1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Найти площадь поверхности, образованной при вращении петли кривой 9хз = у[3 — у)з: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу. лг Петля кривой соответствует значениям у Е [О;3] (рис. 8.13). Введем параметр йг по даган = 3 у=у, 1е Й, и зададим кривую параметрически уравне- х =1[3 — 1 )ссЗ, у =1, 1 Е гс. Дуга ХлъОЛХХ [пстля) кривой соответствует значениям 1 Е [ — ч'3; ъ'3). 1) Площадь поверхности, образованной при вращении петли вокрут оси Ох, находим по Рис.
8.13 Гя. я, Определенныа интегрол и его приложения формуле (9)) оз нз г = ) о / Л,~О- -~ ) -~ н' л = го / ге + г) л = "Л . ос — ~'3 2) Петля данной кривой симметрична относительно оси Ор, поэтому при вращении вокруг этой оси как самой петли, так и ее половины - дуги Г)ЛХХ -- образуется одна и та ясе поверхность. Дуга ОЛХХ соответствует значениям 2 6 )О;ъ/3). Площадь поверхности вращения найдем по формуле (9')) йз г=г./)~)3-Е)ЛГ е)с.игл= ,3 = и — ' / г (3 — г'ц1+ 1') дг = 3 . а 3 д о Пример 10. Найти плошадь поверхности, образованной при вращении кривой р=хз/3, 0<х< ъ/2, вокруг прямой Зр — т/2х = О.
а Расстояние г(х) (рис. 8.14) от точки (х; хз/3) до данной прямой равно г(х) = ~х~ — 12х) = ЛТ " (т/2х — хз), 0 < х < у'2. Рнс. 8Д4 ЯТ Площадь поверхности вращения определим по формуле (11). Находим г =,))+е")*)г*=ет~лг*; отсюда е=г / Ы)ет+е")*)г = о ъ2 О2 = " (,2~х,/1+х дх- ~хз,/1+'«Ь). о о Легко найти интеграл игпг х т/1+ хл)1х = — — )1+ х ,3 4 " 2 ,4 3 2 з)3 43 о 2 6' о Используя замену хг = 31) со, получаем йз жги| 2 т/2~х /1+хлдх 1 ~ сйз,рс1, 1 1п/з/2 Ь,/3)+ о3 з/2 24/2 о о 28. Вычисление ойаеллов тел и площадей поверхностей 159 Таким образом, Я = ( 1п(ъ'2+ ч73) + — ) = (31п(т72+ т73) + 172). А П р и м е р 11.
Найти площадь части цилиндрической поверх- 2)4 ) 2 отсеченной конической поверхностью хз,)16+ у = 22. А Направляющую цилиндрической поверхности в плоскости Оху - — эллипс хз,)4+ уз = 4 (рис. 8.15) .- - зададим параметрически в виде х = 4со81, у = 284пт, 0<1< 2и. (19) Рис.
8.15 Линии 7,1 и Та пересечения цилиндрической и конической поверхностей задаются дополнительно к 119) уравнениями ., =-ч .Ч16ьл =-~/. чел; 'ь = чге7Г6 е лт = т 'и ь л 'ив ь 0<1<22). Площадь данной части цилиндрической поверхности находим по формуле (16)) 2л л = )') )1) ')О)~~ Р) ~ л")О л' о 2л зл =2)~~. 'ЧЕЛ ~ 5 'Гл ' ФН Йзг =Ь))Ч 1':Л ~ Ш)зь= о о = 20л. А ЗАДАЧИ Найти объем тела, образованного при вращении вокрут оси Ох фигуры, ограниченной данными кривыми (1 4) *). 1.1) у2=2рх, у=О, х=а; 2) ху=а, у=О, х=а, х=2а; ") В атом параграфе асе заданные параметры следует считать полоыительными.
) во Гл. е. Определенный интеграл и его приложения 3) 29=1/ъл)х. у=О, х=1/4, х=1; 4) у/Ь = 1х/а)егв, у = 01 х = а 1х > 0); 5) у=вш2х, 0<т< г/2, у=О; 6) д=ас111х/а), у=О, т=О, х=Ь; 7) у=игхе л, у=О, х=а; 8) у=11пх)/х (1(х(е), у=О, х=е; 9) д=яп,„гх (0<х<п~), у=О; 10) у = х — агсгйх, д = х+агс18х 10 < х < 1)2 х = 1; 11) д = у/х'-'+ 1вшх )О < х < гг), у = 0; 12) у=и)хвв|пх (0(х(л), у=О. 2.1) д=а+Ьвш х 10<х<2л/и)), у=О, т=О, х=226/и), а>Ь>О; 2) У=еиевшпху и — 1(х(п, у=03 пЕН; 3) )у =1/н)г.овх, у = О, т = О, х = )г/6; 4) д = 1аз + хв) ), у = О, х = О, х = а; 6) у = уг) ' — 1 ) ) ) — 3 ), - 1 * 1, у = О; 6) У = ОГОУ..)))9 — 3*) )О 6 ( 3)2), У = ° , = 3)2, * = 0; г) у,т.
О, 7Г* 3) )- 1 - * ~ 0). у = О: 8) у=х;гхт/х'-' — 1 (1<х<и)3), у=О, х=и)3; 9) У=1) '19 гя ))*)( )9)у 9=0, 10) У=1/УЗ+сает (0<т,<гг)3 У=О; 11) хе+Уз=2У; 12) у = Я+с'" 11пъ)3 < х < 1пи)8), у = О. 3.1) р=х, у=1/т, у=О, х=2; 2) у=япх, у=совх, у=02 0<х<)г/2; 3) хз/25 Ч- уе/9 = 1, хв — ув/15 = 1, х > 0; 4) 2ру = хв, 2)1у = )Ух — а)еу у = 0; 5) у=2', у=2 — 1ойвх, х=О, у=О.
4. 1) хз/аз+1~/Ье = 1; 2) хе/а" — ув/Ье = 1, х = а+ Ь; 3) х~/а — уз/Ьв = -1, ~х~ = Ь; 4) (х — Л)з+(д — Л)в=Л', х=О, д=О(х<Л, д<Л); 5) уз))2а — х) = х) (О < х < а), х = а; 6) ут(х — а) + хе(х+а) = 0 10 < х < а/2), х = а/2; 7) ув1х — а)в = х~)'2а — х) 10 ( т ( а/2)1 х = а/2. 5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох пет- ли кривой: 1) 1х — 4)ув = хнах — 3); 2) ув1т — а) + хе(т+а) = 0; 3) у~)а — Зх) = х~)а+ х), 4) хауз = )х+ а)214ав — х~). Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигу- ры, ограниченной данными кривыми 16, 7).
6.1) уз=2х, д=2, х=О; 2) д=х, у=1/х, х=З; 3) у=япх, у=2х/гг, 0<т<гг/2; 4) у=янах, д=тяпт, 0(х< г; ЬСВ. Вычисление ойьелсов тел и площадей поверхностей ге) 5) 2ру хз 2ух уг 1 >О у>0. 6) 2рх=уз, 2у(а — х)=дг, р>0, у>0; 7) 2рх=у-', 29(х — а)=дз у>р>0 а>0.
8) У= чСЯ2 — ), Ь = ЧС)2 .— ). 7.1) х~(а — у~)Ьг=1, х=О, д=О, 9=1); 2) 2ру = хг 2ру = х(2х — а) у = 0 3) хг/9- у~/25 =1 х'725- уг79 = -1 4) хг + (у — а)г = гг. а > г > 0: 5) х~,)4 + (у — 3)зг)9 = 1. 6) х- — ху + уг = аг. 8. Пусть у = д(х) -- непрерывная и неотрицательная на [а) Ь] фушс- ция, 0 < а, < Ь. Доказать, что объем тела, образованного при врагцении вокруг оси Оу фигуры а < х < Ь, 0 < у < у(х), равен ь 'и' = 2я / ху(х) Их.
а 9. Пусть у = у(х) . непрерывно дифференцируемая на (а:,Ь] функция, 0 < а < Ь, и пусть д(Ь) является либо наибольшим, либо наименьшим на (а; Ь] значением этой функции. Пусть фигура ограничена графиком функции у = у(х), а < х < Ь, отрезкол) пря- мой у = у(а), 0 < х < а, отрезколл прямой у = д(Ь), 0 < х < Ь, и соответствующим отрезкол) оси Оу. Доказать, что объем тела, образованного при вращении этой фигуры вокруг оси Од, равен ь / з г( Найти обьем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фи- гуры, ограниченной данными кривыл)и (10, 11). 10.1) ху=уз, у=О, х=а, х=Ь, Ь>а>0; 2) у=в*, д=О, х=О, х=1: 3) у=лйхз, у=О, х=.„/я)3; 4) у=2х — хз, у=О; 5) у = зшх, у = О, 2яп ( х < 2яп+ я, где п —. заданное нату- ральное число; 6) 2ру=аг — (х — Ь)г, у=О, Ь>а>0; 7) у=]х — Ь] — ач у=О,.
Ь>а>0; 8) у=с — 1,. у=с — 1, х=О. 11.1) д=совгх (0<х<Ц, у=1, х=1; 2) у=з)пх (0<х(я)2), у=1, х=О; 3) у=созх, 0<х(2я, у=1; 4 О, если 0 <х< я, ] ашт, если и ( х ( 5я,)2, 5) дг(2а — х)=хз, ]у]=а, х=О; 6) уг=4х у=х. 12. Найти объем тела, образованного при вращении фигуры, огра- ниченной данными кривыми, вокруг: а) оси Ох; б) оси Од: 162 ге, е< Онределенныа интеграл и его нрилолгения Ц р = (х — а)(х — Ь), р = О, Ь > и > 0; 2) р = гйпх, д = О, 0 < х < л; 3) д = агссйпх, д = О, х = 1; 4) д = азгг(оз + хз), д = О, х = О, х = ц; 5) д цз,г(оз + хз) д ц,г2. 6)5=иге+3~)/г — е се(*(ел=6, =О; 7) 2рр = (х — а)з, 2ру = аз; 8) 2ру = хз, д = (х); 9) д = е* + 6, р = ез',.
х = 0; 10) д = х, д = х + зйпз х, О < х < гг. 13. Найти объем зллипсоида, образованного при вращении эллипса х /а +д,ГЬ =1; Ц вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Од. 14. Найти объем тела, образованного при вращении кривой (хгга) Д + (дгЬ) Д = 1: Ц вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Од. 15. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг прнмой д = 1 фигуры, ограниченной данными кривыми; Ц д= зух, д=1ггх, р=О, х=2; 2) у= фх д=хз: 3) д=2хз — 1, д=1гг(зхх, д= — 1, х=8.
Найти объем тела, образованного при вращении фигуры, ограниченной даннылги кривылзи (16 — 18). 16. д = агсзгп х, х = 1, р = — л,г2: Ц вокруг прямой д = лгг2; 2) вокруг прямой х = 1. 17. д = х, д = х + сйпз х, 0 < х ( л, вокруг примой р = х. 18. 2рр = хз, д — х = Зргг2: Ц вокруг прямой р = 0; 2) вокруг прямой х = 0; 3) вокруг прямой д — х = Зргг2. 19.
Найти объем тела, образованного при нращении петли нонхоиды (х — а)з(хз + дз) = 4азхз вокруг прнмой х = а. 20. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг прямой х = а фигуры, ограниченной кривыми: Ц дз(х — ц) + хз(ггг + а) = О ~ф = лГЗа,Г2, х = а (х > 0); 2) (х — а)зуз = хз(2а — х) х = аг'2 (О ( х ( а) 21. Объом тела вращения фигуры 0 < д < х, 0 < х ( а (ц > 0) вокруг оси Ох равен Яагг4, где Я --- площадь основания при х = и.
Найти а. 22. Найти криную д = г(х), х > 0 (г(х) > 0 при х > 0), если известно, что для любого а > 0 объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры 0 < х < а, 0 < д < г(х) равен Лла1з(ц), О < Л < 1. Гд. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей 23. Плоскость, перпендикулярная оси параболоида вращения, отсекает от пего сегмент с радиусом основания г и высотой 6. Найти объем сегмента. 24. Выпуклая линза ограничена двумя соосными параболоидами вращения. Диалеетр линзы по линии пересечения параболоидов равен Ю, толщина по оси 6. Найти объем линзы.
25. Выпукло-вогнутая линза ограничена двумя сооспыми параболоидами вращения. Диаметр линзы по линии пересечения параболоидов равен 11, толщина по оси .. 6. Найти объем линзы. 26. Вогнутая линза ограничена сооспыми параболоидами вращения и цилиндром с радиусом основания г. Толщина линзы по оси равна 6, на краю Н. Найти объем линзы. 27. Дуга окружности радиуса г, имеющая угловую величину 2а, вращается вокруг своей хорды. Найти объем полученного тела. 28. Найти объем части шара ха + дз + хз < Л"-, лежащей: 1) между плоскостями х = хо и х = хо+ 6, где — й ( хо < хо -ь +6< Н; 2) внутри конуса х = хггуз+ ха; 3) внутри параболоида 2Лх/чсЗ = хз + уз. 29. Через фокус линии Е второго порядка проведена хорда. перпендикулярная оси линии.
Найти объеги тела, образованного при вращении вокруг этой хорды отсеченного ею сегмента, .если В: 1) парабола 2ру = та; 2) гипербола хз — дз/3 = 1; 3) эллипс хз/4 + рз/3 = 1. 30. Параболический сегмент ограничен дугой параболы и се хордой длины 2а, перпендикулярной оси параболы и отстоящей от вершины параболы на расстоянии 6..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
