1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Доказать неравенство (5) для формулы прямоугольников. У к а з а н и е. Можно использовать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. 33. Доказать, что неравенство (5) точно, т. е. существует функция, имеющая вторуьо кусочно непрерывную производную и такая, что ь п — 1 / 1(х) 41х — 11 ~~ 2"(х,) = — 112 апр1н(х)~. ,=о " (,ь) 34. Доказать неравенство (9) для погрешности формулы трапеций.
Указание. Рассмотреть по отдельности интегралы по отрез- 410. Приблингенное втшслгние интегралов кам ~х;;ад~ г). 35. Доказать, что формула Симпсона является точным равенством 1точна) длн любого многочлена до третьей степени включительно. 36. Доказать, что если формула приближенного интегрирования / Пх) г1х = райха) + рг|(хг) + М(хз), *О где х; = хо+ гЬ, 6 = 1,2, явлнется точным равенством длн любого мпогочлена до второй степени включительно, то зто формула Синтсона, т.
с. ро — — рз — — 6/3, р~ — — 46/3. 37. Используя приближение функции квадратным многочленом Лежандра по трем точкам х, = хо + г6, 1 = О, 1, 2, вывести формулу Симпсона приближенного интегрирования /УО~*- (П ~)+4й )+Л~* )). го / У1х) Дх = — '" 1У1хо) + 3111хг) + У1хз)) + У1хз)). 39. Пусть па отрезке ~а; Ь) выбрана система точек х„1= 0, 1, ...,т, а ( хо < х~ < ...
< х,„, ( Ь. Пусть т Р ~*) =Е1'1)"г )~~ ~=0 -- интерполнционный многочлен Лежандра степени т длн функции 11х), определенной на ~а; Ь) 1см. )3, т. П, с. 553 556)), и пусть о р; = / Я~„',~1х) Дх. и Доказать, что: 1) формула приближенного интегрирования ь гн /1(х) дх — ~~~ РЯх,) 121) г=е точна для любого многочлена до степени т включительно; 2) для фиксированной системы точек ха г = О, 1, ..., т, формула 121) единственная точная формула длн всех многочленов до степени т включительно. 38. Используя приближение функции кубическим многочленом Лежандра по четырем точкам х = хо + г6, у = О, 1, 2, 3, вынести формулу приближенного интегрирования Гл.9. Определанные интеграл и его приложения 2ЗО 40.
Проверить, что формула Чебышева приближенного интегрирования на отрезке [ — 1; 1[ [22) точна для всех многочленов до третьей степени включительно. 41. Пусть отрезок [а;Ь[ разделен на четыре равные части длины Ь = [Ь вЂ” а)у'4. Вывести формулу приближенного интегрирования по четырем точкам, применив к каждому из отрезков [а;а+ 26[ и [а+ 26;Ь[ формулу Чебышева [22).
42. Для функции У', имеющей четыре непрерывных производных на [а; Ь], оценить погрешность полученной в задаче 41 формулы, считая известным, что длн погрешности формулы Чебыпьева [22) верна оценка Ф < †, р [У«0[х)[. 135 ~ 11~ 43. Доказать, что: 200л ь 1) 1 г)х< —; 2) ! 01пхзьУх < —, О<а<5.
х 50я' у а шо 1 е1пх 44. Доказать, что для любого а > 0 11ш [ ььх = О. ь~ь т, Уз 45. Доказать, что при ль > О У е и"оесйр < — '[1 — е. и). 2В о 46. Доказать, что если ун[х) < 0 на [а; Ь[, то ь — ЛУ«д,ь < [ — ЛУ101 — ЛУ«1) Л[у[Ь) — у [а)) Доказать неравенство [47 — 53).
20 2 47. 1) / л < —; 2) /2'У*ьух < 1+ —; хл — х+ 20 20 У 2 1О 1 1 9 1Г 3) у1 2 ' Дх< —; 4) уь [яьпх+созх)агсешхйх> — [еш1 — соя1). 32' У 2 1 48. 1) < 12 < 100 У 100 — 2х + хг 99 о 1 1 у хелдх 2 2 — <1',< 5 ь з — *+ ' э и о 410. Приближенное еъгчисление инигегралое л/2 3 3) </ х г!х т 2427 / 1004-2Лв!пгхсовх 2400 о 1 49 1) вгп1+соя1 — 1 хсоях 2 < / щ х<ягп +соя 1 1 где 2 2) — — — </ ', г!х<1 — —; 2 е,/ 1+хг е о 1 99 — 2 !п 10 /' х!п(1/х) 99 — 2 1п 10 800 ,/ 1 -!-хг 400 1/1О л/4 о 5) 4 < / ',, < —; 6) — < / 3/хе.'г/х < е — 1.
3 Г х г/х гг 2 5 К32 2ъ/1 — хг о о 1 л/4 50. 1) а < / ',,' г/х < — гг; 2) — < / З*сояхг!х < 2; г агссоя х 3/3 и'2 / сове х 2 ' 2 'о о 1 3/4 3) — < / 3 агссоях г!х < 1; 4) !и 2 < / < — ; 1 23 г!х 1 3 / 1/14.32 !п2' о о 1 1 5) — < / ' г/х < — (е — 1); 6) — 1и22 < /, агх < — 1п2; 2 г 1/х ел 1 1 2 г !п(1 + х) 1 3 ./ 1-!-х 2 ' 2,/ 1-~-хг 2 о о л/3 г/3 г ыи 2х г!х 3/3 7) агсгх — < /,' < 2агсг8 —; 2 ./ х(1-!- с4п х) 2 о л/4 л/4 8) 1 < / п,' г!х < 3/2; 9) †, < / ,,' г!х < 1.
о о л/3 2,1 сояг х,/3+ в!их 'о 3 ггх /з 2) — < ! л/2 ,„/,; л/е оз л /' ггх гг 3) < —; ЗЗ / !10+ с4пх)(хе+1) 30' о 1 сЬ2 — 1 / вЬ2хигх сЬ2 — 1 22 / 10 4- т 20 о Гл. Я. Определенный интеграл и его приложения 2яйл е' йх 2яйл </ < 11 10+ соя 2х 9 з 6 Г Злдх 9 6) — < ~ < —. !пЗ l 2+ 573!пх !пЗ 4 2 2 1 2 е 2 е' — 1 ег о 11 г72 2 2 г 2л 5) — 10 —" < / 47х < 2 10 — 2; 6) 0,7< / я!пхзг)х <1,3 11 х'а+ 1 1О о ллгл л 53. 1) / я!пх247х > 0: 2) /е""лг7Х > 1,7п. о о 54. Выяснить, какое из чисел больше: 13 И х 2 х 374 1 55.
Получить длн данного интеграла,1 оценки,71 <,7 <,72 с разностью 72 —,71, не превосходящей я: 1 1 1) /е ' 17х, я=0,02:, 2) 7 л ' 41х, я=2.10 д ха+ 100 о о 11 11 3) /е '7лс1х, л = 0.,01; 4) /хе 17' г7х., я = 0,01; 1О 1О 5) /10 ля!пхе!х, я = 10 '2: 6) /е 17"' я!пхе7х, я = 4 10 4л 4л 4 4-О,1 7) / — 17х, 5=10 '. 56. Вычислить интегралы с погрешностью нс более я: 2ОО 4ОО Ц / 47Х, я = 10 5; 2) / гх соя 11х Дх, я = 10 '; шо 1ОО 5 2л 3) д! —, я!п 7100 . х 4!х, 5=5 10 "; 4) д! ' 41Х, я=0,01. Х 31П Х 7 .'1 100 — х ' ' 7 10+ ! 4 о 57.
Доказать, что длн данного интеграла при любом числе а, боль- 410. Приближенное вычисление интегралов шем нижнего предела интегрирования, всриы иеравспства 2) — <~ п11х< — + —; 1 1 1+хо 1 1 .l 1+хи 4 10' 1 1) 0</е * дх< —,; 3 а 3) 0< ~ ' а1х< —. х 50 1ОО 1 2 аш — 41х с погрешностью менее 2 о ! совхгдх с пятью верными знаками о 58. Вычислить интеграл 5 10 59. Вычислить интеграл после запятой. 60.
Доказать, что: гГ3 1) 0,941 < / тгсовх41х < 0,957; о нГ3 2) 0,983 < 1' ' дх < 0,986. х о ,г 20 61. Доказать что 0 < 31 е '* 41х — — < 0005. л' 35 о гГ2 г яах 62. Доказать, что 1 дх 0,610 с погрешностью ие более 1,5.10 '3. нГ4 4 1б 4 1б 28 1 г явх 64. Вычислить интеграл 21 — дх с погрешностью мсисе 10 х о используя форлгулу Тейлора. 1Г4 Г 1а(14-х) 65. Вычислить интеграл ~ ' Их с погрешностью мсо пее 10 4, используя формулу Тейлора. 1 66. Вычислить интеграл ~ 3/8+ хз Их с погрешностью мецсе 10 4, используя формулу Тейлора. 67.
Вычислить длину четверти эллипса хз+ 292 = 2, используя формулу Тейлора с тремя членами. Г чгГх4х 63. Доказать,что при 0<3 <1 дляинтеграла 7= 21 верны / оценки о Гл. Я. Определенный интеграл и его приложения а/2 дх аа.оа * а 1, у аа ао лу Тейлора с тремя членами. 2) Доказать, что погрешность полученного в п. 1) результата не превышает 0,03. 1 69. Вычислить интеграл ~ ъг1 — х241х с погрешностью не бог 4 о лее 10 '. Указание.
Положить чьТ вЂ” х = 1 и воспользоваться формулой Тейлора. 1 70. Пусть 1„Я = д1, п 6 И, е > О. Доказать, что: дх l +ех о 1) 11ш оп1е) = 1; 2) 1пп е-ао а ~О Е 11-Ь1 71. Пусть д1х) непрерывна на [а; Ь), ь ,л'ье)= I ' ', е>0, 11ЕИ. / 1-~- ех" а Доказать, что: ь ь 1) 1ш1,1(е) = / ~(х) ь1х = 1о, 2) 1пп 4~1 " = — / у(х)хи 41х е-ан-О ,1 .
то е а а 72. Пусть а > О. Доказать, что для любого Ь > а: ь ь а 1) /е ' иьх< — е "; 2) )е ' Дх< (1 — е — заьь — а1). 2а ' / 2о, а а 2 1 — 2еа 1 3) /е ' 41х<е е ', где е= —, а>1. 1 — 12е" 2а' а 73. Доказать, что при а > 3,5 и любом Ь > а е ' еьх<10 ь 74. Доказать., что при а > О, а > 0 и Ь> а 75. Доказать, что если а > 1/у'2, то а 2а а (1 — — „)< /е * аьх< 76. Доказать, что при а > 0 для любого Ь > а и Ь > 2 210.
Приближенное вычисление интегралов ь ", (1 — -/ < /' ', 1 < ' 2 . 2 77. Вычислить интеграл / хге и с1х с погрешностью менее 10 2 1 В1Н Х 78. Вычислить интеграл /, с(х, с погрешностью менее 10 з. 1+ хе о 2ООп 1 1' в1нх 1 3 79. Доказать, что < / с(х ( + 200 и / х 200 п 100 ьнг 1ОО. 80. Пусть функция / положительна и убывает на (О;1), и пусть 1 ,1п = ~/(х) зш21гпхс1х. о Доказать, что: 112п 2),7п < / г'(х) 11х; о 1) 1„>0; и — 1 82.
Доказать, что для любого и Е И, п > 1, и любого о > 0 1 — — < /е ' й:<1+ —. 1 г г 1 пж1 пе о 83. Доказать, что для любого п Е И, п > 2, 1 — < / чтГ+ хе с1~ < оп, 2пг(2п + 1) 1 о где ап = 1 + п(п ж 1) 1 84. Вычислить интеграл / 'Я+хшс1х с погрешностью не боб лее 10 3) —., ~п1ь ( 1п <, ~Мы где Ми = апр(~'(х)(, гп1, = 1=О и=о = ш1 (У (х)~ на (рс/и; (Н+ 1)/11~, при условии, что / непрерывно дифференцируеыа на (О; 1]. 81. Доказать, что для любого и Е И п1пг-0 1 / сов х 2п+1 < С1Х ( 2п+ 1,1 х 4п(п+ Ц 7П ~ Гл.
2С Определенный интеграл и ега приложения ззб 3(й — Ц ' г ь 85. Доказать, что и(иь —,, ) < йг 1+ абп яхтах < пан, 3Иа ) о где ая = 1 + 1,1(4Й), п Е ггг', Й Е И, Й > 2. 86. л, !,ыгг /Г г-:-Ф .Й. 106и. о з ег. в. ° *. *. и 1" д~л ' се* ° н. менее 10 о го 88. Вычислить интеграл г' ' г1х с погрешностью менее 10 л. й 1-~-х У к а з а н и е. Разделить промежуток интегрирования и использовать формулу Симпсона и интегрирование по частям. ОТВЕТЫ 1. Ц а) 4г9, 1гг18; б) 5гг8, — 1гг8; в) 109/216, 1г216: 2) а) льг2Гг4, 1 — ллгГ2гг4 = — 0,1107..4 б) лгг4, 1 —.ггг4 = 0,2146..4 в) л(2оГ2+ Ц,г12. 1 — л(2тгг2+ Ц,г12 - — 0,00228. 2.
а) б = 80,8, гло — б = 119,2; б) б = 163 2, Ьо — б = 236,8:, в) б = 128г15, Ьо — б = О. 3. а) б - 1:08, гло — б - 3,84; б) б = 2,27, Ьо — б — 7,58; в) б — 0,43, Ьо — б — 2,2 4. Ц вЂ” 6,3555:, 2) — 6,1390; 3) — 6,2859. 5. Ц 0,9464; 2) 0,9454;. 3) 0,9461. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
