1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Ц 1,219; 2 10 ~; 2) 1,218; 3 10 з; 3) 1,218951; 10 7. Ц 6,37; 2) 2,023; 3) 1,603; 4) 0,23; 5) 16,1; 6) 0,822. 8. Ц 2,16; 2) 2,002; 3) 0,3296; 4) 3,482; 5) 0,8350; 6) 4.,667; 7) 1,4675. 9. Ц 2,4859; 2) 0,837:, 3) 0,8821; 4) 16,5; 5) 0,8225; 6) 5,4024; 7) 0,2288. 10. Ц 1,37039; 2) 0,91597. 11. Ц 0,74686; 0,74682; 2) 0,8788; 0,8862. 12. Ц а) 1,35067; 1,35064; о) 1,467463; 1,467462; 2) а) 1,685742; 1,685750; б) 1,993875; 1,995299; в) 2,270833; 2,280373. 13.Ц 0<,Ь<0.,16; 2) 0<гл<0,053:, 3) — 3,59 10 -'<гл<0; 4) 5,3 10 "<г5<1,9 10 з 5) 1,67 10 з<гл<0,82; 6) 9,12 10 б < г.'г < 8,06 10 з.
14 Ц 167<Ь< 228,10 — з. 2) 977,10 — з<Ь< 129,10 — з. 3) 695 10 — з<Ь<161,10 — з. 4) 959,10 — з<Ь<3,12,10 — з. 5) — 7,37. 10 з < гз < О. 410. Лриолиженное вычисление интегралов 237 15. 1) — 1,3. 10 ' < Ь < — 0,91. 10 2) 1,01 10 ' < сл < 8,23 10 ~; 3) — 1,042 . 10 в < сл < — 1,08 10 4) — 1,02. 10 а < Ь < — 3,26 10 5) — 0,667 10 "' < Ь < 0,472 10 "'; 6) 1,45 10 г < г5 < 5,13.10 о 16.
1) 1/20; 2) тгГ42; 3) 1гг50; 4) 1г8. 17. 1) 1; 2) З,г55; 3) 1гг13; 4) 1гг18. 18. 1) н,Г4: 2) 1ггб; 3)0,1:, 4) 1гг5. 19. 1.,2763, !г3/ < 0,1615. 20. 1) 3,746; 2) 0,497; 3) 2,099; 4) 0,524; 5) 0,461; 1,253. 21. 1) 0.,916; 2) 2,320; 3) 0,636:, 4) 2.,682, 5) 0,822; 6) 0,647. 22. 1) 1,610; 2) 2,00027; 3) 2,796; 4) 1,14778; 5) 0,88137; 6) 3,.66088; 7) 2,9783. 23.
1) 0,35023; 2) 4,647:, 3) 0,7535; 4) 1,228; 5) 2,302; 6) 0,2400; 7) 0,17048: 8) 0,6736; 9) 0,9775; 10) 1,7866. 24. 2тЛ'-. 26. 4,9348. 27. 1) 9,2936; 2) 4,7262; 3) 4,3676. 28 5 881. !Ь/ < 343, 10 — 4 29 50 81 30. 21,477 (Ь = 0,25). 31. 4,734 (Ь. = 0,2). 54. а ) Ь. 56. 1) 1г200т - 0,001592; 2) — 1/40тга — — 0,002533; 3) 0,23357, 4) 0,19н 0,597. 58. 0,16369. 59. 0,90452. 62. 3,3. 65 0 946082 0 < Ь < 1гг3 10-а 66 0 235886 ~Л~ < 0 5 10-л 6Т. 5,6553. 68. 1,91. 69. 1) 1,82.
70. 0,874. 78. 297гг272с4 0 0200 79 0 238 85 1 008 88 8 625 89. 0,02792. ГЛАВА 3 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ в 11. Несобственные интегралы от неограниченных функций СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции. Пусть функция 1(х) определена на промежутке [а; 6) и интегрируема на любом отрезке [а,б[, Е < 6. Если существует конечный предел функции Р"(Е) = /1(х) сбт, (1) а при ~ — Ь 6 — О, то этот предел называется несобственным интегралом функции 1(х) на промежутке [а; 6) и обозначается ь /1(х) с7х. а ь В этом случае говорят также, что несобственный интеграл / г" (х) 0х а сходится, а функция г(х) интегрируема в несобственном смысле на промежутке [а; 6).
В противном случае, т, е, если предел (1) не сущест- ь вует или бесконечен, говорят, что интеграл /1(х) дх расходится, а функция 1(х) неинтегрируема в несобственном смысле па промежутке [а; 6). Для непрерывной неотрицательной функции у = ((х), х Е [а;Ь), сходящийся несобственный интег- ь рал [ 1(х) дх равен плошади (во- а общо говоря, неограниченной) криволинейной трапеции Ф (рис. 11.1): Рис. 11.1 Ф = ((х; у): а < х < 6, О < у < 1(х)). Если функция т'(х) ограничена на [а; 6), то предел (1) сушеству- ь ет и конечен, а несобственный интеграл [ 1(х) дх равен обычному а З11. Несобственные интегралы ат неограниченных функций 239 где Г(6 — О) = 1пп Е(х).
л — ль — о 3. Формула заленьь перелленнои. Пусть 1'(х), х Е [о: 6), - - непрерывная, а уа(1), 1 Е [о; Лз), - непрерывно дифференцирусмая функции, причем и = сс(гл) < слр(1) < 1пп уз(6) = Ь; л- и — о ь д тогда /йх) йх = /'ф( р(1И~'(1) а. а С (4) интегралу Римана на отрезке [и, 6) при произвольном доопрсделепии функции г" в точке х = Ь. Таким образом, интеграл Римана является частным случаем несобственного интеграла.
Аналогично определяется несобстненный интеграл функции Дх) на промежутке (а; 6); ь ь / ~( ) ~ = ~ '™~л~ / ~(х) а г Если функция 1'(х) интегрируема в несобственнолл смысле на промежутках [а; с) и (с; 6), то р(х) называется интегрируемой в несобственном смысле на отрезке [а; 6). В этом случае несобственный интеграл определнется равенством ь а ь а а Если функция г" (х) интегрируема хотя бы в несобственном смысле на интеРвалах (а:сл), (сл,.с ), ..., (со л1Ь), то по опРеделению полагают ь сл сз ь /У(х)с1х = /~(х) алх+ /~(х)с1х+ ...
+ / ~(х)йх. а а сл са 2. Основные свойства несобственных интегралов. ь Е Линейность интеграла. Если несобственные интегралы / р(х) с1х ь а д(х) Их сходятся, то для любых чисел о и Д сходится интеграл аь / (оД(х) + (зд(х)) Йх, причем а ь ь ь / (одах) ь Дд(х)) йс = о / Дх) с1х+ Д/д(х) с1х. (2) а а. а 2. Формула Ньютона Лейбница. Если функция д(х), х е [а; 6), непрерывна и Е(х), х Е [а; Ь), — какая-либо ее первообразная, то ь /1(х) слх = х'(х) = г'(Ь вЂ” 0) — г'(и), (3) Гл. 3. Несобственные интегралы 240 ь исЬ = ио[ — /евши, а, й (5) где ив[ = 1пп (<т1 — и(а)О(а). ь -+ь — о Формула (5) справедлива в случае сходимости по крайней мере одного из входящих в нее интегралов. Если один из интегралов расходится, то расходится и другой.
5. Интегрирование неравенств, Если функции т"(х), х Е [а;Ь), и д(х), х 6 [а; Ь), удовлетворяют неравенству 1(х) < д(х), то для интег- / Дх) ь1х, / д(х) аьх а а ралов при условии их сходимости верно неравенство ь ь / )'(х) дх < ~д(х) Ь1х. й а (6) 3. Признаки сходимости и расходимости интегралов для неотрицательных функций (признаки сравнения). Пусть функции г' и д неотрицательны на промежутке [а; Ь) и интегрируемы на каждом отрезке [а; ~), С < Ь. Тогда: 1. Если функции 1 и д удовлетворяют на промежутке [ая 5) неравенству 1 < д, то: ь а) из сходимости интеграла 1 д(х) е(х следует сходимость интегь рала / Д(х)ь1х; ь а б) из расходимости интеграла / Г(х) дх следует расходимость ипь а теграла / д(х)ь1х.
а П. а) Если д ) О на промелкутке [а; Ь) и существует й~) х — >Ь вЂ” О д(Х) ь ь где А ф О, то интегралы /Д(х) ь1х и / д(:е) дх сходятся или расходятся одновременно; й а Формула (4) справедлива в случае сходимости по крайней мере одного из входящих в нее интегралов. В случае расходимости одного из интегралов расходится и другой.
4. Формула интегрирования по частям. Если и(х)., х е [а; Ь), и О(х), х Е [а; Ь), — — непрерывно дифференцируеллыс функции и 1пп (ио) сух йь — О Шествует, то ь ь р11. Несобственные интегралы от неограниченных функций 24Ь б) в частности, если г' — д при х ь 6 — О, то функции 1 и д одновременно либо интегрируемы, либо неиптегрируемы па промежутке [а; 6).
4. Критерий Коши. Пусть функция 1(х) определена на промежутке [а;6), интегрируема в собственном смысле на любом отрезке [а;~], ~ < 6, и неограниченна в левой окрестности точки х = 6. Тогда для сходимости интеграла ь / г'(х) дх е необходимо и достаточно, чтобы для любого числа с > О существовало такое число ч1 Е [а; 6), что при любых г1ы чьз Е (ч1; 6) /1(х) дх < с. е1 Критерий Коши часто испочьзуется для доказательства расходиь мости интегралов; /1(х) дх расходится, если существует число с > а > О такое, что для любого числа О Е [а; Ь) существуют числа ч1ь Е [Н; 6) и йа Е [сй 6), для которых /1(х) дх > е.
5. Абсолютная и условная сходимость интегралов. Несобсть венный интеграл /1(х) дх называется абсолютно сходящимся, если а функцин 1(х) интегрируема на любом отрезке [а; Я, С < Ь, и сходится ь ь интеграл / ]1(х)] дт, и условно сходяньимся, если интеграл / )'(х) дх п ь а сходится, а интеграл / [г'(х)] дх расходится. Если интеграл абсолютно сходится, то он сходится. Достаточные признаки сходи мости. Пусть функция у = = )'(х)д(х) определена на промежутке [а; 6) и неограниченна в левой окрестности точки х = Ь. Тогда справедливы следующие достаточные признаки сходимости. ь Признак Дирихле.
Интеграл /1(х)д(х)ах сходится, если; а) функция 1(х) непрерывна и имеет ограниченную первообразпую на [а; 6): б) функция д(х) непрерывно дифференцируема и монотонна на [а;Ь), причем 1пп у(х) = О. х — чь — о Пл. 3. Несабственние интеграла 242 ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример !. Вычислить интеграл или установить его расходимостги 3 1 Ц /; 2) / 1пхс1х; о о о )л с), ° ге=(о* '""' 4) / с(х.
— 1 л Признак Абеля. Интеграл /р(х)д(х)с1х сходится, если: а Ь а) функция 1(х) непрерывна па [в;6) и интеграл / г(х)с1х схо- дится; а б) функция д(х) ограниченна, непрерывно дифференцируелла и лло- нотонна на [а;Ь). 6. Интеграл в смысле главного значения (в смысле Коши). Пусть функция Р(х) иптегрируема (в собственном или несобственном смысле) на промежутках (и;с — г) и [с+ г; 6), г ) О, и неограниченна в окрестности точки с Е (а16). Интегралом, в смысле главного значения (в смысле Боши), назы- вается с — с Ь 11ш ( / г"(х)с1х+ / !(х)с1х). а Л с-~-с Этот предел обозначается ч,р,/ !'(х) с1х (ч.р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
