1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 21
Текст из файла (страница 21)
[7) еа Аналогичные формулы имеют место, если вместо оси Оз взять ось Ох или Од. 2. Вычисление площадей поверхностей. Пусть д = д[х) непрерывно дифференцируехлая на отрезке [и; б) функция. Площадь Н поверхности, образованной при вращении графика этой функции вокруг оси Ох, равна ь Гренд ем . [8) Пусть в полуплоскости д ) О параметрически задана кривая урав- нениями Од. Вычисление обиемов сиел и илии(аде)2 иоеерхноси)еа При аналогичных условипх площадь Я поверхности, образованной при вращении кривой вокруг оси Оу, соответственно равна 2=2 )')*Ь))М2))*"Рс» [8') с 2 =2 ) и(Й)Ч)С (1) ))' (1)Л ( (Й) ) 0), д е = 2 1 $ , (2) ( С *'с( 2) ° д ' (2 ) 22 (* (2 ) с с ) . Ос ) Пусть спрямляемая кривая, длина которой ео, расположена по одну сторону от прямой 1, г[е) . расстояние от конца дуги кривой дли- ны е до примой 1, и пусть г[л) - — непрерывная функции е е [О;ео).
Площадь Я поверхности, образованной при вращении кривой аокруг примой 1, равна ео 5 = 2и [' г[е) (3е. о Площадь поверхности, образованной при вращении вокруг поллр- ного луча кривой г = г[(о), 0 < (д2 < (о < и)2 < и, равна 2 = 2 )ы (С) "С(С) ) "'( ) и С С), 22) где г[О)) непрерывно дифференцируемая на [О)~,.(2)2) функция. При атом же условии площадь поверхности, образованной при вращении закрут луча (о = п[2 кривой г = г[((о), — л,)2 < ()2) ( (с) ( (оз < г~2, равна ))2 .ч =2 ) (ч),РЪ)) ) '*(е)- )2).
Ф( Пусть образующие цилиндрической поверхности параллельны оси Оз, а ее направллюшей в плоскости Оху служит кривая Ео без особых точек, заданная параметрически уравнениями х = х[1), у = у[о), а < 1 < (3, [12) где х[т) и у[г) непрерывно дифференцируемые на [а; 3) функции. Пусть на этой поверхности параметрически задана кривая Ь уравне- ниями [12) и уравнениеи( з = и[1), а < 1 < )3, где з[г) неотрицательная и непрерывная на [а((3) функция.
Пло- шадь Я части цилиндрической поверхности, заключенной между кри- выми Ло и Ь, и образующими, соответствующими 1=а и 1=)3, равна д е = )' *О),/Р(~) —:-с" (2) 22 [13) Гя. 8. Онределенныл интеграл и его нрилолсения Если за параметр взята длина е дуги кривой Ао, О < е < ео, то ба В= /гге)гЬ, 114) о а если параметром является х, о < х < 5, то б = Л'*( )ббб+Р(')б* а Пусть на цилиндрической поверхности заданы параметрически две кривые Ьл и Ьз уравнениями 112) и соответственно уравнениями г = зл'лг) и з = з1г), о ( т ( Д, где з~ Гг) и ззГг) непрерывны на ~о;)Л] и з~ Гг) < гз1г).
Площадь части цилиндрической поверхности, заключенной мегкду кривыми Ал и Вз и образующими, соответствующими г = гг и г =,3, равна д б= )О О)-* Х)а* игг у О)Л 116) о 115) ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Фигура ограничена дугой параболы у = 4 — х-', отрезком ~ — 2;О) оси Ох и отрезком прямой у = Зх. Найти объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Ох. А Найдем абсциссу хо точки С пересечения параболы у = 4 — хз Рис. 8.8 Рис. 8.5 и прямой у = Зх Грие. 8.5); 4 — хз = Зх, хл — — 1, ха = — 4; отслода хо = 1.
Искомый объеьл равен разности объемов 1'л и Из тел, образованных при вращении криволинейной трапеции АВСВ и треугольника ОСО. По формуле 11) находим л л 1'л =я/~4 — х ) бах= — лг, 153 5 — з 48. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей Следовательно, объем заданного тела вращения равен 138 с1 12— 5 П р и м е р 2. Найти объем тела, образоваьшого при вращении круга (х — а)2+ ул ( оз вокруг оси Оу (рис. 8.6). й Дуги АСС и АВС являются графиками функций х1(у) = а — т/из — уз и хз(у) = а+ Ь7аз — уз.
— а < у < о. Обьем тела вращения найдем по формуле (6): о а 1' = и / (хд(у) — х, (у)) йу = 4ла /;/а~ — 112 Йу = — е — а и/2 = 4наз / созззИ1 = 2лзаз. д — и/2 Приъ|ер 3. Найти объем тела, образованного при вращении астроиды х = асозз1, у = огйп 1, О < 1 < 2л, вокруг оси Ох. а Астроида симметрична относительно осей Ох и Оу, позтому искомый объем ранен 21; где Ъ' -- объем тела, образованного Рпс. 8.8 Рис.
8.7 при вращении криволинейного треугольника ОАВ (рис. 8.7) вокрут оси Ох. По формуле (2') находим и/2 и/2 = — 3ла ~ (1 — совьз)' соз зйсо81= — на . зр д з 2 16 з 105 о 32 Следовательно, обьем всего тела равен — згаз. й 105 Пример 4. Найти объем тела, образованного при вращении фигуры, ограниченной параболой 2у = 4 — хз и прямой х + у — 2 = О, вокруг прямой х+ у — 2 = О. г"л. 8. Определенный интеграл и его приложения 1 54 и плоскостями у=О, г=О, — + — — 1=0, — — — +1=0. Л Н ' Л Н л В силу симметрии тела отноРис. 8.9 сительно плоскости х = 0 (рис. 8.9) его объем равен удвоенному объему части тела, находящейся в первом октанте.
Каждое сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, является прямоугольником (АВСВ на рис. 8.9). Пусть ОА = х; тогда АВ = — (Л вЂ” х). АР = Я' — хз Л 8(х) = ~(Л- )т/Лз-хг. Л Следовательно, = 2 — / (Л вЂ” х) т/Р— а:з Нх = Лд о о грг = 2НЛ' / (1— о з 2 а 1 1, 3 яп а) соз а сЬ = 2НЛ ~ — + — яп 2а + — соз а/ ~2 4 3 о = НЛгз 4 б л Совершив поворот и сдвиг (перенос), перейдем в систему координат О'ио, ось О'и которой расположена на оси вращения прямой х + у — 2 = 0 (рис. 8.8). Угол поворота, как следует из уравнения прямой, равен — я/4.
Формулы перехода имеют вид и = (х — у + 2)/чг2, и = (х + у — 2)/т/2. В этой системе координат парабола 2у = 4 — хз будет задана параметрически уравнениями и = и(х) = (х — д(х) + 2)/т/2, и = о(х) = (х + д(х) — 2)/т/2, где у(х) = (4 — хг)/2.
Дуга О'А параболы соответствует отрезку 0 < < х < 2. Объем тела вращения находим по формуле (2'): о 3 1' = и/ оз(х)и'(х) Ах = т 1 — (2х — хг) — 1х+ — 1 г1х = д 8 ог2~ 2/ о о /(4хг — 4хз + хл)(1 + х) г1х = 8т/2 l 2оГ2 15 Пример 5. Найти объем тела, ограниченного цилиндром хг -ьуз = Л' 48. Вынисление ойоелгов тел и площадей поверхностей Пример 6. Найти площадь поверхности, образованной при вращении дуги параболы 2ар = хз — а', 0 ( х ( 2н2и (рис. 8.10): 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Ор. а 1) По формуле 18) имеем 3 Ла / (~(*((Л + РТ ( а* = о Зъ за о Рис. 8ЛО Сделаем замену х = о1 и учтем, что если 0 < < х < а, то )х~ — гл-~ = -(ха — из), а если х > а, то )х~ — из) = х~ — из.
Тогда будем иметь 1 3 ~2 117) где г(1) ~ з 1) (ох+ Первообразную Г(г) функции 11г) найдем, например, с помощью замены 1 = ай(р, в результате получим Г(4) = ' 1Я+1 121з — 3) — -' 1п14+ гг1+ 1з). Из 117) имеем Я = .ги ( — Г(1 ) + Г(0) + Г(2ъ'2) — Г(1)) = = гга 1ГГО) + Г12ъ'2) — 2Г11)) . Вычислилг значении первообразной: Г(0) = О, Г(2тг2) = — — — 1п(3+ 2ъ'2), Г(1) = — — — — 1п(1+ тг2). Отсюда найдем Я = па (1 — — 1п(3 + 2ъ'2) + — + — 1п11 + агг2) г( = 10иа=аГ2. ,гзйЯ тг2 5 4 8 4 4 2) Считан кривую заданной параметрически уравненинми х = х, 2ау = оз — х~, по формуле (9') находим заза аЛа / л=2 ).:д~р (,(а,=2 1 *((1+*— ',~..= з2/ хатзрз2 аа о2 2 = гга — ~1+ —,) = — па.А 3 а ) о 3 155 Гл.
Я. Определенный интеграл и его приложения Пример 7. Прямая у = а, пересекает дугу циклоиды 2а у(г) — а х = а(1 — зш1), у = а(1 — соз|), а 0 < 1 < 2)г,. А В I в точках А и В. Найти пло- О па зза * щадь поверхности, образован- ной при вращении дути АВ Рис. 8.11 циклоиды вокруг прямой у = а (рис. 8.11). а Точки А и В соответствуют значениям параметра 1 = и,('2 и 1=3л/2, дуга АВ значениям 1Е [яг(2,3я((2).
Площадь поверхности вращения найдем по формуле Зз12 г=г )' (у(1) — ) Я' Х-';г'(1)а, (18) г (2 аналогичной (9). Здесь вместо стоящего в (9) расстояния у(1) от точки кривой до оси Ох (оси вращения) стоит расстояние у(г) — а от точки кривой до прямой у = а, являющейся в данном случае осью вращения (рнс. 8.11). Вычисляем: У(1) — а = — асоз1, = 2а з(п(1,(2), и* о)+г' (~) = 2 Е (лг(2;Зл,(2). По формуле 18 получаем З, Гз Я = — 4па ( сов 1зш — ~Ю.
2 и (З После замены соз(1((2) = г находим 11,2 з (' 2 з 1 1('" з 165()2паз В = — 8.га дг (2з — 1) г1г = — 8па ( — г' — г) . а 3 ((нз 3 (!~ з Пример 8. Найти площадь поверхности, образованной при вращении эллипса хз+ 4уз = 36: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Огб а 1) Дуту АВС эллипса (рис. 8.12) можно рассматривать как график функции у= — хгг36 — хз, — 6<х<6. 1 Но эта функция не имеет производной при х = х6, а на интервале ( — 6; 6) ее Р ..бпз производная не ограничена, поэтому 88.
Вычисление объемов спел и площадей поверхностей 187 формула [8) непосредственно неприменима в данном случае. Для устранения этой трудности воспользуемся приемом, который часто бывает полезным при нахождении площадей, как, впрочем, и длин кривых и объемов фигур, а именно параметризуем эллипс. Функции х = бсов1, у = Зяп1 представляют непрерывно дифференцирусмую параметризацию данного эллипса, при этом дуга АВС соответствует значенинм 1 Е [О: и). Площадь поверхности, образованной при вращении дуги АВС эллипса вокруг оси Ох, находим по формуле [9): г=г 13 ~ г 3г6л г-:-г 'гл. о В результате замены со81 = (27гхггЗ) яшар получим и/3 В = 24йт / сова 7гсйр = 2ч73л[4л+Зч73). — е/3 2) Дута РАВ [рис. 8.12) эллипса, заданного параметрически в виде х = бсо81, у = Ззшг, соответствует значениям 1 е [ — тг/2;л72).
Площадь поверхности, образованной при вращении дуги РАВ вокрут оси Оу, находим по формуле [9'): и/з л=г 1 6ь г 'Згл +гг гег. — е/з После замены яп1 = [1счГЗ)зЬ77 получим агеи чгэ 8= 12 'Зп / с11 рс177 = 24 ГЗл[2 ГЗ+)и[2+ Л)). д — агль чгэв П р и м е р 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
