1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Разделив отрезок (О; Ц на четыре равные части, вычислить приближенно интеграл 1 а и оценить погрешность результата: 1) по формуле прямоугольников; 2) по формуле трапеций; 3) по формуле Симпсона. А Пусть Ь = 11'4, х, = 11'8+ 15, г' = О, 1, 2, 3. По формуле прямоугольников (3) имеем = ~(~(~) © (~).
(~)) где г(х) = 1/(1+ хг). Отсюда 1/64 64 64 64 т .7- — ( — + — + — + — ) - 0,787 4 ~ 65 73 89 113 ) с погрешностью вычисления не более чем 5. 10 '. Погрешность формулы прямоугольников оценим согласно (5): 24 4е 24 4е Так как 1а(х) = 2(3хз — 1)7(1+ хг)з и 1а(х) < 1а(0) = 2, то )Ь! « 0,0053. 12 16 Полная погрешность нс превосходит 0,006; таким образом, 0,781 <,1 < 0,793.
(14) 2) Пусть т,, = 16, 1 = О, 1,2,3,4. Ло формуле трапеций (7) находим ,7 - — (0,5(1" (О) + 1" (1)) + — + — + — ) = = — (- (1 4- -) + — 4- — + —,) 0,783 21б Гл. 2С Определенный интеграл и его приложения с погрешностью вычислений не более 5 10 ".
Погрешность для формулы трапеций оценим согласно 19): )Ь! ( — . — зпр (,7н1х) ( < 0,0105. ~о;Н Полная погрешность результата не превосходит 0,011; таким образом, 0,772 <,У < 0,794. (15) 3) По формуле Симпсона 111) при х, =1/4, 1 = О, 1,2,3,4, находим з" = — (Д10) + 711) + 27" ( — ) + 4(7" (-) + 7" (-) ) ) = = —,(1+ — + 2. — „+4( — + — „)) - 0,78540 с погрешностью вычислений меньше 1. 10 '. Погрешность формулы оценим согласно (12) при й = 4. Находим ~~11~ ) 24 1 — 10х + бх 11 ж хз)' и устанавливаем, что фл1(х)~ < фл110)~ = 24.
Отсюда 24 ( а полная погрешность меньше 5,4. 10 а. Следовательно, 0,7848 < 7 < 0,7860. (16) Из сравнения 114)-(16) видно, что при одном и том же шаге Ь формула Симпсона дает значительно более точный результат, чем формулы прямоугольников или трапеций. А именно: примем за приближенные значения для формул прямоугольников, трапеций и формулы Симпсона соответственно Пе = — (0,781+ 0,793) = 0,787,,7з" = -10,772+ 0,794) = 0,783, Тз =, 10 7848+ 0 7860) = 0~7854 с относительными погрешностями, примерно равными соответственно 0,8%, 1,4% и 0,08%.
Видно, что погрешность формулы Симпсона в данном случае на порядок меньше погрешностей формул прямоугольников и трапеций. Заметим, что 1 ,, = — = 0,785398... дх я 1жхе 4 о Приближенное значение аз* = 0,7854, полученное по формуле Симпсона, дает три верных знака после запятой, а отклонение его от истинного значения не превышает 2 10 ". й Пример 2. Вычислить 1п2 с погрешностью не более чем 10 410.
Приближенное онниеление интегралоо 217 исходя из равенства 1п2 = / —. г Нх х 1 А Для формулы прямоугольников, учитывая, что 5 = 1/и, ~/о(х)~ = 2/хз < 2 на ~1;2), из (5) получаем 1/(24пз) . 2 < 10 ~, пг > 10~/36. 3, откуда и > 29. Значит, достаточно взять п = 29. Для применения формулы Симпсона следует отрезок разделить на четное число п, = 2гп отрезков. Учитывая, что Ь = 1/12т), ф~~(х)~ = 24/х' < 24, из (12) при 1 = 4 получаем 24 <10 — 4 180(2т) г откуда 2пг > — т/67ое0. 2 л 3 Поскольку 9 < К67ог0 < 10, достаточно взять 2т > 20/3, т, о. 2т = 8.
Видно, что в этом случае число узлов значительно меньше, поэтому вычисление следует провести по формуле Симпсона с п = 8. Для погрешности этой формулы имеем оценку 24 1 1 180 84 30720 3 ' Погрешность вычислений по формуле Симпсона 1п 2 — ®хо) + /(х,) + 2(/(хз) + Дхл) + /(хе)) + 1 + 4(/(х ) + /(х, ) + /(хб) + /(х ))) не должна превышать 2/3 10 л. Если каждое слагаемое вычислять с погрешностью нс более чем, например, 0,5 10 '" = 5. 10 ", то и для результата предел погрешности, как видно, будет таким жс. Следо- вательно, вычисления будем проводить с пятью знаками. Учитывая, что х, = 1+ г/8, г = 0,1, ...,8, находим 1п2 = — ~1+ — + ~ —. + — + — ) + 4~ — + — + — + — )) -0,69315, 1 1 1 14 2 4т 18 8 8 81 24 2 5 3 7 9 11 13 15 где погрешность вычислений в действительности меньше 1,5 10 ~.
Полная погрешность меньше 1/3. 10 л + 0,15 10 л < 0,.5 10 0,69310 < 1п 2 < 0,.69320, и поэтому молено принять 1п2 — 0,6931 с погрешностью меньше, чем 10 4. Все четыре знака после запятой верны, т. е. 1п 2 = 0,6931... а 1 Пример 3. Вычислить интеграл У = / т/хел Вх с погрешностью не более 10 '. о Гл. й Определенныя интеграл и ега приложения 2ЗВ А Подынтегральная функция имеет псограниченпую па (О; 1) производную.
Сделав замену .Ух = 1, получим ,У = 2/1зе' Ф. о Выполнив интегрирование по частям: 1 ! ,У=Ус~ ~„— /е~ й=с — /е~ Ж, о о сведем задачу к более простой вычислению интеграла 1 ,Уг — — / е' ей. о Возьмем е = 2,7183 с погрешностью меньше лаз = 2. 10 з. Для функции у = е' легко получить, что на ~0;1] 12 < у~0(1) < 76 е. Если вычислить Уз по формуле Симпсона с шагом 5 = 1/6, то погрешность формулы будет меньше, чем Ь - <089 10 з Вычисленин проведем так, чтобы их погрешность но превысила Ьз = = 0,5 . 10 л.
Тогда погрсшность окончательного результата будет меньше Вычисляя,Уг с пятью знаками, получаем ,Уг - — (1+ 2,71828+ 4(1,02817+ 1,28403+ 2,00260) + 18 + 2 (1,11752+ 1,55962)) = 1,46288. Учитывая, что погрешность формулы Симпсона в данном случае заведомо положительна, принимаем,Уг - 1,4628. Отсюда,7 - 2,7183— — 1,4628 = 1,2555, а Пример 4. Вычислить интеграл у = / тУГ+.тл Нх с погрешностью менее 10 о а Разделим отрезок [О; Ц на восемь равных частей и вычислим значения подынтегральной функции в концах получившихся отрезков (табл. Ц.
Таблица 1 410. Приблингеннае начисление интегралов Имеем '4 - 1,07 10 о < 10 ", ~ " ~ 9 33 10 о < 10 4, 15 ' ' 15 Уг — Л 4 и — имеет тот же порядок, что и 1))24 = 1))16. Позтому )г) †.У ! 35 ,У = 1,0894 с погрешностью мепьп1е 10 4. Отметим, что более или менее точная оценка четвертой произнодной данной подынтегральной функции довольно трудоемкая задача.
Если ее выполнить, то из (12) следонало бы, что,Ув дает значение интеграла с погрешностью менее 4 10 в. А П р и м е р 5. Доказать неравенства лУ2 1 Ут~)+) *' *г. '2. о й Воспользуеысн тем, что при г > 0 1 < тУГ+ г < 1+ 2У2. Для подынтегральной функции У(х) в силу зти)4 оценок будем иметь при 0 < х < н))2 хвгпх < У(х) < х(1+ — в)п) х) в)пх. 1 2 Отсюда следует, что для данного интеграла У верны неравенства .У1 < У < У2; где лУ2 ,У) = ~ хв)пх)Ух = 1, о Интеграл,У2 вычислим, понижал степени и иптегрирун по частям; в результате получим ,Уг = 1 + — ( — -л 1) < 1+ — ( — + 1) = 1+ — < 1,36.
Следовательно, У2 < 4/2, что и завершает доказательство требуемых неравенств. А Пример 6. Пусть ан(1) = 11 — 1) )'и ОУ, О < 1 < 1, и и л, п > О, ,У лл /а„)1)( — 1) ЙУ, Й и У)У, О < 2 < 1. о лУ2 1 У2 = / (хвп1х+ — хв1п х) ))х 2 о Затем найдем по формуле Симпсона приближенные значения интеграла: Уз с шагом Ь = 1У2,,14 с шагом 5 = 1У4 и,Уз с шагом У) = 1))8, Получим ,У2 = 1 089553 А4 = 1 089413, Ув = 1,089429. Гл. 2.
Определенный интеграл и его приложения 220 Доказать, что Я+1 ( ЙЧг-е2) 1сн-1 ( й-Ьг2)' где аз = а~1г) — 1, аг = а',(0). а ФУнкЦиЯ ап1е) выпУкла вниз на [О; г), позтомУ ее гРафик Расположен между хордой, проведенной через концы 10; а„10)) и 1г; ап1г)) графика, и касательной, прояеденной через точку 10;а„10)), т. е. 1+ агт < ап11) < 1+ — '$, .0 < 1 < г. Умножив эти неравенства на 1г — 1)ь и проинтегрировав,. получим ,У~ <,У <,Уз, где аф(г — 1)" е1г = — (1+ — ), н,.~ ) й+1( 5+2) о Отсюда следует 117).
а Приллер 7. Вычислить интеграл У = ~ з1пт/хе1х с погрешностью менее 5.10 о. о а Из формулы Тейлора для ашг следует, что при г > 0 г' г' 2г гг г — — + — — — < а1п г < г — — + — „ 3! 5! 7! 3! 5! ' Подставляя г = тУх и интегрируя, получаем оценку для У: ,Уг — Ь <,У <,Уы где 1 у /( г'з 1 зуз 1, е'з) 1 253 о 1 г5 = — хтУз Их = < 4,41 10 о 1 1 7! 22680 о За приблигкенное значение У возьмем У* =,Уг — — = = 0,6023589... = 0,60236 2 45360 с погрешностью менее лх/2+ 10 ' < 3,21 10 ' < 5 10 '.
А гУз пе ее.е е г=Уи7 — е,ге~~ грешностью меньше 5 10 о а Воспользуемся формулой Тейлора для функции р1г) = 11 — г) - = 1 — - г — - г + У72, 1 1 118) 2 8 410. Приблингеннае внчиеление интегралов где За~ечч) 3 0 ( с ( остаточный член в форме Лагранжа. Вычислнн 2®(Я) = — 13/8)11 — 5) з12, и учитывая, что 2 = 0,25згпзх ( 1/4, получаем 4 121® 3 Зим 8 ' откуда где н12 2, 1 ° 4, ,74 — — / (1 — — яп х — — яп х) дх, 8 128 11= ~Л, 1х. о Вычислив 70 получим .74 = = 1,4680196нн а длн 22, согласно (19), справедливы оценки г12 1 ( яп х их < 14 <— 288чггЗ 1024 о л12 з1пв х дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
