1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Найти расстояние от точки ЛХ до точки О в момент 1 = 2л/ш и путь, пройденный точкой к этому моменту. 11. Материальная точка двигалась равномерно и прямолинейно, имен кинетическую энергию НЬ В момент времени 19 на нее начала действовать постоянная по величине и направлениго сила Г, перпендикулярная в момент 19 направлению скорости точки. Какой путь пройдет точка за то время, в течение которого ее кинетическая энергия удвоится Г 12.
Нерастяжимую нить сматывают с неподвижного барабана (радиус которого Л), держа ее в натянутом состоянии. Угловая скорость точки схода нити по окружности барабана известна как функция времени ш(1), 1 > О. Найти путь, пройденный концом нити за время Т. Какой путь пройдет конец нити, когда точка схода нити с барабана совершит полный оборотГ 13. Окружность радиуса г катится без скольжения по прямой в одном направлении. В начальный момент на окружности отмечена точка ЛХ, диаметрально противоположная точке касания окружности с прямой. Найти путь, пройденный точкой ЛХ к тому моменту, когда она снова окажется в наивысшем положении.
14. Внутри окружности й, радиус которой 3г, находится, касаясь ее, окружность ш с радиусом г. На ш отлгечена точка касания ЛХ. Окружность ш начинает катиться по й без скольжения в одном направлении. Найти путь, пройденный точкой ЛХ окружности ш: 1) к тому моменту, когда она снова попадет на окружность Й; 2) за один оборот центра ш вокруг центра Й.
Найти статические моменты ЛХе и ЛХв кривой (15 -17) *). 15. 1) х/а+ у/Ь = 1, х > О., у > 0; 2) хг + уз = аз, у > 0; 3) уг=2х, 0<х<2: 4) дг — рг=2рх, х<0; 5) хг/аг + у~/Ьз = 1, д > О, а > Ь; 6) у = а с11 (х/а), 0 < х < а. 16. 1) х=огйп1, д=Ьсоя1, 0<1<я/2, а>Ь; 2) х = и яш 1, у = Ь соя'1 1, 0 < 1 < зт/2; 3) х = а(Ь вЂ” яш1), у = а(1 — соя1), 0 < х < 2к.
17. 1) г = 2а соя 9э, 0 < 9э < к/2; 2) г = а11 + соя 9э), — я < 9з < г; 3) г = аее, 0 < 9з < 211. 18. Доказать, что статический момент дуги АВ параболы относительно оси параболы равен Ло(Лл — Лв)/3, где Ло, Лл и Лв *) Счюа~ ь в аавачах этого параграфа р = 1, если не оговорено иное. Хл. В. Определанная интеграл и его приложении радиусы кривизны параболы в се вершине и точках 4 и В соответственно.
19. Найти координаты ха и уа центра масс кривой: 1) х = Лсовгр, у = Ляпгги, ~са~ < о < и; 2) хзгв+ узгз = азгв. х > О, у > 0; 3) у = ас1г(х/а), ~х~ ( Ь; 4) х = рз/4 — Пгг у)/2, 1 ( у ( 2; 5) х = а(1 — яп 1), у = а,(1 — сов в), 0 < Х < 2х; б) г = а(1+ сов р), О ( р ( х; 7) г = аел, л/2 ( Ви ( х. 20. Доказать, что если однородная кривая имеет ось симметрии, то центр масс кривой лежит на этой оси. 21.
Доказать, что статический момент кривой относительно оси, проходящей через центр масс, равен нулю. 22. Найти момент инерции отрезка, длина которого 1, относительно оси, лежащей с ним в одной плоскости и не пересекаюшей этот отрезок, если расстояние до оси от одного конца отрезка равно а, от другого Ь. 23. Найти момент инерции 1л кривой; 1) у=с', 0<х<1/2; 2) х = Л сов ьи, у = Л яп гги, 0 ( р ( а < 2гг; 3) х- л-1у — а)з = Лз, а > Л. 24. Найти моменты инерции 1, и 1и одной арки циклоиды х = а1г — япв), у = а11 — савв), 0 < Х < 2х.
25. Пусть ось 1о проходит через центр масс кривой и момент инерции кривой относительно оси 1е равен 1г„. Пусть ось 1 параллельна 1е и расстояние между этими осями равно гХ. Доказать, что 1г = 1г + вгХ где 1г --. момент инерции кривой относительно оси 1, в --. длина кривой. 26. Найти статический момент однородного треугольника с основанием а и высотой Ь относительно оси, содержащей его основание.
27. Найти статический момент однородного круга с радиусом Л относительно: 1 ) одной из его касательных; 2) оси, отстоншей от центра круга на расстояние а. 28. Найти статические моменты ЛХл и ЬХи фигуры, ограниченной кривыми: 1) х/а + у/Ь = 1, х = О, р = О, а > О, Ь > 0; 2) у=совх, )х)(х/2, у=О; 3) у=япх, 0<х<н, у=1/2; 4) у = хз, у = х/х; 5) у = 2/(1 + хв), у = хл, х = О, х > 0; б) уз = 2рх, у = О, х = а, а > О,.
у > 0; 7):г = аяпв, у = Ь савв, )Х! < х/2, у = 0; 49. Решение геометрических и физических задач 193 8) х = а(1 — згп1), у = а(1 — соз1), 0 < 1 < 2гг, у = 0; 9) г = агр, 0 (чз < гг; 10) г = и(1+ соз9з), (зо) ( гг. 29. Найти расстояние от центра масс до основании однородного треугольника, если высота треугольника равна 6. 30. Однородная пластина составлена из прямоугольника со сторонами 2Ь и 6 и полукруга с диаметром 2Ь, приваренного к стороне прямоугольника длины 2Ь. Найти центр масс пластины. 31.
Найти центр масс полукольца, ограниченного концентрическими полуокружностями радиусов г и 77, В > г, и отрезками диаметра. 32. На каком расстоянии от большего основания однородной трапеции расположен се центр масс, если основания трапеции равны а и Ь, а > Ь, высота .. 6Г 33.
Плотность треугольной пластины меняется в зависимости от РасстоЯнил х до основаниЯ по законУ Р = Ро(1+ ггх~гг69), где 6 высота пластины. При каком а центр масс пластины будет удален от основания па расстояние 6гг2Г Найти координаты ха и уа центра масс фигуры, ограниченной кривыми 134, 35). 34.
1) ха + уз = Вз, у > О, у = 0; 2) у=ах", 0<х<Ь, д=О, х=Ь, п>0; 3) у=6(1 — хзггаз), у=О, 6>0, а>0; 4) уг = хч,'а, х = а,. у = О, а > О, у > 0; 5) у=зшх, 0(х(я, у=О; 6) у=асЬ(х/а), у=О, /х/=Ь, и>0; 7) у = сов х цх/ < лгг2), у = 1гг2; 8) у = 2х~г, у = зшх, у = 0; 9) уг = 2рс, хз = 2ру. 35.
1) чггх+ гу =;гга, х = О, у = О. 2) дг = 2х х+ у = 4 3) у — хз х+ у 2 х — О. 4) уз ахз А, 5) хзгга' + уз,гЬ = 1, х > О, д > О, х = О, у = Ог 6) тзгз + узгз изгз з, > 0 у > О х 0 у 0 7) х = а(А — аш Ц, у = а(1 — соя 1), 0 < 1 < 2л, у = 0,: 8) хз + уа = аг, хгггаз + узггЬз = 1, х = О, у ) О, х ) О.
36. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной кривыми уг = 4х, у = 2,. х = О., если плотность фигуры Р = х. 37. Найти центр масс сектора однородного круга с центральным углом 2а; радиус круга равен г. 38. Найти координаты хс и уа пентра масс фигуры, ограниченной в полярных координатах: 1) полувитком архимедовой спирали г = агр, 0 < зз < л, и лучами гр = 0 и гр = л;.
2) кардиоидой г = а(1 + сон уз); Гл. 2( Определанная интеграл и ега приложения 3) правой петлей лемниснаты Бернулли гз = аз сое2р; 4) кривой г = азш2~р, О < ~р < л/2; 5) кривыми г = ъ~'2, г = 2ешу, л/4 ( ~р ( Зп/4. 39. Из однородного круга, радиус которого Л, вырезана часть, ограниченная окружностью радиуса Л, проходящей через центр данного круга. Найти центр масс оставшейся части круга. 40.
Доказать, что если однородная фигура имеет ось симметрии, то центр масс лежит на этой оси. 41. Доказать, что точка плоскости, определяемая для кривой или фигуры формулами хо = Ии/т, ра = ЛХ,/т 1т. е. центр масс), не зависит от выбора системы координат. 42. Найти в перном квадранте такую кривую р = р(х), что абсцисса центра масс однородной фигуры, заданной неравенствами О < х ( с, О ( р < р®, равна с(п — 1)/п, ( > О, п, > 2.
43. Найти моменты инерции однородного прямоугольника со сторонами а и б относительно его осей симметрии. 44. Найти момент инерции однородного прямоугольника со сторонами а и б относительно оси, параллельной сторонам, длины которых б, и удаленной от ближайшей из них на расстояние с. 45. Найти момент инерции однородного круга радиуса В относительно его диаметра. 46. Найти момент инерции однородного круга радиуса В относительно оси, лежащей в плоскости круга и отстоящей от его центра на расстонние а. 47. Найти момент инерции однородного треугольника с основанием а и высотой 6 относительно: 1) оси, содержащей его основание; 2) оси, проходящей через вершину параллельно основанию; 3) оси, проходящей через центр масс треутольника параллельно основанию.
48. Найти момент инерции однородного полукруга, радиус которого В, относительно ограничивающего его диаметра. 49. Найти моменты инерции однородного эллипса с полуосями а и б относительно его осей симметрии. 50. Найти моменты инерции 1„1и фигуры, ограниченной кривыми; 1) р/Б = х-'/аз, р = 6; 2) ар = 2ах — х-', р = О. 51. От однородного круга 1с радиусом В) отсечены два сегмента параллельными хордами, каждая из которых удалена от центра па расстояние 6.
Найти момент инерции оставшейся части круга относительно оси, проходящей через центр параллельно хордам. 99. Решение геометрических и язизичесних задан ш5 52. Найти момент инерции однородного квадрата со стороной а относительно его диагонали. 53. Найти момент инерции однородного правильного шестиугольника со стороной а относительно его большей диагонали. 54. Из однородного круга, радиус которого Л, вырезан сектор с центральным углом о < я. Найти момент инерции этого сектора относительно; 1) его оси симметрии; 2) прямой, перпендикулнрной его оси симметрии и проходящей через центр круга, 3) оси, содержащей радиус, ограничивающий сектор.
55. Прямой круговой однородный конус имеет высоту 1ь На каколч расстоянии от основания конуса находитсн его центр массГ 56. Найти расстояние от центра масс однородного полушара радиуса Л, до его основания. 57. Найти центр масс однородного усеченного конуса с радиусами оснований Л. и г, Л > г, и высотой сз. 58. Найти расстояние от центра масс прямого кругового конуса с высотой сг до его основания, если плотность конуса в точке пропорциональна: 1) расстоянию от точки до основания; 2) квадратному корню из расстояния до основания. 59. Найти координаты центра масс тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, заданной неравенствами О < з, < а, рз < 2рх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
