1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 34
Текст из файла (страница 34)
о 5н 5н Отсюда следует, что <Ь< — —, или 9чГ32'" 2" ' — 9,84.10 4 < Ь < — 4,79 10 ". 120) Таким образолг, 7 98,1 10 — 4(аг( 7 479 10 — 4 Возьмем приближенное значение, равное полусумме полученных границ: 1 ,У* =,А — — (9,.84+ 4,79) 10 4 = 1А67287. 2 Его погрешность будет не более, чем — 19,84 — 4,79) .
10 4 < 2,53 10 4 < 5 10 4. Заметим, что погрешность получаемого данным методом результата можно оценить значительно точнее, если воспользоваться интегральной формой остаточного члена формулы Тейлора: Л = —, Ууа®(1Н вЂ” Х) 416 о — < 422 < — — 2 2 з з 9 3 16 119) Подставная в 118) 2 = 0,25япзх, а получающееся разложение -- в исходный интеграл, будем иметь 1=У4+Ь, Гл, 2. Определенный интегрпл и ега прилажения Учитывая, что «а«з«ф = — «3/8)11 — «) 622, и, используя результат примера 6 при п = 2, й = 2, получаем 3( «) /~ ) ~' ) 3( «)' о где а~ — — 5/2, аз —— «1 — г) '2~ — 1.
Поскольку здесь 0 < г < 1/4, игиеем 5 г 11 672 32 а2г < —, аз < (1 — — ) — 1 = — 1. 8' л 4) 9Я Отсюда следует, что 373212 37 з — — (1+ )г <П2 < — —, 26 27иг3 26 и при г = 11/4) шпзх л ~2 о Следовательно, А Интегрируя по частям, получаеги 8л зл 8ШХ СО8Х л ГСОеп Пх, =— — 6«х = х Х лл Х Лл Лл зл 8л 8п хе лл 2 хг 8л й хг Значит, лл Рассмотрим интегралы ел / 8ШХ / г 2)г 8«ах а, / 8ШХ 2— Запишем l«в виде еи1 Х лл р «пха, + ~, х — 6,06. 10 4 < Ь < — 5,54. 10 4, что значительно лучше, ченч 120). Поступая, как и ранее, принимаем ,7* =,72 — — «6,06+ 5,54) .
10 л = 1,467439 с погрешностью пе более 11/2)16,06 — 5,54) 10 4 < 0,3 10 л. Это на порядок лучше, чем ранее. А 1 Гыпх — з При ьлер 9. Доказать, что 0 < — — ) е«х < 1,21 10 8л ) х лл 410. Приближенное вычисление интегралов 223 и во втором слагаемом сделаем замену х — н = и Тогда опо будет равно ан еги (1+ н)з 4н и, значит, Уз = / 8»пх( —,, —,, ) с»х. 4н Подынтегральная функция положительна на [4н; 5н), поэтому,Уз > О.
Функция 1 1 .з [ 4 я)з убывает на [4тн 5н], поэтому 'Уз < ( з з)У' 8»пхс»х з(» ( ) ) < 1'92 Точно так же для,У2 получаются оценки О< Уз <111.1О 4. Из этих оценок для,Уз и,У2 следует, что зн хз а отсюда вытекают и требуемые неравенства, А ЗАДАЧИ 1.
Вычислить приблизкенно интеграл У; а) по формуле прямоугольников [зз = 1); б) по формуле трапеций [и = 1); в) по формуле Симпсона [п = 2), и найти разность между точным и приближенным значениями, если: 2 нУ2 1),У = / —,,; 2),У = / 8»пхе»х. 1 о Найти д = [У вЂ ,У*], где У -- точное значение интеграла, а У*-- его приближенное значение, вычисленное с шагом 6 = 2 по формуле: а) прямоугольников: б) трапеций; в) Симпсона.
В каждом случае найти разность между правой частью зло в оценках соответственно (5), (9), (12) (»с = 4), и 5 [2), (3): 8 2 у / 4 у 5 у ~ е 1"л. г. Определенный интеграл и его приложения / —, 6=04 1 5) / !пг х 51х, 6 = 0,5; 2 4. Вычислить приближенно при п = 12 (вычислять с четырьмн зг знаками после запятой) интеграл /хзшхг1х1 о 1) по формуле прямоугольников, 2) по формуле трапеций; 3) по формуле Симпсона. 5. Найти приближенно при п = б (вычислять с четырьмя знаками 1 г олях после запятой) интеграл ~ 51х 1 о 1) по формуле прямоугольников; 2) по формуле трапеций; 3) по формуле Симпсона.
6. Вычислить приближенно при п = 10 интеграл / чТ+ х11х1 о 1) по формуле прямоугольников (с тремя знаками после запятой); 2) по формуле трапеций (с тремя знаками после запятой); 3) по формула Симпсона (с шестью знаками после запятой). Оценить погрешность результата. 7. Вычислить приближенно по формуле прямоугольников с шагом 6 интегралы: Ц /х~5)х, 6 = 0,2; 2) / ашх51х, 6 = —;.
3) 6' о о 5 2 4) / ',, 6=05; 5) /е' 51х, 6=02; 1 о 5) /'""+') 4, 6=0.2. о 8. Вычислить приближенно по формуле трапеций с шагом 6 интегралы: 9 7 1) /, 6=1, 2) /, 6=1; 2 2 1 2 3) /хЯ вЂ” хг ох, 6 = 0,.1; 4) / 5/Г+ хл 51х, .6 = —,: 8' о о 1 5 ) 1,";, о г12 11 1' ет — 025 ~ '.г, е= —. 12 о 410. Приближенное въотсление интегралов Ь = 0,1; 5 2) / —, Ь,=04; 3) 1 2 5) /е' е1х, 6=0,1; о г) 1 ~~ г*, ш= 0,2б. о 9. Вычислить приближенно по формуле Симпсона с шагом Ь интегралы: з 1 Ц Я*Ь1 х, 6=0,5; 2) /Л:х: 1х, 1 о 2 2 3) ~е" дх, 6=ОД 4) /е' дх, 6=02; о о 5) ~ дх, 6 = 0,25; 6) ~ иг3+ свахах, 6 = —; 2 х — 1 б' 1 о 1 хах 6 1 ,/ 1а(1+ х) ' 6 о 10.
Вычислить приближенно, используя форгиулу Симпсона при и = 10: и/2 1) интеграл / дх; о 1 Г агсаях 2) постоянную Каталана С = 1 ~ Нх. х о 11. Вычислить приближенно по формуле Симпсона при и = 4 и а = 8 интеграл: 1 3 1) /е ' дх; 2) ~е * е1х. о о 12. Вычислить приближенно по формуле Симпсона при и = 4 и и = 8 интеграл: в/2 Ч /А — Р~ г*,: )Й =О,г; б)г = °,25; о вг2 и 1,: )г=гг; ег=гг; )Й= °9. о 1 — г иь.
13. Лля данного интеграла оценить погрешность формулы прямоугольников с шагом 6: 2 г 6' о о 4) / ' ,, 6 = 0,5; 1 Гл. 2. Определенный интеграл и его приложения 226 14. Для данного интеграла оценить погрешность формулы трапеций с шагом ьь; 9 1 1) / „, 5=1; 2)/, Ьгл1; 3) / й, Ь=~; з 3 о 5 з 4) / 1пзхйх, 6 = 0,5; 5) / ~!Г+:е', 6 = —. 8 15. Для данного интеграла оценить погрешность формулы Симпсона с шагом 6: гььв ) 1'--' о б 3) /х1п(1+ х) йх, й =— 1 о 1 5) /,Р) — + —,лйх, 3=0,1; о 16. Найти шаг 1ь, при котором погрешность приближенного значения данного интеграла по формуле прямоугольников не более е: з грз 1) /х~ь1е, в=10 з; 2) / сов2хйх, в=10 о о з 1 3) / 1п(1+хи)йх, в =10 ~; 4) /Я+хзйх, в = 10 17.
Найти шаг 1ь, при котором погрешность приближенного значения интеграла по формуле трапеций не более в: з 1гз 1) /, в=10 ь; 2) / егйх, в=10 йх ./ .+2 о о з о,в 3) / вшхйх, в = 10 з; 4) / агсшпхйх, в = 10 4. 1 о 18. Найти шаг 1ь, при котором погрешность приближенного значения интеграла по форн|уле Симпсона не более в: 10 ., 2) /1п2хйх, в = 10 ~; 1 з 4) /агсгбхйх, в = 10 л. о грз Ц / сов-'йх, 2 о з 3) / — ',, в=10 ь 2) / 1п2хйх, ьь = —; 1 3' 1 г йх 4) / — ', Ь=05; 1п х л,ьв 6) / иьсовхйх, 6 = 0,1. о 4 10. Приблинген нее виг явление интегралов 227 19. Вычислить по формуле прямоугольников интеграл л/2 1 — 0,64 япз х дх 'о при п = 4 и найти погрешность результата.
20. Вычислить приближенно интеграл по формуле прямоугольников с погрешностью не более 10 н/2 4) / Нх; о 6) / 11 + 272 л о Ц /ходх; 2) 1 1 5 1) / —; 2) 2 2 5) /е 'дх; о япхг1х; 4) ~ 1п2хдх; / е'пх; 3) о 1 144х' 1 22. Вычислить приближенно интеграл по формуле Симпсона с погрешностью не более 51 5 и 1) 1 —, 5=10 -'; 2) / бзпхдх, 5=10 з; х 1 о з 1 3) ~,/хг1х, 5=10 з; 4) ~Я+хзс!х, 5=10 4; 1 о 5) / ', 5=10 ~: 6) /!пх11х, 5=10 огГ+ хз о 2 15 7) ~ ', 5=10 ~. 4 23.
Вычислить приблигкенно с погрешностью не более б интеграл: 2) / нТ+4хздх, е =10 '; о 1 10 — 4. 5=10 ', 21. Вычислить приближенно интеграл по формуле трапеций с погрешностью не более 10 2: Гл. дч Определенный интеграл и его приложения 2 6) / — '412, с=5.10 з 1 ль'2 л 1-~-х о 3 1 2 7) / е Д, 10 — 4. 1 олрл л 9) / созх2 41х, е = 10 '; 10) / яп(япх) 41х, е = 10 о о 24. Найти площадь поверхности полусферы радиуса й, используя формулу Симпсона при и, = 2.
25. Доказать, что формула Симпсона при и = 2 дает точный результат при вычислении объема: Ц шара; 2) конуса; 3) цилиндра; 4) шарового сегмента. 26. Вычислить, используя формулу Симпсона, с погрешностью не более 5. 10 2 объем тела, образованного вращением кривой у = яп т,, 0 < х < я, вокрут оси Ох.
27. Найти приближенно, используя формулу Симпсона, длину дуги данной кривой с погрешностью не более 10 Я: 1) у=х-', — 2<х<2; 2) у2=4х, 1« 5; 3) у = 1пх, 1 < х < 5. 28. Вычислить длину эллипса с эксцентриситетом е = 0,5 и полуосью и = 1, воспользовавшись формулой Симпсона с и = 6. Сщонить погрешность результата.
29. Найти приближенно с погрешностью не более 5 10 -' длину эллипса с полуосями а = 10 и 5 = 6. 30. Найти приближенно с погрешностью не более 0,03 площадь поверхности эллипсоида, образованного при вращении эллипса хз+ + 4уз = 4 вокруг оси Ох (воспользоваться формулой Симпсона). 31. Найти приближенно с погрешностью не более 0,01 объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры 0 < у < 121(1-Ь + 2), -2«2. 32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
