1 126. /," щп — е(х. 127. / 18 х вш — е(х. .2 Х о о е/2 128. / с18 хсов — е(х. о 129. Доказать, что если функция /(х) монотонна и ограниченна на промежутке (О;1] и существует несобственный интеграл 1 х /(х) е(х, то 1пп х"+~~(х) = О. г — 1ЬО о 130. Выяснить, можно ли сходнщийся несобственный интеграл о /(х) е(х рассматривать как прелел соответству!ощсй интегральной а и,— 1 суммы ~Де)(ХЬ 1 — ХЬ), (1 Е ]Хе, 'Хнлч]. в=о Гл.
3. Несобственные интегралы 2Ь4 131. Пусть функция 7(х) монотонна на промежутке (а; Ь) и неограниченна в правой окрестности точки х = и. Доказать, что ь если /,((х) 77х существует, то и ь 1пп ~ /(и+ 72) = / 7(х) дх. ь,=о а, 132. Доказать, что если функция /(х) непрерывна на некотором промежутке (О; е), е > О, и /(О) 7': О, то при а < 1 верно асимптотическое равенство — 77х - — х ', х -2+0. ' 7.(х) 7(0) хс 1 — о о Найти интеграл в смысле главного значения (133 139). ш 7 Нх г Нх 133. н.р.
/ ' . 134. п.р. / / 7 — х / (. 1)2 о — 1 ь 135. т.р. / '' „, с Е (а;Ь), и Е Ь7. 136. н.р. / Дх бх (т, — с)н / х1пх а О.ь н е72 137. 1ср./ х 28 х 11х. 138. 1.р. / о о е72 139. 1.р. / '' , а Е (О; 1). о 2 с х" 140. При каких значенияк а существует н.р. / " с(х Г о 141.
Доказать, что если функция /(х) непрерывна па отрезке (а; Ь) и обращается в нуль только в одной точке х = с Е (а; Ь), производная /'(х) существует в некоторой окрестности точки х = с, причем ь ь 7 (с) ф О, / (с) существует, то / — расходится. а т.р./ — суо 14х Их г(х) 1 (х) шествует. е а 142. Доказать, что при х > 1 существует 741. / — '. ' ',/12' о ОТВЕТЫ 1. 2.
2. Расходится. 3. 21пЗ. 4. Расходится. 5. — +1п(2+тгЗ). 2 6. 9л/4. 7. 1/1п2. 8. Расходится. 9. Расходится. 10. — 3/2. 11. 4. 12. Расходится. 13. — 2е '. 14. Расходится. 15. х2/8. 16. и'2л. 17. 625/187. 18. 2!п(.~72 — 1). 19. л/2. 411.
Нееобетеенные интегралы от неограниченных функций 2аа 20. т12 — агсагп(3,14). 21. гг,Гчггроб. 22. л,1(4чгг15). 23. (хгг2)(чГ2 — 1). 24. 2, если Ь < а: (2а)ггЬ, если Ь > а. ги — 1)!! ГГгг — 1)!!)к 25. ", если п нечетное; " , если и четное. н!! и!! 2 26. — (Ь вЂ” а)(а+ЗЬ). 27. — (к+1п ). 28. хъг2. 8 2иГ2 ' иг2 — 1/ 29.
тГ2. 30. 2тггт 31. 719. 32. 5п13. 33. И вЂ” 1)"и!)/(а+ 1)илг. 34. — (я1гг2)г2. 35. — (ха1гг2)гг2. 36. ( — 1)н 'л~14гг). 37. 2чг2гг5. 38. 10,17. 39. х(а+ Ь)12. 40. 33л/2. 41. 2. 42. 1. 43. 2. 44. (к!гг2)гг2. 45. 4л. 46. 81'3. 47. 12л. 48. 2. 49. 2+ ягг2. 50. 1) п14, 2) 1ггп. 51. я. 52. 16яг.
57. Сходится. 58. Сходится. 59. Сходится. 60. Расходится. 61. Расходится. 62. Сходится. 63. Сходится. 64. Сходится. 65. Расходится. 66. Расходится. 67. Сходится. 68. Сходится. 69. Расходится. 70. Сходится. 71. Сходится. 72. Сходитсн. 73.
Сходится. 74. Расходится. 75. Сходится. 76. Расходится. 77. Сходится. 78. а < 3. 79. а < 7. 80. а < 1гг2. 81. а = 11'2. 82. а < 3. 83. о<4. 84. а=1. 85. от~/2. 86. а>О. 87. а<1. 88. о < -2. 89. гг ф О. 90. а > -2. 91. а < 2. 92. а < 4. 93. гг< — 213. 94. а<0, О<а<2.
95.о< — 1, О<а<1, а>2. 96.а(О, а>1. 97. о> — 1, 7Д> — 1. 98. о> — 1,,3> — 1. 99. о> — 1, 6> — 1. 100. о> — 1, Д> — 2. 101. гу < 1, а — любое число; 13 = 1, а < — 1. 102. г) < 1, а > 0,,6 > 1, 0 < а < 1. 103. Сходится условно. 104. Расходится.
105. Сходится условно. 106. Сходится условно. 107. Сходится абсолютно при а > — 1, условно при — 2 < а < — 1. 108. Сходится абсолютно при а > — 1, условно при — 2 < а < — 1. 109. Сходится абсолютно при а < 1, условно при 1 < о < 312. 110. Сходится абсолютно при о > — 1, условно при — 3 < а < — 1. 111. Сходится абсолнтгно при а > 1, условно при 0 < о < 1. 112.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
