1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Решение геез<етиричеених и 0<изи <еских задач 209 22. (аа + аЬ -ь Ьа)1/3. 23 1) — Я1+ е)'тте — 25/2) 2) — г2о — в1п2а)Лз. 3) кЛ<',2аг+ Л 24. Хе = 256аз/15, Х„= 16(а<2 — 128/45)аз. 26. а1<а/6. 27. 1) кйз; 2) каЛз. 28. 1) ЛХ, = аЬа/6, ЛХи — — ааЬ/6; 2) ЛХе = г/4, М„= 0; 3) ЛХ, =.г/12+ АЗ/8< ЛХи —— к(35/3 — л)/6; 4) М, = Ии — — 3/20; 5) ЛХ, = 2/5-ь к/4, ЛХи — — 1п2 — 1/4; 6) М„= раз/2,. Ыи — — 2,~2раат~/5; 7) ЛХ„= 2аЬи/3, М, = 0; 8) Ик = 5каз/2, ЛХе — — Зттиаз; 9) ЛХи = как(ка — 6)/3, Ид — — аз(4 — кз)г 10) И, = О, ЛХд — — 5каз/4. 29.
Ь/3. Ь<ЗкЬ -Ь 8Ь) 30. На оси симметрии на расстоянии от центра пряб(45 -Ь кЬ) моугольника в сторону полукруга. 4<Лз з) 31. На оси симметрии на расстоянии ',, от центра. 3 -(Лз — ') 32. — 33. а = 10. ' 3 а+ь' ' ' +1 +1 34. 1) хс = О, дс = 4Л/Зк, 2) хс = Ь, ус = аЬ"; и+2 ' ' 2<2<< Ь1) 25 5а 5а зг т 3) хс = О, дс = —, .4) хст = —, дс = —,'; 5) хс = —, дс = —; беь 15/а) ' ХС ' дС ЗГЗ,СЗ <т -Ь 12к — 12 5к З(к -Ь 4) ' ' б(к -~- 4) ' 9) хс = дс = 9р/10. 35. 1) хс = ус = а/5; 2) хс = 16/5, ус = — 1; 3) хс = 28/75, ус = 92/105; 4) хс = 5а/8< дс = 0; 5) хс = 4а/Зк, дс = 45/3 т; 6) хс = дс = 256а/315тт; 7) хс = тга, дс' = 5а/6; 8) хс = 4а/Зк, ус = 4га+ Ь)/Зк.
36. хс = 10/21, ус = 5/3. 2 ага а 37. На оси симметрии на расстоянии г от центра. 3<< 38. 1) хс = 6(4 — ка)а/.тз, дс = 2(ка — 6)а/кз; 2) хс, = 5а/6, ус = 0; 3) хс = пазГ2/8, ус = 0; 4) хс = ус = 128а/105к: 5) хс = О, ус = к/2. 39. На оси симметрии на расстоянии (4к — Зт/3)Л/(4к+ Оч/3) от центра круга. 42. у = ахе ~, а 6 й, а ) О. 43. Х„= аЬз/12, Хд — — азЬ/12.
44. азЬ/12+ аЬ(с+ а/2)'-. 45. кЛз/4. 46. кЛ2(Л2+ 4аа)/4. 47. 1) а<<а/12; 2) а«з/4; 3) аЬ</36. 48. кЛ4/8. 49. Х„= <гаЬз/4, Хз = <газЬ/4. 50. 1) Х, = 2аЬз/7, Хд — — 4азЬ/1э; 2) Х, = 32а" /105, Х„= 8а'/5. 51. (1/2)(п(2<тр — 1)Я вЂ” т<з -ь агса1пп)Л4, и = Ь/Л. Гл. д.
Определенный интеграл и его приложении 52. аз/12. 53. 5з/За~/16. 54. 1) (а — з1па)Л'/8; 2) (а+ зша)Лл/8; 3) «2а — яп2а)Лл/16. 55. Ь,14 56. ЗЛ/8 Ь Л -Ь2ЛтЬЗг 57. Е«а оси конуса на расстоянии —,, от большего ос- 4 Ли+ Лг -ь ге нования.
58. 1) 2Ь/5; 2) Ь/3. 59. хс = 2а/3, ус = гс = О. 60. хс' = ус = гс' = За/8. 61. хс' = ус = 0; гс' = 7Ь/9 62. На оси вращения на расстоянии 3(1 + сова)Л/8 от центра круга. 63 Л 641) ' 2) 1' оЬ+Л 2 3 3 Л+ /Ьг+Лг 65. Ь/3. 66. 1) нйзЬз/30; 2) 2пЛз/15. 67. 8пЛз/15. 68.1); 2) «); 3), 4) 2 ' 2 ' 10 ' 10 Л вЂ” г 5) л«зЛ~/б:, 6) 5бл/15, 7) 10прз1Р/3. 69. 1) ~т(ее — Ц/8; 2) 4т«3 — с). 70. 1) 8лаЬ /15; 2) бпилЬ/«б. 71. пе«тз «4гР + Зтз) /2. 72. 1) тЬЛз(ЗЛз+4Ьз)/12; 2) пЬЛз«ЗЛз+2Ьз)/30.
73. 1) На оси конуса на расстоянии 4з/Зт/9 от большего основания; 2) на оси конуса па расстоянии;/Зг/3 от большего основания. 74. 1) На оси симметрии на расстоянии Ь/2 от плоскостей сечений; 2) на оси вращения па расстоянии 29з/3 Л/105 от вершины. 75. 1) хс = 0 ус = пЛ/4, гс = лЬ/8; 2) хс = 0 ус' = 5Л/8, гс = 5Ь/16. Ц 2.ЬЛз.
2), Лз /Лз+1г/2. 3) 8.Лл/3 81. 1) 4лгтг«; 2) 2лзтзе«г. 82. 2пзабг«. 83. На оси симметрии на расстоянии 2тяп«а/2)/а от центра. 84. На оси симметрии на расстоянии 4т/«Зл) от центра. 85. Л = бн йа, «г = з/Зтг«аз/2. 86. Я = лпазс«8 (и/п), 1' = (л/4)пази«8з(л/и). 87. Я = 4ьг2паз яп р, 'г = т/2лаз зш ~р. 88. пил/2. 89. Я = 32пзаз 1 12пзглз 90 Н = бтГ2лаз, «г = 3,/2лзаз/8.
91. 2. 92. т«зигз/б. 93. тггиР/4. 94. риЬзиР/3. 95. тЬзиР/б, 96. нрЛз(Лз+ 4е«г)изз/8. 97. рабзиР/24. 98. тгз Р/4. 99. тЛзшз/5. 100. т«Лз +«з/3)изз/4. 101. т(2тз + 5(1+ г)з)/10. 102. Зт(тз + 41гз)изз/40. 103. 1) рда1Р/2, 2) 2Ь/3. 104. рдаб«б+ 2Ь)/2. 105. рдиЬз/б. 106. 1) рдиб 2) ЗЬ 101 «) рд«з «2~ ь Ь) 2) 3 ' 4 б ' 2 2аьб 108.
1) зрдЬгз; 2) Ь+те/«8Ь). 109. 2рдазб/3. Ь 110. рдаб(Ь+ — япа). 111. — 1п Л+иТ 2 ) а Л од. Решение геометрических и физических задач 21 С 1гТ 1 + аОг 4крг(а'й' Ч- 2йа -~- 2) аЛо(Оз — Оч) 1+ аОч аз 114. О(1) = Оср+ (Оо — Оср)г ~с 115. 1 ч. 116. т(с) = и — (и — чп)енчУ". 117. Т = — (1п2)/1п(1 — 0,01п). 118 Ь(1 е — йча — асс)/У (1 с,— ача — а)с) а 119 Р(1) = Ро/(Ро + (1 — Ро)еы).
120.. О, 99994. 16385 121. 1) 1 =!ое псУы 2) У = — (1 — е ЯсУг') р В 122. уМт/Ь,lа~+Ьо "). 123. 27рт/Ь 124. 1) Л0утМ/(60аг); 2) АТУ = За/2, тгз = 8«/ГОМ/9. 125. 2 урт/сс. 126. 2 апсч. 127. 2Мпгс/тггг. 128. 2н уртаг/(иа + га)зУа 129 2я урт(1/а — 1/.Уаг + гз) 130. 2н7рт/а. 131.
— д/неоа. 132. Ь(юч — оз)/ичио 1чч(чзч/из). 133. —, у —. 134. — 1тч, а = ч/ —. 7 Г2Г Т а+шо ГМ 3 )ч/ д 2ай а — шо )/ Ус 135. 2шо1/Зд1с 136. гное счи "одо. 137. иЬ«(М/т). 138. — "(юо — и+ ие "оУ"). и 139. тч(1 — е«чтУ) ч, Л(Т) = (ич — но+ дТ)/и. 140. пчЯ = тое «чзэс, Л(1) = дй1/(иоо(К + но1)). 141. 1) — „.
(чо+ ' (аз — 1)); 2) —,. (ччо+ „", (и" — 1)). "0 ц Ь«з/у, з. 2) Ь аиь т. 3) и /и,' 143. 1) Р— 1п2: 2) Р (2" ' — 1). 2 ' зс — 1 144. 1) 1п / — ); 2) р. — Рч '«рч l зс — 1 1 — (рч/рз)чУ" 145. ( — — — ) . 146. тджх. цд, Г1 ' 4 ео (,Ле Л,)' 147. 1) 062/2(Н вЂ” Ь); 2) С(Н вЂ” Ь)/2. 148. СН/6.
149. 1) Ьч > ОчЗН; 2) Ьч > 5Ь+О,оН. 150. чтрдЬйа(Н вЂ” Ь/2). 1оа1. СН(1+ 1/Зтс), 152. крдНзНз/12 дч 153 1) . 2) 154 «/2дб((Н + 6)зУз НзУз) 4 6 3 155. ™, . 156. (2+ ъ'2)1 мин. 157. Я )~ д 158. г = С«/Ь радиус поперечного сечения на высоте 1ч. 159 (зс/ш)Нсо1о сое~р, у а„= 0 160 Го/«/2. 161 1) Ыоз/2' 2) (Ысз/Н~)Дч«2 — 3/8). оостонннан закона тнготеннн.
Гл. 22. Определенный интеграл и его приложения 162. (т~ !и 2)!п(тГз/(т!'~ — ЗсипОоН!и 2)). 163. ЕЯз~'(2Е). 164. рдЕз~(2Е). 165 Р!г((4(о) Р! РП, рдН (Н+ 2г) кНгЕ ' 2яНгЕ бЕН 168. 1) 5(х) = — е'О "Иге 2) Е(х) = — с=1!Ь гдое. Р, . Р аа ое 169. 1) —,, рыР; 2) — шР(Н+ г). 176. Т,=Т. 171. Т = 2 „22 /д Р(к/21 Ь) = 22гЛ/д К(Ь), Ь = аппп(ьт 222); Т - х,Яу. 122. = /т2йнг) и 22. 2 10. Приближенное вычисление интегралов. Оценки интегралов п — ь / т'(х) аьх - Ь ~ Дхг) а 1=0 (3) СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Пусть на отрезке (а; Ь) задана система точек (хн), О < ь < Х, а < хо < т1 « .., хл' < Ь и пусть задана система чисел (р,), О < ! < Я.
Для интегрируемой на (а; Ь] функции у = !'(х) приближенное равенство /.((х) йх = ~ р,~(хь) (1) а 1=.0 называют квадратурной формулой; точки хг называют узлальи, а числа р, — — весами этой форлзулы. Разность Ь= ~1( )йх — ~,р Ьх) (2) а 1=0 называют погрешностью квадратурной формулы. Одним из источников получения квадратурных формул (1) служат интсрполяционпые многочлены, построенные по значениям функции ((хь), О < ь < Х. Заменив в левой части (1) функцию !' таким мпогочлсном, получим правую часть. Приведем три простейших примера квадратурных форльул с равноотстояшими узлами. Пусть отрезок ]а!Ь] разделен на п равных частей, и, б И, Ь = = (Ь вЂ” а)~п шаг разбиения.
Пусть х, = а+ (1 + 1222)Ь, О < 1 < п — 1. Квадратурную формулу ь 410. Приблихсенное вычисление интегралов 213 называют формулой прямоугольников (рис. 10.1). Если функция 1 имеет па [о; Ь] кусочно непрерывную первую или вторую производную, то длн погрешности гл формулы прямоугольников верны соответстяенно оценки [гл[ < — 6 яцр ]2 (х)[, (4) 'ггг; 1г~ [16[ < 62 яцр]1н(Х)[. (5) 24 [вгь) Если к тон|у жс 1н(х) непрерывна па [о;Ь], то для некоторого с с (а;Ь) 24 Пусть хг = а+16г 0 < 1 < и; тогда квадратурную формулу ь п — 1 ~'~(х)йх= 6(2,ахв)+а и))+У ах,)) (2) и г=О называют формулой трапеций (рис.
10.2). а хе Охг хг хь хл хв Ь х Рнс. 10.1 Рнс. 10.2 Если функция р = 1(х) имеет па [о; Ь] кусочно непрерывную первую или вторую производную, то для погрешности гл формулы трапеций верны неравенства ]11] < — 6 зцр ]2 (х)[, (8) 4 ]йь[ < 62 1 ]Уи(х)[. (О) 'гигЬ! Если к тому же 1н(х) непрерывна на [о; Ь], то при некотором 4 Е (о; Ь) 12 (10) ПУсть 11 = 2т, пг Е Шг 0 < 1 < п. КваДРатУРнУю фоРмУлУ ь иг — 1 Ш / ~(х) йх — — (У(хо) + 1(хи) + 2 ~ Д(хзл) + 4 ~ У(х21 — 1)) (11) и 1=1 1=1 Рл, ец Определоиний интеграл и его приложения называют формулой Симпсона [формулой парабол). Правая часть этого равенства получается при замене графика функции у = 1'[х) на отрезках [хз,хг; г] параболами, проходящими через точки [хр) Я[хо)), р= 21',21'+ 1,21+ 2 (рис.
10.3). Если функция у = 1(х) име- ет на [ад Ь] кусочно непрерывную производную порядка Ь, 1 < Ь < 4, то для погрешности Ь формулы Симпсона верны соответственно оценки [йе] < сь [Ь вЂ” а) Уь вцр] г~ь) [х)], [12) )о;а) где с = 5118, сз = 4/81, сз = 1/72, се = 11180. Если к тому же ~)о)[х) непрерывна на [а; Ь], то при некотором 5 й й (а;Ь) ~ = — ',„' Ь' уш) ®. [13) При нахождении приближенного значения интеграла с погрешностью, не превышающей заданного значения в, следует вначале для выбранной приближенной формулы найти из неравенства ]г1] < в достаточное число узлов (иначе говоря, шаг 6), используя, например, неравенства [5),[9),(12).
Если подынтегральная функция нодифференцируема в некоторых точках отрозка интегрирования, то оценка погрешности по формулам (5), (9), [12) невозможна. В этом случае иногда удается с помощью замены переменной преобразовать интеграл к виду, в котором подынтегральная функция дифференцируема достаточное число раз. Для оценки погрешности, кроме [5), [9), [12), используют еще правило Рунге, которое в простейшем виде состоит в следующем.
Пусть 1ы,1хь и 1ея - приближенные значения интеграла,1, полученные при делении отрезка интегрирования па Ь. 2Ь и 4Ь частей соответственно. Погрешность результата близка к заданной границе в, если < — и [14ь — дзя] < (2" — 1) в, ,1еь — 1ь 2о где р = 2 для формул прямоугольников и трапеций, р = 4 для формулы Симпсона. 2. Под оценкой интеграла Х подразумевается нахов:дение границ 1г и 1з промежутка, которому принадлеокит этот интеграл. Будем называть оценкой интеграла и систему неравенств 1г < 1 <,1з (или .1г <,1 <,1з). 410. Приблингеннае анниаление интегралаа 215 Для оценки интегралов используют неравенства между интегралами, вытекающие из неравенств между подыптогральными функциями, различные интегральные неравенства (см.
3 6), интегрирование по частям, особенно, если оно ведет к уменьшению подьштегральной функции, и т, д, Для оценки значений подынтегральной функции нередко используют выпуклость ее графика, разложение по формуле Тейлора и т. д. Иногда бывает полезно промежуток интегрировании разделить на части и подобрать для каждой из них свой метод оценки. Приемы приближенного интегрирования, рассмотренные в предыдущем пункте, также позволяют получать оценки интегралов и могут быть использованы в сочетании с другими методами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
