1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Найти объем тела, образованного при вращении этого сегмента вокруг хорды. 31. Определить объем бочки, высота которой равна 6, диаметр каждого из оснований с1, диаметр среднего сечения 11. Осевые сечения боковой поверхности являются параболами с вершинами на окружности среднего сечения. 32. Эксцентриситет эллипса равен е. Хорда эллипса длины 2ач перпендикулярная большей оси, разделяет эллипс на два сегмента, меньший из которых имеет высоту 6. Найти объем тела, образованного при вращении меньшого сегмента: 1) вокруг большей оси эллипса; 2) вокруг лееньшей оси эллипса.
33. Зксцентриситет гиперболы равен е. Хорда длины 2а, перпендикулярная действительной оси гиперболы, отсекает от гиперболы ссгмент высотой 6. Найти объем тела, образованного при вращении этого сегмента: 1) вокруг действительной оси гиперболы; Гл. 2С Определенный интеграл и его приложения 2) вокруг мнимой оси гиперболы. 34. Найти объем тела, образованного при вращении астроиды хг!з + уз~э аз~э вокруг прямой у = х. 33. Сегмент ограничен дугой параболы уз = 4ах и ее хордой, лежа- щей на прямой у = 2х.
Найти объем тела, образованного при вращении этого сегмента вокруг хорды. 36. Дуга параболы тут/а+ туу75 = 1 вращается вокруг прямой х/а+ у/5 = 1. Доказать, что объем полученного тела вращения равен 1е = — лгзН, 15 где г - наибольший радиус поперечного кругового сечения, Н длина этого тела вдоль осн вращения. 37.
1) Найти объем тела, образованного при вращении нокруг пря- мой у = Лх 1й > 0) сегмента параболы 2ру = хз, отсеченного этой прямой; 2) доказать, что объем указанного в п. 1) тела вращения равен 1г = — лгзН, 15 где г . —. наибольший радиус поперечного кругового сечения, Н длина этого тела вдоль оси вращения. 38.
Угол между двумя скрещивающимися прямыми 1 и т равен а, длина их общего перпендикуляра АВ равна 6. Из точек ЛХ и Х прямой т 1В . середина отрезка ЛХХ) опущены перпендикуляры МЛХ, и 1УЛе~ на прямую й Найти объем тела, образованного при вра- щении пространственного четырехугольника ЛХ~ЛХХ1У1 вокруг пря- мой 1, если ~МГ1~ = 2а. 39. Объем куба равен К Найти объем тела, получающегося при вращении куба: 1) вокруг ого диагонали; 2) вокруг диагонали его грани.
40. Найти объем тела, образованного при вращении фигуры, огра- ниченной параболой у =ахз и ееэволютой х=4азгз, у = Заре-Р 1712а): 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу. Найти объем тела, образованного при вращении фигуры, ограниченной данными кривыми 141 47). 41. х=1з, у=йз; у=О, ~х~=1: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу. 42. х = а яп1, у = а яп 2г, 0 < 1 ( 2л; 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу. 43. х = а11 — аш1), у = а(1 — соей), 0 < Г < 2л,. у = 0: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу; 3) вокруг прямой х = ла; 4) вокрут примой у = 2а. 44. х = а зшз 1, у = 5 созе Г, О ( 1 < 2я: 48. Вычисление объемов спел и плошадеи повврхностеа 155 1) вокруг оси Ор; 2) вокруг прямой х = а. 45.
1) х = асЬзя, р = аяЬ Ят, х = 2572а вокруг оси Ох; 2) х = [1/2)сЬ51, р = [1/2) яЬ51, х = О, [р[ = 1/2 вокруг оси Ор. 46. х = 2аР,1[1+ 1а) р = 2аяз/[1+1я) х = а: 1) вокрут оси Ох; 2) вокруг прямой х = а. 47. х = а[1+ соя 1), р = а[181+ яйп 1), х = За/2: 1) вокрут оси Ох: 2) вокруг прямой х = а. 48. Прямая р = За/2 разделяет фигуру, ограниченную циклоидой х = а[1 — гйпя), р = а[1 — соя1), 0 ( 1 < 2г, и осью Ох, на две фигуры. Найти отношение объемов тел, образованных при вращении каждой из получившихся фигур вокруг прямой р = За/2.
49. Найти объем тела, образованного при вращении петли кривой х=21 — 1з, р=41 — 1з: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Ор. 50. Найти объем тела, образованного при вращении петли кривой 2а х=, , р=а„ 6+1' 1е+1 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Ор. 51.
Пусть функция г = г[р) непрерывна на [сц Д), 0 < а < В < 2я. Доказать, что объем тела, образованного при вращении сектора а < р < В, 0 < г < г[оо), вокруг полярного луча, равен 2п г я Г = — 1 г [р) яй1чос1р. 3/ 52. Пусть функция г = г[р) непрерывна на [сц 6), — л/2 < а < Д < < я/2. Доказать, что объем тела, образованного при вращении сектора: а(р(р', 0<с<с[р), закрут луча со = я/2 равен д 2я г Г = — ~ г [р) соя~рсрр.
3 ./ Найти объем тела, образованного при вращении вокру~ полярного луча фигуры, заданной в полярных координатах неравенствами [53, 54) . 53.1) 0(г(ар, 0(р(л; 2) ягзК~р(л; 3) 0 ( г ( асояз р; 4) 0 ( г ( 2аяш р; 5) 0 < г < асояз р; 6) 0 < г < аяша р; 7) 0 < г < аело, 2пп < р < 2ян+ я, где и заданное целое число; 8) 0 < г < а Я/сооя З~р, [~р[ < я/6; 9) 0 < г ( а фсооя Зр, 7я/6 < 5о < Зя/2.
166 Гл.2. Определенный интеграл и его приложения 54. 1) О < т < а(1 + соя р); 2) О < т < 2а, О < р < —; саяр' 3' 3) 0<т< Р, 0<р< —; 16-есовр' 2' 4) 0 < т < ачтсооя 2р; 5) 0 ( т ( ах/вт 2р; 1 «За соя 2р я « Зя 12 -~- соя 2р) гйа р ' 4 4 7) 0 < т <, 0 < р < —; 8) а < т < а~/2 гйп 2р. сов рсов2р' б ' 55. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг полярного луча улитки Паскаля: 1) т = асовр+1, 1 < а (внешняя петля); 2) т = а сов р — 1, 1 < а 1внутренняя петля); 3) т = аснар+1, 1 > а.
56. Найти объом тела, образованного при вращении вокруг луча р = к/2 фигуры, заданной в полярных координатах неравенствами: 1) 0 < т < аирвшр; 2) 0 < т < а соя 2р; 3) 0 < т < ахгтсояЗр, ~р~ ( т~6; 4) 0 < т < а~/сооя Зр, к1'2 < р < бк/6; 5) 0 < т < а11 + соя р), ~р~ < к/2; 6) 0 < т < а Р, (р! ( †; 7) 0 < т < ; (р) < †, ' совр ' 4' 1+саяр' 2' 8) 0 < г < а/сов2р. 57. Найти объем тела, образованного при вращении петли конхоиды: Ц т = 4а + а/ соя р нокруг полярного луча; 2) т = 2а+а1'саяр вокруг луча р =.г/2. 58. Найти объем тела, образованного при вращении кардиоиды т = а11+сояр) вокруг прямой тсояр = — а/4.
59. Найти объем тела, образованного при вращении одной петли лемнискаты т' = азтйп2р; 1) вокруг луча р = к1'4; 2) вокруг луча р = — к/4. 60. Найти объем тела, образованного при врашении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой: 1) х' + у" = авх'; 2) хл + у' = 2ахд'; 3) 1хз + дв)з = а'хл; 4) 1хв + уз)в = а-'1хв — дз) 5) х(хв — ув) = а1хв + уз) х = За. 61. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривой; Ц хл + ул аув. 2) хл + уй 2аху2. 3) 1хз + дз)Я алуа. 4) 1хв+ уз)в = а-'1х~ — уз)з; 5) 1хз+ уз)з = авхзуг, 62. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг прямой у = х фигуры, ограниченной кривой 1хз + уз)в = а 1хз — ув), 48. Вычисление объемов тел и плои1адей~ поверхностей 167 поверхностями 163 — 65).
'г+ г = ~'-")7,=0 у + — + — „=1; Ьг сг х у —,, + —,, — —, = — 1, х=с+Н. аг Ьг сг Найти объем тела, ограниченного 63.1) —,+ —,=1, ф=Н; 2) 3) 2 — = —,+ —,, г=Н; 4) 5) —,+ — ", — — =1, ~г~=Н; 6) аг Ьг с' 67. Радиус прямого кругового цилиндра равен г. Плоскость, составллюгцая с осью дилиндра угол се, пересекает его боковую поверхность и нижнее основание, отсекая от етого основания сегмент с центральным углом 277. Найти объем части цилиндра, ограниченной зтим сегментом, плоскостью сечения и боковой поверхностью цилиндра.
68. Угол раствора прямого кругового конуса равен 2о (2о ( х12). Плоскость, перпендикулярная образующей конуса, пересекает ее в точке, удаленной на расстояние а от вершины. Найти объем отсеченной части конуса. 69. Через центр основания прямого кругового конуса с радиусом г и высотой 6 проведена плоскость, параллельная образующей конуса. Найти отношение объемов частей, на которые рассечен конус.
70. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 1) + = 1 + = 1. 2) хг = 6(а у) уг + гг = иу. л с у г ог сг ' Ьг сг 64.1) У„+ =1, х=О, у=О, г=О; 2) г.г + уг +, г + ху+ ух+ хх = пг. 3) уг + хг = агой г1х/о), ~х~ = 6; 4) азГхг — уг) = хгхг, х = а; 7) 4слгхг(1 — У, ) = (хг ~г)~ Ьг / 65.1) — ',, + —,=1, — = —,.
с=О; аг Ьг ' Н а' 2) хг = а(,а — у), х = 61у, х = йгу, йг >11, х у х г х л 3) — = —, — ч- — =1, — — — =1; а Ьг' а с ' а с г 4) —,+ — „=1, — '" — — =О, — "+ — =0(е>0); 5) —, + у, = ~,,: = "—, с=О (у>0),: 6) хг ч- уг = ах, (х! = (г!. 66. Основание конуса —. плоская фигура площадью Н, вершина конуса удалена от плоскости основания на расстояние Н. Найти объен1 конуса. Гл. Ю. Определенный интеграл и его приложения х у л х, у с аг Ьг' о| аг ГР' 4) Ьу=х(а — г), Ьу=х(г — а), я=0, х=Ь; а'-' Ь-' с- "' бс аг Ьг 4 9о 16 ' 2 36, 8 4у- г ж а 4у 7) х; — — — — = — 1, х- — — ', — — =1. 3 27 ' 5 45 71. Оси эллипса имеют длины 2а и 2Ь. На каждой хорде эллипса, параллельной оси 2а, построен как на диагонали квадрат в плоскости, перпендикулярной другой оси эллипса.
Найти объем получившегося тела. 72. Две грани шестигранника --- прямоугольники, стороны одного из них с длинами а| н Ь| параллельны сторонам другого с длинами аг и Ьа соответственно. Расстояние к|ежду плоскостлми этих прямоугольников равно Ь,. Найти объем шестигранника. 73. Объем треугольной призмы АВСА|В| С| равен 1'. Рассматриваются все треугольники, лежащие в плоскостях, параллельных основаниям, и имеющие вершины на диагоналях АВ|, ВС| и СА| боковых граней призмы. Найти объем тела, образованного этими треугольниками. 74.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
